V. — PRONOMS INDÉFINIS

Les pronoms indéfinis sont ceux qui désignent une personne ou une chose d'une manière vague, générale et indéfinie. Ex. : Quelqu'un est venu. On nous l'a dit. Respectez le bien à'autrui.

Ces pronoms sont : on ou l'on, chacun, autrui, ■personne, rien, quelqu'un, quiconque, l'un, l'autre.

Quelques grammairiens appellent on, personne, rien, noms indéfinis. Ces mots étaient, en effet, à l'origine, de véritables substantifs.

On, qui était au xip siècle ont, et plus anciennement hom, n'est pas autre chose que humo, et vont dire proprement un homme. « On lui amène Bon destrier », c'est-à-dire un homme lui amène bon destrier.

On était donc un substantif; dès lors rien d'étonnant qu'il soi) précédé de l'article (Pon).

L'on se ni"i in quen m l par euphonie au lieu de on après les conjonctions et, si, où. Ex. : Si

l'on savait tout. Parlez et l'on écoutera. Sachez où l'on va.

Mais quand on est suivi du pronom le, la, les, il vaut mieux conserver on sans article. Ex. : Qu'il parle et on l'écoutera. Si on le savait. Sachez où on la conduit ; et non : Si l'un le savait, où l'on la conduit.

Pour l'origine de chacun, autrui, quelqu'un, V. Adjectif.

Personne vient de persona. Rien, du latin rem, signifiant chose (V. Adverbe).

Quiconque est le latin quicumque et signifiait tous ceux qui.

L'un, l'autre représentent le latin unus et aller, précédé de l'article.

Remarques. — 1° Le mot personne est pronom lorsqu'il n'est accompagné ni de l'article ni d'aucun adjectif : Personne n'est venu; personne a-til jamais parlé comme vous? Dans le cas contraire, personne est un nom féminin : Ces personnes sont obligeantes.

2° Le mot rien est pronom lorsqu'il n'est accompagné ni de l'article ni d'aucun adjectif : Je n'ai rien vu. Dans le cas contraire, c'est un nom masculin : Un songe, un rien, tout lui fait peur.

Quelques adjectifs indéfinis peuvent s'employer sans être suivis d'un nom et deviennent alors pronoms indéfinis. Ex. : Nul n'est irréprochable ; plusieurs ont pleuré ; tout est perdu, etc.

Ces adjectifs sont : autre, nul, tel, tout, certains, etc.

1° Autre est pronom lorsqu'il n'est accompagné ni d'un substantif, ni du pronom en. Ex. : Un autre que moi ne vous parlerait pas ainsi. Dans le cas contraire il est adjectif. Ex. : Autres temps, autres mœurs.

2° Les mots l'un et Vautre placés devant un nom sont adjectifs et s'accordent avec le nom : J'ai parcouru l'une et l'autre région. Employés seuls, ils sont pronoms. Ex. : Ils sont tombés l'un et l'autre.

3° Nul est pronom lorsqu'il n'est pas accompagné d'un substantif. Alors il a la même signification que le mot personne, et n'est d'usage qu'au masculin singulier. Ex. : Nul n'est content de son sort.

Joint à un nom, il est adjectif et s'accorde avec ce nom. Ex. : L'homme ne trouve nulle part son bonheur ici-bas.

4° Tel, employé comme pronom, a le sens de celui et ne se dit pas au pluriel. Ex. : Tel qui rit vendredi, dimanche pleurera.

5° Tout, employé comme pronom, est toujours du masculin. Ex. : Tout languit, tout s'altère. — Affable à tous avec dignité (Bossuet).

■ u° Certain est pronom indéfini au pluriel, quand il signifie quelques-uns. Ex. : Certains l'affirment (V. Syntaxe). [J. Dussouchet.]

Auteurs à consulter : Ayer, Grammaire comparée; Brachet, Nouvelle Grammaire ; Chassang, Grammaire française, cours supérieur; B. Jullien, Cours supérieur; Larive et Fleury, Cours supérieur, etc.

