SURFACES COURBES

l'instituteur craigne de reprendre au xix* siècle le rôle de saint Ouen au vne, en serrant de plus vrèsla vérité que saint Ouen ne le pouvait faire. La tâche, d'ailleurs, n'est pas plus facile. L'ignorance sur laquelle s'appuie le superstitieux est une ignorance intéressée : c'est pour la sauvegarde ou l'amélioration de ce qu'il a de plus précieux, de ce qu'il regarde comme le plus enviable, sa vie, sa santé, sa fortune, la satisfaction d'une passion ou d'un désir, que le superstitieux consulte les sorts, se fait dire la bonne aventure, s'enquiert de ses rêves, redoute tel ou tel présage, boit de telle eau ou invoque tel saint, s'adresse à la somnambule ou à ceux qui « disent des paroles », fait tourner, au besoin, des tables ou des chapeaux, et évoque même les esprits, qui ne se montrent pas moins dociles à nos modernes spirites que jadis à Ulysse, à Enée, ou au roi Saul chez la pythonisse d'Endor. Il faut que, dans l'école et 'même au delà, l'instituteur prenne corps à corps ces fausses croyances, qui ne se bornent pas toujours à la sottise, qui peuvent aller à la méchanceté, et dont les pratiques, dans bien des cas, donnent lieu h de fâcheux accidents : le jeteur de sorts n'est pas le plus souvent — les tribunaux l'ont montré — un croyant naïf qui se croit un droit surnaturel de vie ou de mort sur les bêtes d'autrui, et il arrive plus d'une fois à la « sorcière » ou au « rebouteux » d'estropier pour la vie, de faire même soi tir de ce monde le patient blessé ou la pauvre femme en couches.

Il faut en appeler au bon sens. Le simple fait suffira parfois à prouver aux intéressés qu'il n'arrive pas toujours malheur à ceux qui ont renversé une salière ou se sont trouvés treize à table. A •ceux qui craignent de commencer une affaire ou de conclure un maiché le vendredi, sous prétexte que cela porte malheur, faites observer qu'en général, dans tout marché ou dans toute affaire, à moins d'échange pur et simple, il y a perdant et gagnant, et que, par conséquent, le vendredi, jour de malheur pour l'un, est par là même jour heureux pour l'autre. Ajoutez — ce sera le cas — que les mauvaises affaires et les mauvais marchés sont surtout ceux pour lesquels on a manqué de prudence, de prévoyance, voire de bonne foi. Vous guérirez peut-être ceux qui croient que les hiboux sont des messagers de mort, en leur faisant voir que s'il en est ainsi, comme les hiboux se tiennent d'ordinaire dans des endroits isolés où personne ne peut mourir, ils sont singulièrement infidèles à leur ministère ; vous pourrez dire aussi en passant que les hiboux valent mieux que leur réputation, et qu'ils font bonne besogne de mangeurs de rats et autres bêtes malfaisantes. A tel qui redoutera les pies ou les corneilles, comme faisaient déjà les anciens, contez, si vous voulez, cette malice d'Esope, que vous trouverez dans sa vie traduite par La Fontaine du texte grec de Planude. Esope, qui était esclave, demandait à son maître la liberté ; Xanthus la lui refusait, ajoutant que, « si toutefois les Dieux l'ordonnaient ainsi, il y consentait : partant qu'il prît garde au premier présage qu'il aurait sortant du logis; s'il était heureux, et que, par exemple, deux corneilles se présentassent à sa vue, la liberté lui serait donnée; s'il n'en voyait qu'une, qu'il ne se lassât point d'être esclave... A peine Esope fut-il hors, qu'il aperçut deux corneilles sur un arbre. Il en alla avertir son maître, qui voulut voir luimême s'il disait vrai. Tandis que Xanthus venait, l'une des corneilles s'envola. « Me tromperas-tu toujours? dit-il à Esope : qu'on lui donne les étrivières. » L'ordre fut exécuté. Pendant le supplice du pauvre Esope, on vint inviter Xanthus à un repas : il promit qu'il s'y trouverait. « Hélas ! s'écria Esope, les présages sont bien menteurs! moi qui ai vu deux corneilles, je suis battu ;

mon maître, qui n'en a vu qu'une, est prié de noces. » Xanthus rit du mot d'Esope, mais il ne lui rendit pas la liberté. »

