AB AB

OK — Kk' On en déduit :

KK'XAB = OKXAB'.

En remplaçant dans l'expression de la surface que décrit AB le produit KK/xAB par le produit égal OKx AB', on obtient :

surf. AB = 2tt x OK X AB'.

Ce résultat signifie que la surface engendrée pnr le côté Ali est égale à la circonférence inscrite dans le polygone régulier multipliée par la projection de ce côté sur l'axe.

Ce résultat s'applique à tout autre côté. En effet la surface engendrée par le côté BC est 1a surface latérale d'un cône tronqué, qui est égale au produit de son apothème BC par la demisomme des circonférences qui ont pour rayon CC et BB'. Mais dans le trapèze BCC'B' la droite II' est égale à la demi-somme des deux bases CD' et BLî'; la demi-somme des circonférences des bases est donc égale à la circonférence qui aurait II' pour rayon. On a par conséquent :

surf. BC=27iXH'XBC.

Abaissons BII perpendiculaire sur CC Les triangles rectangles Bi.H et OU', ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires, sont semblables et donnent la proportion :

Ainsi la surface d'une sphère est égale au quadruple de la surface d'un cercle qui aurait le même rayon.

Remarque. — Le rapport des surfaces de deux sphères est égal au carré du rapport de leurs rayons.

En effet soit r et r' les rayons des deux sphères dont les surfaces sont S et S'. On aura :

S =4*rî

S'=-in,'2 et par suite :

S 4-r2 rg S'~ 4irr'* — »''2 —

Exemple. — Si les rayons de deux sphères sont l'un - de l'autre, la surface la plus petite sera de celle de la plus grande.

Par exemple le rayon de la lune est les — do

celui de la terre ; la surface de la lune n'est par

g conséquent que les -J— de celle delà terre.

Surface de la zone. — On appelle zone une portion de surface sphérique comprise entre deux plans parallèles. Telle est la zone comprise entre

On en déduit :

ou