PRONONCIATION. — Grammaire, IV. — La prononciation (du latin pronuntiatio, action de proférer) est la manière d'articuler les lettres et les mots. La grammaire n'apprend pas seulement à écriro, elle apprend aussi à parler correctement, et pour bien parler il faut donner à chaque son sa valeur réelle. Nous avons vu qu'on représentait les divers sons d'une langue par certains signi s appelés lettres (V. Lettres). Nous avons énuméré et classé tous les signes usités dans l'écriture française ; il nous reste à savoir si ces signes représentent toujours exactement le son qu'on leur attribue, si la même lettre garde toujours le même son, quelle est sa valeur absolue et sa valeur relative, en un mot si la langue écrite est

PRONONCIATION

bien d'accord avec la langue parlée. Nous avons d'ailleurs effleure déjà ce sujet dans l'article Lettres : il était impossible de parler des signes sans indiquer le son qu'ils représentent.

Les voyelles et les consonnes réunies forment ■des syllabes.

On appelle syllabe un ou plusieurs sons qui se prononcent sans interruption par une seule émission de voix. Ainsi ôté a deux syllabes, ô et té : la première, composée seulement d"une voyelle [ô), la seconde, composée d'une consonne {t) et d'une voyelle (é).

On appelle syllabe muette celle qui est terminée par un e muet, comme me dans j'ai-me.

Un mot est monosyllabe quand il n'a qu'une syllabe et polysyllabe quand il en a plusieurs.

On ne prononce jamais avec la même force toutes les syllabes d'un même mot; ainsi quand nous disons : marchez, cherchons, nous prononçons la dernière syllabe plus fortement que la première, tandis qu'au contraire dans inarche, cherche, nous appuyons sur la première parce que la dernière syllabe est muette. Cette élévation de la voix sur une syllabe particulière dans chaque mot s'appelle accent tonique, et la syllabe qui reçoit cette élévation de la voix, cet accent tonique, s'appelle la syllabe accentuée ou tonique.

En français, la syllabe accentuée est toujours la dernière syllabe du mot (mourora, chet'ai, aima), excepté quand le mot est terminé par un e muet (table, aimable), auquel cas on reporte l'accent tonique sur l'avant -dernière syllabe : aiwiable, lisible.

L'accent toniqiïe amène donc l'élévation de la voix sur la dernière syllabe sonore d'un mot. et cette syllabe, absorbant à son profit tout l'effort de la prononciation, diminue d'autant l'intensité des syllabes précédentes : ainsi hôtellerie, charretier, pèlerin, etc., se prononcent en réalité : /■ôtell'rie, charr'tier, pèl'rin, en supprimant l'e muet.

Il ne faut pas confondre l'accent tonique avec la quantité. Toute voyelle peut être brève ou longue, selon qu'on la prononce vite ou lentement; cette durée plus ou moins grande de la voix sur une syllabe est ce qu'on appelle la quantité. En général cependant Vaccent tonique a une grande influence sur la quantité, et une avant-dernière syllabe, qui se trouve accentuée parce que la dernière est muette, est ordinairement longue. Ex. : rose, zone, pôle, vue, vie, etc. Cependant il y a des exceptions, comme fêter, enrôler, dont l'avantdernière syllabe est longue bien que l'accent tonique soit sur la dernière. Au contraire, les syllabes non accentuées ou atones sont ordinairement brèves : futile, belliqueux, èsèque, etc. C'est ■ce qui explique pourquoi les voyelles qui sont longues quand elles sont accentuées deviennent brèves en devenant atones. Ainsi, dans j j loue, j'erre, fou\e, ruse, etc., la pénultième est accentuée et longue, tandis qu'elle est atone et brève dans louer, errer, fouler, rusé, où l'accent tonique passe de la pénultième sur la dernière syllabe. Il en est de même dans la phrase, si la ■disposition des mots affaiblit l'accent d'une pénultième accentuée. Ainsi o est long dans : ce livre est le Nuire, et bref dans : c'est notre livre. La quantité permet aussi à l'oreille de distinguer certiins mots paronymes, comme mâtin et matin, bâiller et bailler, tâcher et tacher, pécher et pécher, etc.