Il faut, en définitive, combattre la superstition, comme on combat tous les préjugés et toutes les erreurs, par des raisonnements justes, s'il y a lieu, surtout par l'observation directe et précise des faits. Il n'y a plus de sciences occultes depuis qu'il y a des sciences véritables ; les alchimistes du grand œuvre n'en sont plus aujourd'hui à vouloir transformer les corps naturels, mais le chimiste a tiré de chacun, par une exacte analyse, plus de merveilleux effets que n'en avaient pu imaginer les plus audacieuses rêveries de leurs devanciers ; il n'y a plus de sorciers ni de sorcières depuis qu'il y a des médecins dignes de ce nom, qui ne prennent pas les hystériques, les épileptiques et les fous pour des possédés et des démoniaques. Les faiseurs de prédictions sont aujourd'hui d'honnêtes astronomes, travaillant, aux frais de l'Etat, dans les observatoires ou au bureau des longitudes; les magiciens sont d industrieux savants, qui inventent les prodiges de la télégraphie, de la téléphonie, ou d'amusants prestidigitateurs, qui sont les premiers à rire de leurs miracles. Pour croire aujourd'hui que les furollcs sont des gnomes, qu'on se guérit d'une fracture ou d'une luxation avec des formules, et que les comètes annoncent la guerre, il faut être un gnorant ou un charlatan : l'école a pour mission c!e diminuer le nombre des uns et d'empêcher le succès des autres.

Nous signalerons aux instituteurs comme une excellente lecture à faire, soit pour eux-mêmes, soit dans les cours supérieurs de leurs classes ou dans les classes d'adultes, les chapitres XIX et XX de la troisième partie de la Logique de Port- Royal, ayant pour titre, le premier : Des diverses manières de mal raisonner, que l'on appelle sophismes, et le second : Des mauvais raisonnements que l'on commit dans la vie cil ile et dans les discours ordinaires. Ils y trouveront, dans un langage très simple et très net, l'énumération d'un grand nombre de fausses idées qui sont de cours ordinaire, ainsi que les moyens d'y répondre. Nous leur recommandons aussi la page bien con« nue de Fontenelle, ayant pour titre La Dent d'or, qui se trouve dans un grand nombre de recueils. C'est une critique très sensée et très fine de ces idées préconçues qu'on érige si facilement en systèmes et qui tombent au moindre contact de l'expérience. * [Charles Defodon.]

SURFACES COURBES. — Géométrie, XXV-

: XXVI. — DÉFINITION DE LA SURFACE COURBE. — Dans

' un grand nombre d'ouvrages classiques, on définit la surface eu disant que c'est ta limite qui sépare tin corps du reste de l'espace. Il en résulte qu'on ne pourrait pas concevoir une surface séparée d'un 1 corps, tandis que le contraire arrive continuellement dans l'étude de la géométrie. Cette définition ne parait donc pas avoir une clarté suffisante pour un enseignement élémentaire. Aussi dironsnous de préférence : on appelle surface une étendue considérée en longueur et en largeur, sans qu'on fasse attention à Vépidsseur, par exemple la surface d'une table, d'un mur, d une colonne. Une feuille de papier aussi mince que possible, comme le papier mou, peut donner une idée d'une surface indépendante d'un corps, et cette repré- ! sentation sera d'autant moins imparfaite que l'épaisseur du papier se trouvera plus petite.

Si cette feuille de papier est parfaitement tendue en tous sens comme dans un cadre, la sur- I face est pla7ie. Si elle a toute autre forme, la sur- | face est courbe. On définit la surface plane en di- I sant : C'est une surface telle qu'une ligne droite ! qui y est appliquée dans un sens quelconque a I tous ses points en contact avec elle.

