rG

ce qui démontre le principe énoncé.

Remarque. — Dans la plupart des traités d'arithmétique se trouvent énoncés avec des démonstrations particulières plusieurs autres principes, tels que les suivants :

1° Un peut multiplier deux ou plusieurs proportions terme à tome, et les produits forment encore une proportion.

2° On peut diviser deux proportions terme à terme, et les quotients forment encore une proportion.

3° Si on élève au carré ou au cube tous les termes d'une proportion, la proportion existe toujours.

4° Si on extrait la racine carrée ou la racine cubique de tous tes termes d'une proportion, la proportion existe to>' jours.

Ces principes n'exigent aucune démonstration, quand les proportions ont la forme de l'égalité ; car la multiplication de deux proportions terme à terme, par exemple, n'est autre chose que la multiplication de deux fractions égales par deux autres fractions égales, et il est évident que les produits sont égaux.

Le cas de la division seulement aurait besoin d'une petite explication, pour faire voir que la division de deux fractions terme à terme revient à la division de la première fraction par la deuxième.

En effet soit - et - Si on divise les numérateurs

entre eux et les dénominateurs entre eux, on a pour quotient :

qui peut s'écrire ainsi :

Or, d'après la règle de la division de deux fractions, on a :

En écrivant ce résultat de la manière suivante :

ou ce qui est la même chose :

3XÔ'

on voit qu'il n'est autre chose que le quotient de

la fraction - divisée par la fraction -.

Ainsi diviser deux fractions terme à terme, c'est-à-dire le numérateur de la première par le numérateur de la seconde, et le dénomnateur de la première par le dénominateur de la seconde, revient a diviser la première fraction par la seconde. C'est ce qu'il s'agissait de démontrer.

Applications. — On peut voir à l'article Lignes proportionnelles l'emploi des proportions dans la géométrie. Nous terminerons cet article en citant seulement quelques exemples empruntés à l'arithmétique.

Problème 1. — On a payé 43 francs pour 12 mètres de toile; combien coûteraient 7 mètres de la même toile?

Si on désigne par x le prix inconnu des 7 mè-

PROPORTIONS

PROPRETE

très, on écrit d'abord cet énoncé en abrégé de la manière suivante :

43rr 12"°

j-.fr -Jm

La marche naturelle consisterait à chercher le prix d'un mètre en divisant 43 par 12, et à multiplier ce prix par 7; c'est ce qu'on nomme méthode de réduction à l'unité. Mais quand les élèves ont acquis par de nombreux exercices la notion bien nette des rapports, ils doivent résoudre ces questions plus promptement, sans entrer dans tous ces détails.

En effet, ils comprennent que le second nombre de mètres étant égal à 7 fois la 12* partie du 1er, le 2e nombre de francs doit aussi être égal à. 7 fois la 12e partie du 1er, et qu'il y a ainsi entre les deux nombres de francs le même rapport qu'entre les deux nombres de mètres. Le problème fournit donc sur-le-champ cette proportion :

On en déduit, sans autre explication :

4£x 7 301 X~ 12 - 12 ° 'US-

Problème 2. — On doit employer 43 ouvriers pour faire un certain travail en 12 jours ; combien faudrait-il d'ouvriers, si l'on voulait que le travail fût exécuté en 7 jours ?

Le 2e nombre de jours étant plus petit que le 1er, le 2e nombre d'ouvriers devra être plus grand que le 1er; en outre, si le nombre 7 était 2 ou 3 fois plus petit que le nombre 12, le nombre inconnu x serait 2, 3 fois plus grand que 43, ou en d'autres termes 43 serait le même nombre de fois plus grand que x. Ainsi le rapport des deux nombres de jours est encore égal au rapport des deux nombres d'ouvriers, celui-ci étant pris en sens inverse de l'autre rapport. On écrira donc la proportion :

On en tire aussitôt

On devra employer "3 ouvriers, plus un autre qui n'aurait à faire que les 7 dixièmes de la tâche de l'un de ses compagnons.

Remarque. — La règle par laquelle ont été résolus les deux problèmes précédents est précisément ce que les auteurs appellent rèy le de trois*. Dans le l" problème, la règle est directe, parce que les deux nombres de francs sont directement proportionnels aux deux nombres de mètres. Dans le second la règle est dite inverse, parce que les deux nombres d'ouvriers sont inversement proportionnels aux deux nombres de jours.

Problème 3. — Deux trains partent au ■même instant l'un de Paris et l'autre de Lyon, en allant l'un au devant de l'autre. Le 1" conserve une vitesse de 50 kilomètres à l'heure et le 2e un» vitesse de 32 kilomètres. Chercher à quelle distance de Paris Us se rencontreront, la distance de l'aris à Lyon étant de 512 kdomèlres.

Si on représente par x le nombre de kilomètres qu'il y a de Paris au point de rencontre, la distance de ce point h Lyon sera 512 — x. Or ces deux espaces, étant parcuurus par les deux trains

dans le même temps, sont proportionnels aux vitesses ; on a donc la proportion :

Pour tirer la valeur du terme inconnu, on fera d'abord disparaître x du dénominateur, en augmentant chaque dénominateur de son numérateur, ce qui donne cette autre proportion :

se

On en déduit :

512X50 25600 ota... Xi

x = — — = — — = 32 kilomètres.

Problème 4. — Partager une somme de 542 fr. en trois parties proportionnelles aux nombres 2, 3, 5.

Représentons par r, y, z les trois parts demandées ; on aura, d'après l'énoncé :

En changeant les moyens de place entre eux, on obtient :

et par conséquent

Or dans cette suite de rapports égaux, la somme des numérateurs divisée par la somme des dénominateurs forme un rapport égal à ces rapports. On aura donc :

2+3+5 2 3 5 Mais la somme x + y + z étant égale à 542, on a :