Telle est en résumé la règle générale qui peut nous guider dans la prononciation des mots. Il y a, comme on le voit, des syllabes qui doivent être sacrifiées; d'autres, au contraire, fortement articulées. Cette règle poussée à l'excès amènerait une sorte de chant qu'on retrouve dans les accents provinciaux et qui choque désagréablement l'o-

reille. Mais c'est le contraire qui a lieu le plus souvent, et cette variété d'intonations est d'ordinaire peu remarquable en français où l'accent tonique se fait à peine sentir, tandis qu'en italien, par exemple, l'accent joue un rôle très important.

Les règles générales qui précèdent s'adressent surtout à l'ensemble des sons d'un mot ou d'une même phrase ; voici quelques remarques particulières sur les voyelles et les consonnes.

I. Voyelles. — ^ ne se prononce pas dans : Août, Sxône, saoûI, toAst, tAon, curaçAO. — Au contraire, il se fait entendre seul dans faon, paon, Laon, Caen.

Ai se prononce ordinairement e dans nous faisons, satisfaisant, etc., et è dans maître, faites, etc. On reconnaît ici l'influence de l'accent tonique.

Au se prononce ô : beau, aube. — Aient se prononce ai, les lettres nt étant nulles dans la terminaison des verbes à la troisième personne du pluriel.

E est nul dans quelques mots tels que : dévouEment, assEoir, rougEÛtre, beauté, eu, Eusse, etc. Il se prononce a dans hznnir, rouEnnerie, solznnel, fEmme, et dans tous les adverbes en emment {prudEmment, prononcez prudament) ; — an dans Envie, Eslever, Entrer; — ène dans amEn, abdo- ?';e\, spécirnsn, etc.; — in dans appEndice, exawjen, AgEn, etc.

Ent équivaut à un e muet à la troisième personne plurielle des verbes, mais se prononce an dans les substantifs et les adjectifs. Ainsi ent se prononce an dans les substantifs et adjectifs suivants :

adhérent équivalent divergent

affluent négligent parent

résident président coïncident

expédient violent convergent

content couvent

excellent évident

En (et em) reste nasal dans les mots composés: Enorgueillir, Envier, tsnuyer, Eiimener, etc.

Es final se prononce é dans les monosyllables ces, des, les, i?ies, tes, ses, (tu) es. Dans les polysyllabes, il se prononce e : sciences, grenades, tables, etc.

/ est nul dans douairière, encoignure, oignon; et, devant un l mouillé, il ne se prononce pas avec la voyelle précédente : 6<z-il, trava-il.

O ne se prononce pas dans faon, paon, etc., comme nous l'avons dit plus haut.

Oi avait autrefois le son oué. De là, dans les poètes du xvne siècle, croître rimant avec maiire, disparoitre avec peut-être. Mais il se prononçait ai dans François, Anglais, faimois, etc. Ce n'est qu'en 183ô, longtemps après Voltaire, que l'Académie a admis l'orthographe actuelle : Français, Anglais, j'aimais. Du reste, un siècle avant Voltaire, en 1675, un avocat obscur au Parlement de Rouen, Nicolas Bérain, avait déjà demandé cette réforme.

U se prononce ou dans quadragénaire, qua~ drilatère , quadrupède, quadruple , in-quarto, squale, etc.

L~?i se prononce on dans unguiadé et quelques autres mots savants d'origine latine.

Y se prononce comme un i dans analyse, synthèse, syntaxe et autres mots venus du grec ; et comme deux i quand il est dans le corps d'un mot et précédé d'une voyelle: pays, moyen, joyeux, ayant, etc. C'est que y entre deux consonnes vient de la voyelle grecque upsilon, comme dans analyse, martyr, etc. Y entre deux voyelles est une lettre française provenant d'ordinaire d'un c ou d'un g latin entre deux voyelles : ainsi ploYer de plicare, noyer de necare, loxal de legalis, ro\al^ de regalis; ou bien l'y est inséré par euphonie entre

PRONONCIATION

deux voyelles pour empêcher un hiatus : ainsi délayer de dila(t)ure, aboyer de adbau[b)are, qui, sans cela, eussent été délai-er, aboi-er.

