RÈGLE DE TROIS — 1825 — RÈGLE DE TROIS

l'une d'elles quand toute* les autres reçoivent des va eurs nouvelles.

La règle de trois est dite simple, quand on n'y considère que deux grandeurs directement ou inversement proportionnelles ; composée, quand il y en a plus de deux.

Une règle de trois simple est directe ou inverse, suivant que les deux grandeurs qu'on y considère sont directement ou inversement proportionnelles.

Il existe deux méthodes pour résoudre les règles de trois, la méthode de réduction à l'unité et la méthode des proportions ; nous allons les exposer toutes les deux et les appliquer successivement à la résolution des règles de trois simples, directes ou inverses, et des règles de trois composées.

2. Méthode de réduction à l'unité. — Règle de trois simple DiriECTE. — Une locomotive a mis 5 heures pour parcourir 180 kilomètres; quel chemin fera-t-elle en 'J heures?

Ce problème est une règle de trois simple directe ; car les deux grandeurs qu'on y considère, la longueur du chemin parcouru et le temps employé à le parcourir, sont directement proportionnelles.

Solution. — Si la locomotive parcourt 180 kilomètres en 5 heures, en l heure elle fera 5 fois

moins de chemin, c est-à-dire — •

Si la locomotive parcourt, en 1 heure, -^— — , en

9 heures elle accomplira un trajet 9 fois plus

grand, c'est-à-dire : tel est le résultat

cherche.

Il est commode d'inscrire dans un tableau à deux colonnes les valeurs successives des deux grandeurs, en plaçant sur une même ligne les valeurs correspondames. Les deux premières lignes du tableau contiennent les nombres de l'énoncé ; les suivantes renferment les valeurs que le raisonnement conduit à donner aux deux grandeurs. Enfin on a coutume de désigner l'inconnue du problème par x. Voici ce tableau :

Durée du trajet.

Longueur du trajet.

18Ûkm

Pour calculer la valeur de l'inconnue, il faut, avant de faire les opérations indiquées, simplifier autant que possible la fraction, en supprimant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. On a ainsi:

36kmx9 = 324 kilom.

Remarque. — La valeur de x peut s'écrire :

se=18G«mx|:

si l'on compare cette valeur à l'énoncé du problème, on arrive à la règle suivante :

Pour avoir l'inconnue d'une règle de trois simple directe, on multiplie la valeur donnée de la grandeur de même espèce que 1'mconnw par te rapport de lanouvelle valeur de l'autre grandeur à larecienne.

Règle de trois simple ixverse. — Une fontaine qui donne 10 litres d'eau par seconde a mis 56 minutes à remplir un réservoir; combien faudia-t-il

2e Partie.

de temps pour remplir le môme réservoir à une autre fontaine dont le débit est de 21 litres par seconde?

Ce problème est bien une règle de trois simple inverse ; car les deux grandeurs qu'on y considère, le débit de la fontaine et le temps qu'elle met à remplir le bassin, sont inversement proportionnelles.

Solution. — Puisqu'une fontaine donnant 10 litres par seconde met 56 minutes à remplir le réservoir, une fontaine donnant 1 litre par seconde mettrait 10 fois plus de temps à remplir le même réservoir, c'est à-dire 5t.minX10.

Si une fontaine donnant 1 litre d'eau par seconde met 5bmin x 10 pour remplir le réservoir, une autre fontaine donnant 21 litres à la seconde mettra 21 fois moins de temps à remplir le même

.. 56min X 10

réservoir, soit .

L'énoncé et les raisonnements sont résumés dans le tableau suivant, analogue à celui que nous avons formé pour la règle de trois simple directe:

Débit de la fontaine.

10 lit.

Temps nécessaire pour remplir le bassin.

56 min.

En faisant les calculs, on a :

56min x io 8min XlO *=— 2Ï = — 3— = 2G»iO-.

Remarque. — La valeur de x peut s'écrire :

x = 56mm X;— >

ce qui conduit à la règle suivante :

Pour avoir l'inomnue d'une règle de trois simple inverse, on multiplie la valeur donnée île la grandeur de même espèce que l'inconnue par le rapport de l'ancienne valeur de l'autre grandeur à la nouvelle.

