DÉCRIRE SUR LA SPHÈRE UNE CIRCONFÉRENCE DE

grand cercle. — On prend une ouverture de compas égale à la corde pe (fig. 14) qui sous-tend le quart de la circonférence d'un grand cercle, puis posant la pointe du compas au point P choisi comme pôle (fig. 12), on décrit la circonférence EFG. Le plan de cette circonférence passerait par le centre de la sphère.

Trouver sur une sphère le point où aboutit le

DIAMÈTRE PARTANT D'UN POINT DONNÉ. — Soit P

(fig. 12; le point qui est diamétralement opposé au point donné. On décrit du point P pris pour pôle. comme on vient de l'indiquer, un grand cercle EFG; puis en conservant la même ouverture de compas égale à la corde EP, qui sous-tend le quart de la circonférence du grand cercle, on décrit de deux points quelconques E et F de cette circonférence deux arcs qui se coupent : le point d'intersection P' est le point cherché. Les points P et P' sont, les pôles du grand cercle EFG. Construction des cercles d'un globe terrestre.

— Ce qui précède indique aufflaao .ment

on peut tracer sur la surface d'une -, méridiens, l'éqnateur et les parallèles, pour ea

faire un plobe terrestre. Après avoir trouvé I diamètre d" la sphère, on prtnd sur sa surfa point P pour pôle (fig r.' : de ce point on décrit le grand cercle i l '■ qui sera l'éqnateur; puis on construit l'autre pôle P'. On divise cette cin renec en quatre parties égale?, aujmoyen de l'ouverture de compas qui a servi à la décrire; chacun des quatre arcs en !)0 : l'é-

qnateur est ainsi partagé en degrés. En plaçant successivement la pointe du compas sur les divers points de division, on décrit avec une ouverture égale à la distance PE des cercles qui se croisent tous aux pôles P ei I' '; ce sont les méridiens, Pour tracer les parallèles on divise le quart de méridien PE en 90 degrés; puis en posant la du compas au pôle P on décrit des cercles avec des ouvertures de compas égales à la distance du pôle P à chacun des points de division do l'arc PAB. On répète les mômes constructions avec le pôle P' de l'autre côté de l'éqnateur EFG. Remarque. — L'axe PP' étant perpendiculaire à l'équateur EFG, il est bon d'observer que les divers méridiens menés par cet axe sont ton pendiculaires au plan de l'équateur. Par conséquent, l'angle de deux demi-méridiens est mesuré par l'arc d'équateur qu'ils interceptent entre eux.

HSSCRE HE LA SURFACE SPHÉHIQ1.E. — La cirCOIl-

férence étant la ligne avec laquelle tend à se confondre le périmètre d'un polygone régulier inscrit, à mesure que le nombre des côtés at:-mente indéfiniment, et la surface sphérique étant engendrée par la révolution d'une demi-circonférence tournant autour de son diamètre, on arrivera à la mesure de la surface sphérique en cherchant à évaluer la surface engendrée par la révolution d'une portion du périmètre d'un polygone régulier inscrit dans un cercle.

Soit donc ABCDFG (fig. 15) un demi-polygone régulier inscrit dans un cercle qui a O pour centre et OA pour rayon, et supposons que la figure tourne autour du diamètre AG.

Menons les apothèmes OK,01,0AI... etc., et abaissons sur l'axe AG les perpendiculaires KK , BB', II', etc.

1» Le côté AB décrit la surface latérale d un cône qui a pour mesure le produit de son apothème multiplié par la demi-circonférence de sa base. Or la droite KK' étant égale à la moitié de BB', la circonférence qui aurait pour rayon KK'. c'est-à-dire 2it X KK', est égale à la moitié de la

circonférence de la base dont le rayon estBB'. On a donc :

surf. AB = 2-.KK'x AB.

Cherchons pour cette surface une expression qui soit indépendante des côtés du polygone inscrit. Les deux triangles rectangles ABB' et OKK' sont semblables, comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires; leurs côtés homologues sont donc proportionnels et donnent la proportion :