Remarque. — Eu a ordinairement le son de e : jeune, feu, lieu. Mais il se prononce comme un u simple dans \'eus, y eusse et tous les autres temps passés du verbe avoir. C'est ainsi qu'au xvie et au xvne siècle on prononçait vu, du, reçu, bien qu'on écrivît veu, deu, receu. Grâce à cet usage La Fontaine a pu faire rimer ensemble émeute et dispute dans la fable : les Vautours et tes pigeons. Cette rime ne serait plus admise aujourd'hui.

Ou se prononce comme il est écrit dans cou, fou, etc.

II. Consonnes. — Nous avons vu que les consonnes sont divisées en trois classes principales : 1° les gutturales : c, ch, g, j, k, q; 2° les dentales : d, t; 3° les labiales : b, f (ph), p, v. Auxquelles on ajoute deux consonnes sifflantes s (ç), z ; deux liquides : l, r; deux nasales : m, n ; une aspirée : h; une consonne double : x.

Le nom de chacune de ces classes indique la règle générale de leur prononciation ; les premières (c, ch, g, etc.) partent du gosier ; les dernières (6, f, etc.) viennent naître sur nos lèvres. Les liquides combinées avec d*autres consonnes coulent facilement de notre bouche : bl, cl, pr, tr, etc. Les nasales se prononcent du nez dans les mots comme tombe, plomb, rond, mont, etc. // devrait marquer l'aspiration, du moins au dire des grammairiens, mais il y a longtemps que nos gosiers français ont oublié la manière d'aspirer une voyelle : elle sert donc uniquement à empêcher l'élision et à faire prononcer le héros au lieu de l'héros, le hameau au lieu de l'hameau, etc. Quant à x, on l'appelle consonne double parce qu'elle fait entendre ordinairement le double son du c et du s, ou du g et du z.

Voyons rapidement les remarques particulières qu'on peut faire sur quelques-unes de ces consonnes.

1° Guttuiales. — C a le son de k devant a, o, u, ou : cadeau, corde, cure, coupe, excepté cependant quand il est accompagné d'une cédille comme dans façade, façon, reçu. Il a alors le son doux du s, qu'il a toujours, du reste, devant eu. e, i, y : cerise, ceux, citron, cyprès. A la fin des mots, il est tantôt sonore {avec, frac, bloc) ; tantôt nul [accroc, porc, clerc, blanc). Dans second, seconde et les composés, c a le son du g.

Ch se prononce tantôt che, comme dans chèvre, chirurgie, chose, chute, Chypre, chou; tantôt k, comme dans Chaldéen, chaos, Chersonèse, chiromancie, choléra, chrétien, catéchumène, chrysalide, ou à la lin des mots : Munich, Burucb, etc. urne variété de prononciation a été vivement critiquée par de Wailly (1754), de même, du reste, que la plupart des bizarreries que nous avons signalées dans le cours de cette étude.

Il cite comme exemple de la difficulté de la prononciation du ch la phrase suivante : U?i anachorète vmt avec un catécwonène cuercaer Mgr Parcaevéquc ou son arcuidiacre pour aller au palais arcBi-épiscopal.

G a le son du j devant e et i : gerbe, gibet. 11 prend l'articulation dure Igùe) devant a, o, u, ou: gamelle, gomme, guttural, goulet. Séparé de e, o, u, ou par la lettre e, il conserve le son du y.- geai, geôlier, etc. A la fin des mots, il est ordinairement muet : sang, long, bourg; mais si le mot suivant commence par une voyelle, le g final sonne comme un k : sang échauffé, prononcez smiK échauffé.

Rien b. remarquer sur y et sur y.

2° Dentales. — D est nul à la fin des mots : rzr.d, grand, excepté quand ces mots sont suivis d'un .iutre mot commençant par une voyelle ou

une h muette ; il sonne alors commo un t. Kx. ; grand ami, grand homme. Cependant, précédé d'un r, il devient nul, et la liaison se fait avec le r : sourd et muet, bord escarpé (prononcez sour et -muet, bor escarpé).