Règle de trois composée. — Une pierre de taille rectangulaire de 2m,50 de longueur, lm,'?0 de largeur et 0m,60 de hauteur pèse 4 HO kilogrammes; quelle est la longueur d'une autre pierre de la même espèce ayant lm,15 de largeur, 0m,*2 de hauteur et pesant 3655 kilogrammes?

Ce problème est une règle de trois composée; car les quatre grandeurs qu'on y considère sont directement ou inversement proportionnelles les unes aux autres. En particulier, la longueur do la pierre est proportionnelle à son poids; mais elle varie en raison inverse de la largeur et de l'épaisseur.

La résolution de cette règle de trois composée se ramène à la résolution de plusieurs règles de trois simples que nous allons traiter successivement.

Première règle de trois simple. — La largeur d'une pierre est égale à lm,20 et a hauteur à 0-,60; sa longueur est de 2m,50 et elle pèse 4140 kilogrammes; la largeur et la hauteur ne changeant pas, quelle sera la longueur, si le poids devient 3045 kilogrammes?

Si le poids, qui est de 4140 kilog., se réduisait à 1 kilog., la longueur serait 4 140 fois plus petite,

c'est-à-dire — ^-. Si, au lieu de 1 kilog., le poids

4 1 tO est de 3645 kilog , la longueur sera 3G45 fois plus grande, ou :

2m,50x3645 -m r.v36i5 ili.O 4140

RÈGLE DE TROIS

Deuxième règle de trois simple. — Une pierre qui a 1"\20 de largeur et O^GO de hauteur et qui pèse 3045 kilog., a une longueur égale à 2m,5() X

ïOll- quelle sera la longueur d'une autre pierre 4140' ' . |

de la môme espèce ayant, a môme hauteur et le même poids, mais ayant 1™,15 de largeur?

Si. au lieu de lm,20, la pierre n'avait que 0ra,01 de largeur, la longueur devrait être 120 fois plus grande" pour que le poids restât .j même; cette

longueur serait donc 2m,ô0 X tttt, X U(' • &l» au

•i HO

lieu de O-.Ol, la pierre a lm,1.r» de largeur, sa longueur devra être 115 fois moindre pour que le poids ne change pas; cette longueur sera doue :

„ 3G45 120 2m'50X4HÔ><ÎÏ5-

Troisième règle de trois simple. — Une pierre de lm,15 de largeur, de 0m,60 de hauteur, et qui pèse 3«45 kilog., a une longueur égale à 2m,50 X

X — • quelle sera la longueur d'une autre 4140 115'

pierre de même largeur et de même poids, mais dont la hauteur est égale à 0m,72?

Si, au lieu de 0m,60, la pierre n'avait que0m,0l de hauteur, sa longueur devrait être 00 fois plus

3645 120 .„ „ grande, c'est-à-dire 2", 50 X — 77; X rrr xGO.En- 6 ' 1140 lia

fin, si, au lieu de 0m,01, la pierre a 0m,72 de hauteur, il faudra, pour que le poids ne change pas, que la longueur devienne 72 fuis plus petite ; elle sera donc :

3015 120 GO 2m,50 X 7777. X — X— •

4140 lia >2

Telle est la valeur de l'inconnue. Voici maintenant le tableau de l'énoncé et des raisonnements :

Longueur.

Poids.

Larg

ur.

Hauteur.

4140kï

<lm,60

2,50 JÎ4Ô

4140 lia

■ „ 3045 120 nn 2,50 X 7777, X—XCO il40 lia

3045 120 60 2,50 X 7-7- X — X == = x 414» lia (2

En simplifiant autant que possible cette valeur de l'inconnue, on trouve :

4140 X IIS X 72 400X2'.' XO

2"1,50x*l X4 X5 2m,50x8lx5 10l2"'..Mi

= lm,91,

à 0"\OI près par défaut.