0 > appelle surface cour/ie toute surface '/<"' n'tsi „i t lane, n "> surfaces planes. Telle est

la surface d'un tuyau, d'une boule, d'un entonnoir, d'un caillou roulé

Il ne sera point inutile d'entrer dans quelques explications, pour que les élèves arrivent à tiroir une notion juste de ce qu'on entend par surface courbe. Prenant comme exemple celle d'une boule, on imagine qu'elle soit découpée en un nombre extrêmement grand de parties égales, de forme carrée pour plus de simplicité; plus ces carrés sont nombreux, plus ils tendent à avoir leur surface plane. Si l'on suppose ensuite qu'on enlève ces carrés élémentaires, et qu'on les dispose les uns à côté des autres sur une surface plane, ils en couvriront une certaine portion qui différera d'autant moins de la surface courbe que les carrés seront plus petits. C'est cette portion de surface plane qui représentera sous une forme plus simple l'étendue de la surface courbe.

Il y a plusieurs genres de surfaces courbes; mais trois seulement entrent dans le cadre de la géométrie élémentaire. Ce sont : la surface cylindrique, la surface conique et la surface sphérique.

I. Surface cylindrique. — On appelle surface cy 'incivique la surface engendrée par une droite indéfinie GG' (fig. J), qui se meut le long d'une

ligne courbe quelconque mn, en restant toujours parallèle à sa direction première. La droite est la génératrice de la surface, et la courbe qui règle son mouvement est la directrice. Nous prendrons ici pour directrice une courbe plane fermée, la génératrice étant perpendiculaire à son plan. Si on regarde la courbe comme composée d'une infinité de côtés infiniment petits, la surface cylindrique se trouvera composée d'une infinité de faces planes infiniment étroites, comme la surface latérale d'un prisme droit. Or on peut imaginer que la seconde de ces faces soit rabattue sur le plan de la première, la troisième sur le plan des deux autres, de la même manière que les feuilles d'un paravent qu'on déplierait en ligne droite, et ainsi de suite. De là il résulte qu'une surface cylindrique peut être transformée sans altération en une surface plane : c'est ce qu'on exprime en disant que cette surface est développable.

Si on prolonge indéfiniment dans les deux sens une de ces faces planes infiniment étroites, ce plan indéfini ne touche la surface cylindrique que le long d'une génératrice : ce plan est dit tangent à la surface cylindrique.

D'après ce qui précède, la surface cylindrique n'est autre nu'une surface prismatique ayant pour faces latérales des rectangles indéfinis en longueur, mais infiniment étroits. Par conséquent les sections faites dans une surface cylindrique par des plans parallèles sont des courbes égales.

Cylindre. — On appelle cylindre le volume compris entre une surface cylindrique et deux sections parallèles faites dans cette surface. Ces sections sont les basés du cylindre.

Quand les bases sont perpendiculaire nératrtee, le cylindre est droit; dans ce <

il a pour base un cercle; ellijitique, s'il a pour base une ellipse.

La surface cylindrique circulaire se montée dans la voûte des tunnels de chemins de fer on des aqueducs souterrains; la surface cylindrique elliptique est celle des ponts à voûte surbai-

Cyi.imuik CIRCULAIRE droit. — Dans la géométrie élémentaire on étudie particulièrement le cylindre circulaire droit. C'est de celui-là qu'il est question, quand on le nomme simplement cylindre, sans autre dénomination particulière.

On peut en donner la définition suivante : le cylindre est un volume enqendré par In révolution d'un rectangle AHCD tournant autour de l'un de se» côtés ÀB qui reste fixe (V. la fig. 1 de l'article Corps ronds, p. 512).

Le côté fixe est Vaxe ou la hauteur du cylindre ; le côté CD, qui lui est parallèle, décrit la surface courbe ou surface latérale du cylindre; les côtés égaux BC et AD, perpendiculaires à l'axe, décrivait les cercles qui sont les bases du cylindre.