T devant i dans les mots en ion se prononce s : imitation, nation, faction; excepté quand il est précédé de s ou de x : gestion, bastion, mixtion. T se prononce encore s dans quelques noms en tie : minutie, inertie, etc.; cependant on dit avec un t dur : sacristie, eucharistie, etc. Cette bizarrerie de prononciation n'est pas une des moindres difficultés de notre langue pour les étrangers. C'est avec raison qu'on lui reproche d'avoir deux sons différents pour une orthographe identique et d'écrire de la même façon des exceptioyis Qinous exceptions, des affections et nous affections, avec une prononciation complètement différente. Voici du reste la liste des mots qui sous la même forme (lions) doivent se prononcer différemment:

acceptions éditions notions

adoptions exemptions objections

affections exécutions options

attentions infections persécutions

contentions injections portions

contractions inspections rations

dations interceptions relations

désertions inventions réfractions

dictioJis intentions rétractions

exceptions mentions sécrétions.

Avec l'article les ces trente mots sont substantifs et se prononcent sions; avec le pronom nous ces mêmes mots sont verbes et se prononcent dons.

3° Labiales. — Rien à remarquer sur b et v.

F est tantôt muet à la fin des mots : bœufs, œufs (au pluriel), tantôt sonore : bœuf, œuf (au singulier).

Ph se prononce f dans les mot3 d'origine grecque : philosophe, phrase, Philippe.

P est muet à la fin des mots après une syllabe nasale : camp, champ, et dans le corps des mots baptême, compte, sept, exempt, prompt, sculpter.

4° S est une sifflante. Cette consonne placée entre deux voyelles prend ordinairement le son de z : raison, buse. De même à la fin des mots quand le mot suivant commence par une voyelle : vous êtes, nous avons (prononcez vou-z-étes, nouz-avons). On prononce cependant a- comme z dans transit, transition, Alsace, balsamique, transiger, bien qu'il vienne après une consonne; et comme ss dans monosyllabe, désuétude, préséance, vraisemblable, parasol, bien qu'il soit précédé d'une voyelle.

Z à la fin des mots donne à Ye un son fermé : vous avez, vous aimez.

5° liquides. — La tantôt l'articulation qui lui est propre (le, la, les) et tantôt un son mouillé comme dans travail, vermeil; dans ce cas / est ordinairement redoublé (//) : fille, sillon, quilley fanille. Cependant ces lettres ne sont pas mouillées dans les mots tranquille, ville, vaciller. Enfin / est muet même après Yi à la fin de certains mots : gentil, fusil, persil.

R donne le son fermé à Ye muet à la fin des mots : danger, aimer; dans ce cas r est muet; s'il se prononce, il donne à l'e un son ouvert : fier, fer.

6" Nasales. — Rien à ajouter à ce que nous avons déjà dit des nasales. (V. Lettres.)

ï" Aspirée. — // est muette ou aspirée. Muette, elle ne compte pas dans la prononciation et n'empêche ni la liaison, ni l'élision : les hommes, l'habit. Aspirée, elle empêche la liaison et l'élision : les hasards, les héros. Il y a dans le dictionnaire de l'Académie environ "'M) mots commençant par h; 450 ont Yh omette, 280 l'A aspirée. Il serait trop long d'en donner la liste : l'usage et le dictionnaire

PROPORTIONS

sont les meilleurs guides à cet égard. Ajoutons seulement une remarque curieuse sur ce qu'on appelle en français l'aspiration : ce ne sont pas seulement les mots commençant par Yh aspirée qui repoussent la liaison etl'élision; certains mots qui ne commencent pas par cette lettre ont la même propriété. Tels sont onze, oui, ouate, qu'on prononce d ordinaire : les onze, le oui, la ouate. Cette anomalie s'explique facilement pour les deux premiers mots par la nécessité d'appeler notre attention sur onze, oui, qui ne sont plus employés dans ce cas comme adjectifs numéraux, ni comme adverbes d'affirmation, mais comme noms communs : le onze du mois, le oui et le non. On dit de même le un pour désigner le chiffre un dans un nombre. Quant à ouate, c'est une anomalie inexplicable qui a été peut-être amenée par la ressemblance initiale de ce mot avec oui.