Remarque. — Reprenons la valeur de l'inconnue :

X = 2m,50Xr77-X— :— j

4140 li.. ,:

et comparons cette valeur à l'énoncé, en remar-

quant que la longueur est directement proportionnelle au poids et inversement, proportionnelle à la largeur et à la hauteur; nous arrivons à la règle suivante, qui est d'ailleurs une conséquence de celles que nous avons établies plus haut pour les règles de trois simples :

Pour avoir l'inconnue d'une règle de trois composée, on multiplie la valeur donnée île la grandeur de même espèce que l'inconnue par les rapports des nouvelles valeurs aux anciennes pour les grandeurs qui lui sont directement proportionnelles, et par les rapports des anciennes valeurs aux nouvelles pour les grandeurs inrersement proportionnelles à la grandeur inconnue.

2° Méthode des proportions. — J'établirai d'abord deux principes.

1° Lorsque deux grandeurs sont proportion? le rapport de deux râleurs quelconques de la première est égal au rapport des valeurs correspondantes de la seconde.

Soient A et B deux grandeurs proportionnelles, c'est-à-dire telles que, si l'on donne à la première

une valeur double, triple, quadruple de la

valeur qu'elle avait d'abord, la valeur primitive de la seconde devienne en même temps double,

triple, quadruple Donnons à la grandeur A

deux valeurs successives dont le rapport soit une fraction quelconque, et supposons, par exemple, que le rapport de la seconde de ces valeurs à la

première soit j\ je dis que le rapport des valeurs

correspondantes de B est aussi égal à -• En effet, pour passer de la première valeur de A à la seconde, on peut concevoir qu'on prenne d'abord le quart de la première valeur de A, et qu'on répète ensuite ce quart trois fois. Or, quand on rend quatre fois plus petite la valeur primitive de A, la valeur correspondante de B devient aussi le quart de la valeur primitive de B ; et si l'on triple ensuite la nouvelle valeur de A, la valeur de B devient en même temps trois fuis plus grande qu'elle n'était auparavant. Finalement, pour avoir la seconde valeur de B, il faudra prendre le quart de la première et le répéter trois fois ; donc le rapport de la seconde valeur de B à la

première sera --, c'est-à-dire le même que le rapport de la seconde valeur de A à la première; c. q. f. d.

2U Lorsque deux grandeurs sont inversement proportionnelles, le rapport de deux valeurs quelconques de la première est inverse du rapport des valeurs correspondantes de la seconde.

Soient A et B deux grandeurs inversement proportionnelles, et supposons qu'on donne à A deux valeurs telles que le rapport de la seconde à la

première soit 7 ; je dis que le rapport des va-

leurs correspondantes de B est l'inverse de - ,

c'est-à-dire -■ En effet, pour passer de la première

valeur de A à la seconde, on peut prendre d'abord le quart de cette première valeur, et répéter ensuite trois fois ce quart. Mais, quand on rond quatre fois plus petite la première valeur de A, la valeur correspondante de B devient quatre fuis plus grande qu'elle n'était primitivement; puis, quand on triple cette nouvelle valeur de A, la valeur correspondante de B devient trois fois moindre. Donc pour avoir la seconde valeur de B, il faudra multiplier la première par 4 et diviser le produit

par 3; cette seconde valeur sera doue les -delà

première ; c. q. f. d.

RÈGLE DE TROIS — 1827

RÈGNES (LES TROIS

Nous allons maintenant appliquer aux exemples déjà traités par la réduction à l'unité la méthode des proportions.

RÈGLE DE TROIS SIMPLE DIRECTE. — Une lûCOmO-

tive a mis 5 heures pour parcourir 180 kilom. ; quel chemin fera-t-elle en 9 heures ?

Soit x l'inconnue : d'après le premier principe, ie rapport des deux valeurs du temps est égal au rapport des valeurs correspondantes du chemin parcouru. On a donc la proportion :

d'où l'on tire, par une propriété connue (V. Proportions) :

Règle de trois simple ixverse. — Une fontaine qui donne 10 litres d'eau par seconde a mis 56 minutes a remplir un réservoir; combien faudrat-il de temps pour remplir le même réservoir à une autre fontaine dont le débit est de 21 litres par seconde ?