Le cylindre peut être assimilé à un prisme régulier dont les faces latérales seraient des rectangles infiniment nombreux et infiniment étroits. C'est ce que montre la figure 2. Si on imagine

qu'on double indéfiniment le nombre des côtés du prisme régulier inscrit dans le cylindre qui a pour base le cercle ABCDEF, le prisme diffère d'autant moins du cylindre que le nombre de ses faces latérales devient plus grand.

Si on fend le cylindre le long d'une génératrice A' A (fig. 2), et qu'on développe sa surface latérale, elle se transforme en un rectangle d'une hauteur égale à celle du cylindre et ayant pour base une droite égale à la circonférence rectifiée du cylindre.

Réciproquement on peut former un cylindre en enroulant un rectangle de manière à amener deux côtés opposés l'un sur l'autre, de manière que les deux autres côtés forment des cercles égaux.

Remarque. — Les trois points de vue sous lesquels nous venons d'envisager le cylindre circulaire droit se rapportent à trois modes de construction usités dans les arts. Le potier pratique le premier pour modeler un cylindre creux en terre; le charpentier opère d'après le second, pour transformer en un rouleau une pièce de bois prismatique; c'est d'après le troisième que le boisselier et le ferblantier fabriquent des vases cylindriques en bois, en tôle ou en fer-blanc.

Les mesures effectives de capacité ont reçu la forme cylindrique, qui est plus commode que la forme cubique. Les mesures en bois pour les grains, le charbon, etc., ont une profondeur égale à leur diamètre; celles qui sont en étain et servent à la mesure du vin, de l'alcool, etc., ont une profondeur double de leur diamètre; enfin celles qui sont destinées à la mesure du lait et de l'huile sont en for-blanc et ont une profondeur égale à leur diamètre.

Mesure de la surface latérale du cylindre. — Poitr connaître la surface latérale d'un cylindre, il suffit de multiplier sa hauteur par la circonférence de sa base.

On vient de voir en effet que cette surface n est autre que celle d'un rectangle de môme hauteur que le cylindre et dont la base est le développement rectiligne de la circonférence.

Si donc on désigne par h et r la hauteur et le rayon d'un cylindre, sa surface latérale S sera exprimée par la formule suivante :

S = 2nr X h.

Pour avoir la surface totale, il n'y a qu'à ajouter à la surface latérale le double de la surface du cercle de base.

Similitude de deux cylindres. — Maigre leur ressemblance de forme, deux cylindres ne sont pas toujours semblables au point de vue de la géométrie. On appelle cylindres semblables deux cylindres dont les hauteurs sont proportionnelles aux rayons des bases.

Tels sont, par exemple, deux cylindres dans lesquels la hauteur et le rayon de l'un seraient triples de la hauteur et du rayon de l'autre, ou deux cylindres dont les hauteurs seraient doubles de leurs diamètres. '

Le rapport des surfaces latérales de deux cylindres semblables est égal au carré du rapport des hauteurs ou au carré du rapport des rayons.

En effet soit S et S' les surfaces latérales) de deux cylindres dont les hauteurs sont h et h et les rayons r et r' . On a pour leurs surfaces :

S = 2irr X h, S' = 2w' X h'.

En divisant ces deux égalités membre à membre, afin d'avoir le rapport des surfaces, on obtient :

Or lo rapport des rayons- étant égal au rapport des hauteurs p, on peut écrire :

indiquerons seulement un moyen facile de réaliser cette section. Il suffit de mettre de l'eau

dans un verre à boire cylindrique. Dans la position ordinaire du verre, la surface de l'eau est une section plane perpendiculaire à l'axe du verre, c'est un cercle. Si on incline le verre avec la main, le plan de la surface présente une ellipse plus ou moins allongée.

Intersection de deux cylindres. — Quoique cette question appartienne spécialement à la géométrie descriptive, nous en dirons quelques mots à cause de ses fréquentes applications dans les* arts.

Deux cylindres de même rayon dont les axes se rencoutre?it se coupent suivant une ellipse.