8" Double. — X est la seule consonne double que nous ayons en français. Elle équivaut tantôt à gz, tantôt à es, tantôt à deux ss. Au commencement des mots elle représente gz : Xénophon, Xanthe.

A la fin ou dans la dernière syllabe d'un mot, c'est toujours es : phénix, syntaxe. Au milieu d'un mot, c'est tantôt une prononciation, tantôt l'autre : examen (prononcez egzamen), Alexandre (Alecsandre). Dans quelques mots comme Bruxelles, Auxerre, six, dix, x sonne comme ss. Enfin, employé comme signe du pluriel, dans chevaux, par exemple, et à la fin des mots six, dix, il sonne comme un z dans la liaison : dixhuit (prononcez : di-z-uit) ; chevaux ardents (prononcez : chevau-z-ardents).

Remarque. — L'euphonie exige qu'on lie la consonne finale d'un mot avec la voyelle initiale ou Yh muette du mot suivant. Ainsi l'on dit : fils aine (fi-sainé), cet arbre {cè-tarbre), ces hommes (cezhommes), etc.

Quand le premier mot est terminé par un e muet, cet e s'élide : pompe à feu (pom-pà feu), livre ouvert (li-vrouvert).

Telles sont les règles générales de la prononciation en français. Le caprice et l'usage y ont apporté bien des modifications dans le cours de notre histoire, témoin les Français du xvne siècle qui d'après Regnier-Desmarais prononçaient bisson pour buisson, Te Deon pour Te Deum, légère pour léger, etc.; témoin l'Académie (préface de 1094) qui prononçait partir, sortir, sans faire sonner IV (parti, sorti) ; témoin les Incroyables du temps du Directoire qui supprimaient les r dans le corps des mots et prononçaient bavo (pour bravo), pédu (pour perdu), etc. Enfin le c avait souvent le son du g : on disait segret {secret) et Glaude (Claude), comme nous disons segond (second), et mine-glaude malgré l'orthographe (reineclaude). Par contre le brave Crillon dans ses lettres à Henri IV écrivait son nom : Grillon. Encore aujourd'hui, bien des sons se trouvent défigurés par les divers accents des villes et des campagnes. Il n'y a rien de précis, rien de certain ; la règle est toujours modifiée par une foule d'exceptions.

Nous avons vu par les sons différents du t, du e, de l's, du g, etc., que l'alphabet est obligé de faire d'étranges concessions à la langue parlée et que l'accord n'a jamais été établi entre la parole et les signes qui la représentent. C'est là le grand reproche que d^ hardis réformateurs ont adressé à l'orthographe de notre langue, et leur blâme paraît assez fondé, comme on l'a vu à l'article Orthographe. [3. Dussouchet.l

Auteurs à consulter : Aycr, Grammaire comparée; Brachet, Nouvelle Grammaire ; Chassang, Grammaire française, cours supérieur; B. Jullien, Cours supérieur; Larive «t Fleury, Cours supérieur, etc.

PROPORTIONS. — Arithmétique, XXXIX. —

Rapport. — Au commencement de l'article Lignes proportionnelles, nous avons défini le rapport de deux lignes. Or le rapport n'existe pas seulement entre deux lignes, mais entre deux quantités quelconques de même nature, par exemple entre les poids de deux objets, les capacités de deux vases, les valeurs de deux sommes d'argent. Le rapport de deux quantités est exprimé, comme celui de deux lignes, par le quotient obtenu en divisant entre eux les nombres qui représentent les grandeurs de ces quantités. De là cette définition : le rapport de deux nombres est le quotient de l'un de ces nombres divisé par l'autre, le premier pouvant être indifféremment le plus grand ou le plus petit.

Ce quotient prend la forme d'une fraction, quand il n'est pas un nombre entier. Ainsi le rapport entre une somme de 7 francs et une autre

somme de 12 francs est —, ce qui signifie que la

plus petite vaut 7 fois la 12e partie de la plus

grande. Pris en sens inverse le rapport est —, ce

qui signifie que la plus grande de ces deux sommes est égale à 12 fois la 7e partie de la plus

7 12 petite. Les deux rapports — et — sont dits rapports inverses l'un de l'autre.