Soit x l'inconnue ; d'après le deuxième principe, le rapport des temps employés à remplir le réservoir est égal au rapport inverse des débits des deux fontaines. On a donc la proportion :

d'où l'on tire :

Règle de trois composée. — Une pierre de taille rectangulaire de 2m,50 de longueur, lm,20 de largeur et 0m,60 de hauteur pèse 4140 kilog. ; quelle est la longueur d'une autre pierre de la même espèce ayant lm,15 de largeur, Gm,72 de hauteur et pesant 3645 .kilogrammes ?

Désignons encore l'inconnue par x. Pour résoudre cette règle de trois composée, nous la décomposerons en plusieurs règles de trois simples.

Première règle de trois simple. — Laissons à la largeur et à la hauteur de la pierre leurs valeurs primitives, et supposons que le poids, qui était de 4140 kilog., devienne égal à 3045 kilog. ; la longueur primitive étant 2m,50, quelle sera sa nouvelle valeur '?

Nous avons là une règle de trois simple directe ; en désignant l'inconnue par y, nous aurons la proportion :

Deuxième règle de trois simple. — Supposons maintenant que la largeur de la pierre, d'abord égale à 1°>,20, devienne égale à lm,15, la hauteur restant égale à 0m,6U et le poids à 3645 kilog. ; la longueur, d'abord égale à y, prendra une nouvelle valeur que nous désignerons par z, et qu'il faut déterminer.

La règle de trois étant inverse, nous aurons la proportion :

Troisième règle de trois simple. — La largeur de la pierre étant égale à lm,15, son poids à 3645 kilog., sa hauteur à 0m,60 et sa longueur à z, on demande ce que deviendra la longueur, si la hauteur devient égale à 0m,72, la largeur et le poids restant les mêmes.

C'est encore une règle de trois simple inverse, dont l'inconnue n'est autre que l'inconnue x de la règle de trois composée. On aura donc la proportion :

Si nous multiplions terme à terme ces trois proportions, nous aurons encore une proportion :

4140x1, 15x0,72 -3645 XI, 20x0,60=2,50?/ -r/za; ;

on peut diviser les deux termes du second rapport par yz[\. Rapport), et il vient:

4140 X 1,15 X 0,72: 3645x1,20 X 0,60 = 2,50: x; d'où l'on tire :

Remarque. — La résolution des règles de trois» par les proportions n'offre aucun avantage sur la méthode de réduction à l'unité. A la vérité, les raisonnements auxquels conduit cette méthode sont un peu longs ; mais la marche est sûre, et les erreurs presque impossibles. On peut d'ailieurs abréger considérablement la résolution des règles de trois, sans employer les proportions; il suffit d'appliquer les deux principes démontrés au commencement de ce paragraphe. Reprenons les doux règles de trois simples précédemment traitées et dont nous ne reproduisons pas les énoncés.

Dans la première, qui est directe, nous raisonnerons ainsi qu'il suit. La durée du second trajet

est les - de la durée du premier; donc l'espace

parcouru dans le second cas est les '- de l"es

pace parcouru dans le premier, il est donc égal à

180*m X-r; c'est la valeur de l'inconnue. o'

Passons à la règle inverse. Le débit de la seconde fontaine est les — du débit de la seconde ;

donc, en vertu du deuxième principe, le temps que la seconde met à remplir le réservoir est

les — du temps que met la première. La valeur

de l'inconnue est donc 58mi" X — ^21 Exercices. — 1. On a payé 350 francs pour faire creuser un fossé de 410 mètres de longueur; combien paiera-t-on pour un fossé de même largeur, de même profondeur et dont la longueur est de 528 mètres? (Rép. 45Ûf,73.)

2. — On a payé 450 francs pour 36 mètres de drap; combien coûteront 117 mètres de la même étoffe? (Rép. 13<i5 fr.)

3. — On a tissé 96 mètres de toile ayant lm,20 de largeur avec une certaine quantité de fil ; si la toile n'avait eu que 0m,80 de largeur, quelle eût été la longueur de la pièce? (Rép. 144 m.)

