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Ce sont précisément les équations que nous avons trouvées ^article Mécanique) en écrivant que les résultantes partielles Rj et R2 sont égales et directement opposées. On les énonce ainsi : // faut et il suffit, pour l équilibre d'un corps sohde libre, que la somme algébrique 'les projectioyis des forces sur trois aies rectangulaires soit nulle séparément p ur • hacun ilt ces axes, et que In somme algébrique des moments de ces forces par rapport à ces mêmes axes soit aulle séparément pour chacun d'eux.
He>>arque. — Si l'on attribuait au corps un Uutre mouvement virtuel quelconque, la somme
des f . Il qui correspondraient à co
Instant que i,i' satisfont aui th * pré-
cédente*. En effet, ce n uvrau d placement* l qu'il m iro considéré comme résultent
d une ' itour d ur»
certain axe. Or, i cm démontra : 1* qu'une transielion suivant une direction quelconque < tri
u i. -n tante de trois ira stations luivaot les axes . v" qu'une rotation autour d'ut» axe
quelconque est lo inmn t de trois
rotations auteur «le*
donc 'ju'un déplacement quelconque du
m me le mouvement réeu> tant de tr< is translations suivant!
ir.ns rotationa autour dr> rcs a\<-. i i somme ivaux de toutes les roi se I I . I ',.., datai le nouveau mouvement virtuel considéré, '■'obtiendra donc en ajoutant : • lé nuiras qui
correspondent h ces sis mouven t>« composante.
Lorsque ces travaux élémentaires sent mut le» nls, l< ur somme l'esl • . • i tant que li
équations ci-dessus sont satisfaites, on pet ■
«j un U somme dos travaux virtuels <ios . pour un nouveau déplacement quelconque ra nulle d'el s même et 'i"'- le corps bora en équilibra.
sont donc pas eu nombre Infini et se réduisent à six.
III. Equation du travail. — Nous admettrons ici c ' ■ ii i u j ■• connu tout ce qui regarde le mouvement
unifon nt \ar.'; ; nous rapp lie-
rons seulement que, dans le mouvement uuiformo, on a les formules :
V=Vo+ ut,
Vot 4-1 tu/i
dans lesquelles r. est la vitesse initiale, v la vit'-s-^e à une époque quelconque, et w l'accélération.
Nous admettrons, de plus, cette proposition : Deux f rces F et F sont entre elles comme les accétérutions w et w' qu'elle* font subir a an v.ême point matériel en agissant pendant [unité de temps etiCune manière constante; ceci revient à écrire la proportion :
F te F' tu'
Si l'une des forces F' est le poids du corps P, l'accélération w' est égale à g (<7 = 9m, 81), et la proportion précédente peut s'écrire :
F w F P .-==— , ou — = — P g w g
Définition de la masse d'un corps. — Le rapp port — est donc constant pour le même corps,
quelle que soit la force F, et a pour valeur le quotient du nombre qui représente le poids du corps (exprimé en kilogrammes) par 9,81. Ce quotient invariable pour un même corps s'appelle masse du corps, et cette définition, dont on pourrait fort bien se passer du reste, permet d'abréger les énoncés.
On écrit toujours:
Force vive. Puissance vive. — On appelle force vive d'un point matériel en mouvement le produit de sa masse m par le carré de sa vitesse v : ainsi l'expression algébrique de la force vive est :
mv% (force vive).
Comme c'est la moitié de ce produit qui revient à chaque instant dans les calculs de mécanique, M. Bellanger a proposé la dénomination de puissance vive à l'expression:
- mv* (puissance vive)
Nous adopterons cette définition en appelant, dans ce qui suit, puissance vive le produit :
mu2 t'2
qui est le produit du poids du corps par la hauteur de chute correspondant à la vitesse v.
PnoposmoN I. — Losqu'une force constante F agit sur un point matériel partant du repos, son l , au bout d'un certain temps t, est numériquement égal ù la puissance vive que possède le mobile à l'époque t.