On peut chercher le rapport de deux nombres fractionnaires aussi bien que celui de deux nombres entiers, par exemple le rapport entre deux lon-

gueurs ayant la première - de mètre et la seconde - de mètre. Ce rapport sera :

Il indique que la première longueur contient 21 fois la 2U' partie de la seconde.

Pour avoir un rapport égal à un rapport numérique donné, - par exemple, il suffit de multiplier

par un même nombre les deux termes du rapport

donne. Ainsi les rapports -, -, —, —, sent tous

égaux entre eux.

Proportion. — On nomme proportion une égalité composée de deux rapports égaux.

2 4 Telle est 1 égalité :■==o o

Le premier terme et le quatrième (2 et 6) s'appellent extrêmes; le second et le troisième (3 et 4) moyens.

D'après cette définition, on voit que deux nombres sont proportionnels à deux autres, lorsque le rapport des deux premiers est égal au rapport des deux derniers.

Quantités proportionnelles. — Puisqu'il faut quatre nombres pour former une proportion, l'expression quantités proportionnelles renferme en elle-même l'idée de quatre quantités. Cependant il semble qu'il n'y en a que deux dans l'énoncé des principes suivants : le prix d'une pièce d'étoffe est proportionnel au nombre de mètres de sa longueur; l'espace parcouru sur un chemin de fer par un train marchant toujours avec la même vitesse est proportionnel au temps pendant lequel il a marché, etc. En y réfléchissant, il est facile de reconnaître sous cette forme concise l'idée de l'égalité de deux rapports. En s'exprimant ainsi, on veut dire que si le temps pendant lequel le train a marché est 2,3... fois plus grand qu'un autre temps auquel on le compare, l'espace parcouru pendant ce temps est

PROPORTIONS

2,3... fois plus grand que l'espace correspondant au premier.

On dit de la même manière que deux quantités sont inversement proportionnelles, lorsque l'une devenant 2,3... fois plus grande, l'autre doit devenir 2,3... fois plus petite; par exemple le nombre de jours nécessaire pour confectionner un ouvrage est inversement proportionnel au nombre d'ouvriers qu'on emploiera.

Observation. — Beaucoup d'auteurs donnent aux deux termes d'un rapport les noms d'antécédent et de conséquent ; nous n'emploierons que ceux de numérateur et de dénominateur.

Ils font aussi écrire la proportion sous cette forme :

en recommandant de la lire ainsi : 2 est à 3 comme 4 est à G.

Il nous semble que ce langage n'exprime guère l'idée fondamentale de la proportion qui est l'égalité de deux quotients. En outre, sous cette forme, les propriétés des proportions perdent le caractère d'évidence ou au moins de clarté que leur donne la forme de l'égalité. 11 n'y a aucun motif de conserver ces vieux usages, qui ne sontpropres qu'à jeter de la confusion dans l'esprit des élèves.

Nous en dirons autant du rapport que certains auteurs tiennent encore à établir entre deux nombres par la différence qu'il y a entre eux, et des proportions par différence qui en sont la conséquence. Cette distinction de deux espèces de rapports est sans utilité ; pourquoi ne pas en débarrasser le terrain de l'arithmétique?

Propriétés des proportions. — Les proportions jouissent de plusieurs propriétés importantes qui sont d'une application continuelle dans la géométrie, mais dont on peut faire aussi un usage avantageux dans d'autres questions, comme nous le montrerons plus loin par quelques exemples.

I. Principe fondamental. — Dans toute proportion le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

En effet, soit une proportion quelconque :

Réduisons les deux fractions au même dénominateur, en appliquant la règle générale et en indiquant seulement les multiplications au lieu de les effectuer; nous aurons :

Les deux fractions sont encore égales, et comme elles ont le même dénominateur, il faut q<ie leurs numérateurs soient égaux. Or le premier, 7 X Ifi, est le produit des deux extrêmes de la proportion écrite an commencement; le second, 14X8, est le produit des moyens. On voit donc que lu produit des extrêmes est toujours égal à celui des moyens.