C'est ce qui se produit à la rencontre de deux

ce qui est précisément l'énoncé du théorème.

Remarque. — Le rapport des surfaces totales d« deux cylindres (y compris celles des deux bases) est aussi le môme que pour les surfaces latérales.

En effet, supposons que !e rayon de lun

soit r du rayon de l'autre, la surface latérale du

plus petit sera - de la surface latérale du plus grand. Or la surface du cercle du premier est aussi - de la surface du cercle du second. Le rapport

des surfaces totales est donc - comme celui des

surfaces latérales.

Sections planes d'un cylindre. — 1° Toute section faite dans un cylindre par un plan perpendiculaire h. l'axe est un cercle égal au cercle de

base. , t,- . ,<

2° La section faite par un plan oblique à 1 axe est une ellipse (fig. 3). Nous nous bornons à énoncer ce fait, sans en donner la démonstration; nous

tuyaux, assemblés comme dans les figures 4. 5 et 6.

Fig. 5 et 6.

La rencontre de deux surfaces cylindriques se

montre aussi dans les voûtes de d>ver8 edificw tels que plusieurs cathédrales, ou certain» arcs de-triomphe. f c0

II. Surface conique. — Unoa„Pnnp droite indénique la surface engendrée par une droite > inje 7), qui se meut sur une courue

'■9 finie

SG (fi£

VlliFACI.S CnriUM.S

2104 — SUHFACT-S COURBES

quelconque, en passant constamment par un point lixe S.

Si on regarde la courbe directrice comme composée d'un nombre infiniment grand de côtés infiniment petits, la surface conique se trouvera composée d'une infinité de faces angulaires infiniment étroites, comme la surface latérale d'une pyramide. Or si on imagine que la seconde de cos faces soit rabattue sur le plan de la première, la troisième sur le plan des deux autres, et ainsi de suite, on voit que la surface conique est aussi développable, comme la surface cylindrique.

Si l'on prolonge indéfiniment le plan d'une de ces faces infiniment étroites, le plan ainsi obtenu est dit plan tangent à la surface conique. Il la touche le long d une génératrice.

Cône. — On nomme cône le volume compris entre la surface conique et la section faite dans cette surface par un plan fig. 8 et 9).

Fig. S et 9.

Cô.ye circulaire Dr.oiT. — \ln cône qui a pour base un cercle et dont le sommet trouve sur la droite perpendiculaire à la base en son centre est 'un cône tir cul aire droit. C'est ce cône qu'on étudie dans la géométrie élémentaire; il est désigné seulement par le nom de cône. On peut en donner la définition suivante : le cône est un volume engendré par la révolution d'un triangle rectangle tournant autour de l'un des côtés de l'angle droit.

Le côté fixe AB (V. la fig. 2 de l'article Corps ronds, p. 512) est l'axe ou la hauteur du cône ; le côté BC, qui lui est perpendiculaire, décrit le cercle de base ; l'hypoténuse AC décrit la surface latérale ou surface courbe. L'hypoténuse, qui est la génératrice de cette surface, est aussi appelée apothème du cône.

Le cône peut être assimilé à une pyramide régulière, qui aurait pour base un polygone régulier, d'une infinité de côtés infiniment petits et dont les faces latérales seraient des triangles isoscèles égaux, infiniment étroits à leur base. C'est ce que montre la figure 10, si l'on suppose qu'on augmente indéfiniment le nombre des côtés de la base de la pyramide régulière inscrite dans le cône SAD.

Si on fend la surface du cône le long d'une génératrice SA, elle se développe suivant un secteur circulaire SADA (fig. 11,, dont le rayon es)

égal à l'apothème du cône et dont l'arc est égal

i .-. il.

en longueur à la circonférence de la base du cône.

Mesure de la surface latérale du cône. — La surface latérale d'un cône est égale ou demiproduit de son apothème par la circonférence de sa base.

Cela résulte de la mesure de la surface du secteur circulaire dans lequel se transforme la surface latérale du cône dans son développement.