4. — Un train de chemin de fer qui fait 45 kilomètres à l'heure met 7 heures à parcourir une certaine distance; combien de temps mettra un autre train qui ne fait que 38 kilomètres à l'heure? (Rép. 8" 17m22*.)

5. — Les dimensions d'une barre sont : longueur, 3m,6; largeur, um,06 ; épaisseur, 0m,02 ; son poids est 67k*,5. Combien pèserait une barre du même métal, longue de lm,50, large de 0m,()48 et qui aurait 0m,036 d'épaisseur ? (Rép. 4t.ks,5.)

6. — Une colonne de mercure d'une hauteur de 56 centimètres exerce une pression de lks,98 sur le fond d'un vase, fond qui a une superficie de 2C(i,6. Quelle serait la hauteur d'une colon ^ d'huile qui exercerait une pression de l"s,5 sur une surface de 3ci,5 ? La densité du mercure est 13,596 et celle de l'huile est 0.915 vRép. 4"\683,).

[H. Bos.] RÈGNES (les trois). — Minéralogie, I ; Botanique, I; Zoologie, I. — Le besoin d'une classification s'est fait sentir dès que l'homme a abordé l'étude de la nature. Aristote le premier se mit

RÈGNES (LES TROIS

1828— RÈGNES (LES TROIS

aux prises avec cette œuvre gigantesque, chimérique et nécessaire à la fois : distribuer les êtres créés selon un système rationnel ; et il fit pour tous les corps qui existent deux grandes catégories, mettant dans l'une les corps vivants ou organisés; dans l'autre, les corps bruts ou sans vie.

Bien des siècles après, on revint à celte idée d'une classification naturelle; Linné distingua, parmi les corps vivants, les végétaux et les animaux, et réunit tous les corps bruts sous le nom de minéraux: de là, les trois règnes.

Ces mots paraissent au premier abord exprimer une distinction ayant une base réelle dans la nature ; car les animaux vivent, se déplacent, sentent et veulent ; les végétaux vivent, sont immobiles, ne sentent pas, ne veulent pas; les minéraux ne vivent pas.

La distinction est évidente quand on choisit bien ses exemples; et le cheval, le chêne, le granit s'en arrangent fort bien.

Mais en demandant à chacun des mots de ces définitions ce qu'ils signifient, et comment ils s'appliquent à quelques animaux, à quelques végétaux, et même à quelques minéraux, on verra qu'il est bon de ne pas les admettre sans restriction.

Les animaux et les végétaux vivent, les minéraux ne vivent pas : ia vie, voilà donc le fait qui réunit les deux premiers règnes, en les séparant du dernier. Mais cette expression, la vie, n'a pas ici le sens étendu qu'on lui accorde généralement. Vivre, pour le naturaliste, veut dire naître, se développer (ou entretenir tant bien que mal les forces acquises), se reproduire et mourir. Aniitfaux et végétaux vivent ; en effet :

Ils naissent; ils commencent en se détachant d'un parent semblable à eux, soit déjà formés, soit dans un œuf, soit par un bourgeon, soit dans une graine, etc. ;

Ils se développent, en s'accroissant au moyen de la nourriture qu'ils tirent des corps qui les environnent ;

Ils se reproduisent, en donnant naissance à des individus de leur espèce ;

Ils meurent, cessant d'entretenir leurs forces qui n'existent même plus pour retenir les éléments dont ils sont formés.

L'histoire des minéraux ne peut pas invoquer la même succession de phénomènes. On a bien fait parmi eux des espèces, puisqu'on y distingue le fer, l'or, le mica, etc. ; mais on n'y reconnaît pas d'individus : des morceaux, tout simplement. Si, d'un morceau d'or, on détache un fragment, le fragment n'est pas le fils du morceau, il n'est besoin d'expliquer cela à personne, et la multiplication des parties se fait là par l'amoindrissement du bloc.

De plus, si le morceau s'accroît, c'est extérieurement, par juxtaposition ; tandis que l'accroissement de l'animal ou de la plante se fait de dedans en dehors, par intussusception.