De ce principe découlent les conséquences suivantes :

1° Quand trois termes d'une proportion seulement sont connus, si l'inconnu est un extrême, on obtient sa valeur en divisant le produit des moyens par l'extrême connu ; si l'inconnu est un D oyen, on divise le produit des extrêmes par le h connu.

Soit x un terme inconnu dans la proportion

D'après ce qui a été démontré, on a:

xxi=9X"

Le icrme inconnu sera le nombre qui multiplié par 4 doit donner un produit égala 9X7; on a donc

2° Lorsque dans une proportion les deux moyens sont égaux, comme dans celle-ci:

le nombre qui forme les deux moyens est dit moyen proportionnel entre les deux autres. Or de cette proportion on tire :

D'après ce résultat, on peut dire qu'un nombre est moyen proportionnel entre deux autres, quand son carré est égal au produit des deux autres.

Le côté d'un carré, par exemple, est moyen proportionnel entre la base et la hauteur d'un rectangle dont la surface est équivalente à celle du carré.

3° Lorsque deux produits de deux facteurs chacun sont égaux, l'égalité formée par ces deux produits peut être changée en une proportion. Pour cela il suffit d'écrire les deux facteurs de l'un des produits aux deux extrêmes et les deux autres aux deux moyens.

Ainsi l'égalité 3X8 = 4x6 donnera

Ces nouvelles égalités sont deux proportions, puisque le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

4° On peut changer de place entre eux les termes d'une proportion de huit manières différentes, sans que la proportion cesse d'exister. Il suffit pour cela que le produit des extrêmes reste égal au produit des moyens. Ces changements sont présentés dans le tableau suivant:

II. Dans toute proportion on peut augmenter ou. diminuer chaque numérateur de son dénominateur, et la proportion subsiste toujours.

Pour le démontrer, ajoutons 1 aux deux membres de la proportion :

Nous aurons l'égalité :

- + 1 = — -H , ou - + - = — + — v 5 lo 0 o lo io

ce qui peut s'écrire de la manière suivante :

fi+5 18 -f- 15

Cette dernière proportion n'est autre chose quela première dont chaque numérateur a été augmenté de son dénominateur; le principe est dont démontré.

Quand on diminue chaque numérateur de sondénominateur, ce changement revient à diminuer

PROPORTIONS

do 1 les deux rapports égaux; donc ils continuent à être égaux et la proportion subsiste toujours.

III. Le même principe s'applique aussi au dénominateur ; car on peut dans une proportion mettre le numérateur et le dénominateur l'un à la place de l'autre dans chaque rapport, sans détruire la proportion.

Soit par exemple la proportion :

3£ 8~ 1G Elle peut être ainsi écrite:

En appliquant à celle-ci le principe précédent, on aura :

Nous dirons donc : on peut augmenter ou diminuer chaque dénominateur de son numérateur, sans détruire la proportion.

IV. Da?is toute proportion la somme des deux premiers termes divisée par leur différence forme un rapport égal à celui de la somme des deux derniers divisée par leur différence.

En effet, soit la proportion :

3~ 6 D'après les deux principes précédents, on a: 7+3 14 + C .. 7-3 H — G 3 ~~

et'

ou en changeant les moyens de place entre eux : 7 + 3 3 7-3 3

Les premiers rapports de ces deux dernières

proportions étant égaux au rapport - sont égaux

entre eux. On peut donc écrire:

résultat qui démontre le principe énoncé.

V. Dans une proportion, ou dans une suite de rapports égaux, la somme des numérateurs divisée par la somme de leurs dénominateurs forme ui rapport égal à ces rapports.

Soit la suite des rapports égaux :

3 — G- Tïï

Chaque numérateur étant les ^ de son dénominateur, ou peut écrire les égalités suivantes :

En additionnant ces égalités membre à membre, vu obtient l'égalité:

Tuis en divisant les deux membres de cette nouvelle égalité par le facteur (3+6+12), on trouve: