F=F', AA'=6B, A'AF = 6BA

roquemeni : si deux forces F et F', appltquées en deux points A et H d'un corps solide libre lig. 9), ont de* travaux égaux et désignes contraires pour tout déplacement très petit ducùrps, ces forces sont égales et directement opposées.

En effet, faisons tourner le corps autour du point A, le travail de F, qui est appliquée en ce point, sera nul; or la somme des travaux de F et de F" est nulle par hypothèse, l'on aura donc aussi :

Mais les déplacements du point B ne peuvent avoir lieu que sur une sphère dont A est le centre ; donc F" est dirigée normalement à cette surface et passe par le point A. On démontrerait de la

même manière que F passe par le point B ; par conséquent F et F" sont directement opposées. De plus, ces forces sont égales ; déplaçons en effet le corps suivant la droite Ali : A viendra en A', B en B', et les déplacements AA' et BB' seront égaux. Comme la somme des travaux est égale à zéro, nous aurons :

AA'xF = — BB'xF",ouF=— F"

Conséquence. — Pour que deux forces appliquées à un corps solide se fassent équilibre, il faut et il suffit que la somme de leurs travaux élémentaires soit égale h zéro.

Proposition V. — Lorsqu'on transporte une force appliquée h un corps solide en un point de sa direction invariablement lié au premier, son travail élé > e 'taire ne change pus.

Dimonstrati n. - Soit f une force appliquée au point A d'un corps solide; transportons-la au point B situé sur sa direction et lié invariablement au point A, et démontrons que l'on a :

En effet, soit F" une force égale et contraire à F', nuus aurons, d'après la proposition III :

Î.P— «eF*ï mais, d'après la proposition IV,

i,c r — — oe r |

.nous aurons donc :

Ze F = ".e F'.

Remarque. — Les propositions précédentes périt d'énoncer nés simplement les conditions d'équilibre il un système de forces appliquées à un corps Bolide.

II. Principe des vitesses virtuelles ou des travaux virtuels. — On appelle déplacement virtuel d'un point tout déplacement très petit île ce point compatible avec les liaisons du système dont le point matériel fait partie. Ce déplacement peut différer du déplacement réel que va prendre le point matériel sous l'action îles forces. Le principe «le-- vitesses virtuelles a été entrevu par Gainais c'est Lagrange qui l'a établi d'une manière générale.

Theorbmb. — Pour que plusieurs forces se fassent équilibre sur un corps solide libre, il faut cl il suffit que la «mime algébrique des travaux élémentairet de ces forces soit égale à zéro pour un déplacement quelconque du corps.

Démonstration. — Pour réduire les forces F. F', F"... appliquées à un corps solide a trois, puisa ileux résultantes IS, et Rj (V. article Mécanique), les seules opérations que l'on effectue sont des compositions ou des décompositions de forces et des transports de ces forces en de* points situés sur leur direction et liés invariablement avec les points d'application primitifs. Or il résulte des propositions! et V que ces opérations n'altèrent pas la somme des travaux élémentaires de F, de F', de F '... ; on aura donc :

5,F+2« F' + seF"+...= ;;eB1-f-s«Rï;

mais, pour l'équilibre (proposition IV), il faut et il suffit que la somme des travaux de Ri et de R2 soit égale à zéro; donc pour l'équilibre il faut et il suffit que l'on ait :

El F + SeF'+£eF"-f-...=0.

Remarque. — Si le corps n'est pas libre, s'il est assnj-tti a tourner, par exemple, autour d'un point fixe, ou d'un axe lixc, le même énoncé convient encore. En effet, nous avons vu qu'un pareil corps peut être assimile à un corps libre, pourvu que l'on ajoute aux forces appliquées les réactions du point lise ou de l'axe lixe. Mais la somme des

travaux de ces réactions est nulle, puisque leurs points d'application ne se déplacent pas; il faut donc encore ici, pour l'équilibre, que la somme des travaux élémentaires des forces appliquées au corps soit égale à zéro.

Pour déduire de ce principe les six équations d'équilibre des forces appliquées en différents points d'un corps solide, nous établirons d'abord les deux propositions préliminaires suivantes, relatives aux travaux des forces : 1° dans le cas où le corps est animé d'un mouvement de translation ; 2° dans le cas où le corps est animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe.

Proposition I. — Le travail élémentaire d'un système de forces appliquées à un corps animé d'un mouvement de translation est égal à l'élément de chemin décrit par un point quelconque du système multiplié par la somme des projections, sur la direction du déplacement, de toutes les forces extérieures.

Démonstration. — Soit F, F', F"... les forces appliquées aux points A, B, C..., et désignons par AA', BB', CC... les déplacements égaux et parallèles que subissent ces points d'application ; nous aurons, en désignant par a, a', a''... les angles de F, F', F" avec la direction des déplacements :

je F = AA'xFxcos<x, je F'=BB'xF'Xcosa'...

et la somme de ces travaux peut s'écrire :

AA\F cosa + F' cosa'-f F" cosa'"-f. . .),

ce qui n'est autre chose que la traduction algébrique de l'énoncé ci-dessus.

Proposition II. — S* un corps est animé d'un ment de rotation autour d'un axe, la somme des travaux élémentaires de toutes les forces appliquées est égale à l'arc très petit, que décrit un point situé à l" de distance de l'axe multiplié par la somme algébrique des moments des fores p n- rapport à cet axe.

Démonstration. — Soit 0 le pied de l'axe qui

Fig. 10.

est perpendiculaire au plan de la figure, A un point quelconque du corps qui se projette en a sur le plan de la figure et F la force appliquée en ce point; décomposons-la en deux autres, l'une P perpendiculaire à l'axe qui se projettera en vraie grandeur suivant aP, l'autre Q parallèle à cet axe. Il est clair que le travail élémentaire de cette dernière force Q est nul puisqu'il est perpendiculaire au déplacement du point A ; le travail de F se réduit donc à celui de P ; or ce dernier a pour expression :

5e P = P X aa' X cos Vaa' ;

nous aurons donc aussi :

5e F = P x aa' X cos Paa'

Soit maintenant s l'arc décrit par un point situé à lm de distance de l'axe, nous aurons : aa' =OrtXS