Cette mesure peut se déduire aussi de celle de la surf.ice latérale dune pyramide régulière.

Similitude de deux cônes. — On nomme cônes semblables deux cônes dont les hauteurs sont proportionnelles aux rayons des bases.

Les triangles rectangles générateurs des doux cônes semblables sont eux-mêmes semblables. Il résulte de là que deux cônes semblables peuvent s'emboîter exactement l'un sur l'autre par leur sommet; leurs surfaces latérales coïncident et la circonférence de base du plus petit se trouve alors parallèle à la circonférence de base du second. Tels sont les deux cônes ADE et ABC de la figure 2 de l'article Corps ron^ls.

Le rapport des surfaces latérales de deux cônes semblables est égal au carré du rapport de leurs rayons, ou au carré du rapport de leurs hauteurs.

En effet, soit S et S' les surfaces de deux cônes semblables dont les apothèmes sont a et a', les hauteurs h et h' et les rayons des bases r et »•'.

On a pour leurs surfaces latérales :

S =wrXffi

S' = jrr' X a'.

En divisant les deux égalités membre à membre, on obtient :

S'~r'Xa

Or, le rapport -, étant égal au rapport p et au

rapport -■, on peut écrire :

ce qui est l'énoncé du théorème.

Tronc de cône. — Toute section faite dans un cône par un plan perpendiculaire à l'axe est un cercle. Si la section est à égale distance du sommet et de la base, la circonférence de la section est égale à la moitié de la circonférence de la base, et la surface de la section n'est que le quart de celle de la base.

On nomme tronc de cône eu cône tronqué la portion du cône comprise entre sa base et une section parallèle à cette base. Telle est la portion de cône comprise entre le cercle BC et le cercle parallèle DE.

En considérant les figures 10 et 11, on reconnaît facilement que la surface latérale d'un cône tronqué se développe en un trapèze circulaire compris entre deux arcs concentriques A'D'A' et ADA égaux aux circonférences des bases du cône tronqué, et limité à droite et à gauche par deux droites égales à l'apothème du cône tronqué.

Mesure de la surface latérale du cône tronoié. — La surface latérale d'un cône tronqué est égale au produit de son apothème par la demisjmme d»s circonférences des bases.

En effet, si on mène dans le secteur circulaire SADA (fig. 11) un grand nombre de rayons, tels SA, SC, SD, etc., le trapèze circulaire A'ADAA', qui est le développement de la surface latérale du cône tronqué, se trouve décomposé en un grand nombre de trapèzes circulaires ayant tous pour hauteur l'apothème du cône tronqué etdontles bases sont des arcs qui tendent à se confondre avec leurs cordes, à mesure qu'ils deviennent plus petits. Or, la surface de chacun de ces trapèzes élémentaires serait égale à l'apothème multiplié par la demi-somme des deux bases ; donc la surface de la somme de tous ces trapèzes sera égale nu produit de l'apothème multiplié par la demisomme des bases, c'est-:t-dire par la demi-somme des circonférences des bases du cône tronqué.

La forme du cône tronqué se présente plus souvent que celle du cône lui-même ; c'est celle d'un abat-jour de lampe, d'un seau, d'une cuve dont le fond n'a pas le même diamètre que l'ouverture.

Nous allons montrer comment on peut le construire, quand l'apothème at donné ainsi que les diamètres des bases.

Construction du cône tronqué. — Supposons que le diamètre d de la plus grande base ait •iS centimètres, le diamètre ci' de la plus petite 32, et l'apothème 40.

La question revient à construire le développement A'ADAA' (fig. Il) de la surface latérale du cône tronqué, et pour cela, il faut calculer le rayon SA et le nombre de degrés de l'angle du secteur ASA.

Or, on a d'abord les égalités suivantes :

arc A A =nd, t SA arc A A

arc A'A' = nd', SA' arc A'A'

On en tire la proportion :

SA d

SA' ~~ d' De cette proportion on déduit :