Cependant, malgré ces différences qui semblent si tranchées, on a pu prendre des êtres vivants pour des minéraux, et semblable erreur se commet, encore très probablement. Jusqu'au commencement de ce siècle, on a cru que le corail était une pierre, et personne ne se fait faute aujourd'hui d'en classer le squelette parmi les pierres fines.

Pour se prononcer, il est d'ailleurs des points fort délicats. Les rognons de silex de la craie, que tout le monde classe sans hésiter dans le règne minéral, offrent un certain nombre de caractères qui ne se trouvent pas d'ordinaire réunis chez les pierres.

Ils renferment une proportion notable d'un principe organique qui se dégage par la distillation et que le géologUG I i urnel avait étudié sous

le nom bien expressif de caméléon urgano-minéral.

En second lieu, les rognons de silex naissent et s'accroissent souvent en couches concentriques comme certaines colonies de spongiaires et de polypiers, de façon à englober les substances situées dans leur voisinage, telles que des débris de coquilles fossiles.

Enfin, ils sont susceptibles de mourir : séparés de leur gangue crayeuse, ou soumis à des actions variées, ils perdent leurs éléments organiques et hydratés. Transformés alors en silex nectiques, loin de pouvoir, comme à l'état normal, faire feu au briquet, ils tombent en poudre sous une pression modérée.

A l'inverse, des êtres vivants peuvent momentanément perdre les caractères que leur attribue Linné, leur vie se trouvant suspendue, au point que, pendant de longues durées, ils revêtent exactement l'apparence de corps inertes.

L'exemple le plus frappant sans doute est fourni par des animaux inférieurs, les anguillules et les rotifères, qui. vivant normalement dans la mousse humide des toits, passent sous l'action de la dessiccation à l'état de grains de poussière, impossibles à distinguer, quant à leur allure, des mêmes débris provenant des pierres. Vient-on, môme après un temps très long de cette déchéance organique, à fournir un peu d'eau à cette poudre inerte, on en voit bientôt chaque grain se gonfler, reprendre sa forme propre et reconquérir l'existence caractéristique de l'animalité.

Pour les végétaux, la durée de la léthargie peut être beaucoup plus longue encore.

Dans des sarcophages Contenant des momies égyptiennes vieilles de plusieurs milliers d'années, on a trouvé quelques pois desséchés qu'on eut l'idée de semer à Guernesey. Un an après, trois de ces pois avaient produit deux petits plants, au moyen desquels il fut possible l'année suivante d'ensemencer un champ tout entier.

Si, en divers points, la division entre les êtres bruts et les êtres organisés ne semble pas certaine, on peut dire de même qu'entre le règne végétal et le règne animal une délimitation nette est presque impossible à établir.

D'après Cuvier, l'animal doit présenter les caractères suivants : la sensibilité et le mouvement volontaire; une caûté digestive, un appareil circulatoire; une composition chimique plus compliquée que celle des végétaux et marquée par la présence de l'azote comme élément essentiel; des échanges gazeux (respiration) consistant en absorption d'oxygène et exhalation d'acide carbonique; les végétaux fixant, au contraire, le carbone et dégageant de l'oxygène.

Mais tous ces caractères existent-ils ou sont-ils bien appréciables au bas de l'échelle animale, et ne saurait-on jamais les rencontrer chez les végétaux.' C'est ce que nous allons examiner au moyen de quelques exemples.

Assurément il n'est pas aisé de constater si la sensibilité existe chez certains polypiers et dans les éponges. Par leurs formes d'ailleurs, par leur fixation au sol, ces animaux inférieurs semblent à première vue appartenir au règne végétal. On l'a cru pour le corail jusqu'à Peyssonnel. Il se présente comme un branchage capricieusement ramilié et tout enduit d'une matière grisâtre et gélatineuse qui, à de certains moments, se met à fleurir, donnant naissance de distance en distance à do jolie- étoiles aux rayons crénelés. Les mouvements que ces étoiles opèrent lorsqu'on les touche ou lorsqu'elles saisissent la proie dentelles se nourrissent ne tout pa- plus nets que ceux qui l'ont croire à la sensibilité des Drosera ou de la Mimosa pudica, si bien appelée sensitivt. La Uionée