Démonstration. — On a les équations:
v = u,7, e = - ut-, iv = q —,
qui donnent :
Si entre les équations (l)et (2) on élimine t, il vient :
n F w /P\2 v2 v2 P e = 2XPX(FJ X^"XF' ou:
(3) Fc= — xP=im»«
Comme le promier membre de cotte équation (3) autre chose que lo travail de la force F, l'éprécédent est vérifié.
Proposition II. — Lorsqu'une force constante aqit sur un point matériel dans la direction de tesse initiale, son travail e.st numériquement égal a lu puissance vive finale du mobile diminuée de sa puissance vive initiale, ou, ce qui revient au mémo, ù la variation de la puissance vive du mobile.
Démonstration. — On a les équations :
v=vo +ivt, e = v0t+-ivt2, vi=g-,
ou:
Si l'on élimine t entre ces équations on a :
[v — Vo )m , 1 m mi e=v0 S p2 + - - x — („ - v0 )2,
ou:
e— j (y - va )Uvo + j (» — v0 )J,
c'est-à-dire :
e=-(u-f, Par conséquent :
Fe = - mv2 mv »
ce qui démontre la proposition.
Proposition III. — Lorsqu'un point matériel se meut dune manière quelconque dans l'espace sous l'action d'un nombre quelconque de forces variables, le travail total des forces appliquées équivaut numériquement à la variation totale de la 2e Partie.
puissance vive depuis la position initiale jusqu'à la position finale que l'on considère.
Démonstration. — Soit R la résultante des forces F. F', F", d'intensités variables, qui sollicitent le point matériel ; nous diviserons la trajectoire en éléments très petits, et pendant que le mobile parcourt chaque élément de la courbe nous pourrons supposer R comme constante. Décomposons la force R en deux autres, l'une, N. normale à l'élément de la trajectoire, l'autre Q dirigée suivant cet élément ; comme le travail de N est nul, le travail de R se réduit à celui de Q. Soit v0 la
vites-e initiale, t> la vitesse finale, etv',v", vm va ,
les vitesses à la fin du premier petit mouvement, a
la fin du sf-cond ; soit de plus m la masse du
point matériel. \ous aurons pour le premier élément du travail :
1 ,, 1 2 -mv2 --mvo,
pour le second:
- mv"* — mv'*,
pour le troisième :
I nW'ï 1 mv"*,
pour le dernier:
Ajoutant toutes ces différences, on voit que les termes
- mv2. - mv 2, - mv
disparaissent, et l'on a pour l'expression du travail tjtal delà résultanteR:
SR= -mv2—-mvo
Comme le travail de R est égal à la somme des travaux des composantes F, F', F", la proposition est démontrée.
Proposition IV. — Lorsqu'un corps solide,soumis à des forces quelconques F, F', F"..., se meut d'une manière quelconque duns l'espace, la somme algébrique des travaux de toutes les forces appliquées équivaut ù la variation totale ae la somme des puissances vives de tous les points du corps.
Démonstration. — Soit m la masse d'un des points matériels A, v0 sa vitesse initiale, v sa vitesse finale, R la résultante de toutes les forces qui sont appliquées au point A et dont le travail est égal à la somme des travaux des composantes; on aura:
ôR = - mv2 — -mv0,
Chacun des points du système fournira une équation analogue:
n, 1 , ., 1 , ,2 SR = -mv2 — -m v ;
On aura donc en les ajoutant:
le signe I du premier membre signifie : somme de travaux analogues au travail total de F, et le signe 2 du second membre indique qu'il faut ajouter les puissances vives de tous les points du corps.
TRAVAIL DES FORCIS
TV. Cas particuliers. - L'éqtuUOB du tW
«ImpHHe lorsque le système matériel considéré est animé d'un mouvement de translation reçuîi^n.-. ou d'an mouvement de t iteUon autour <i an av- ; ce sont lei mouvementé los plus (réquemment employée dane lee machine».
Proposition l. — Si unsysiènu d* points matériel) est animé <ï>t» mouvement •' " m, la
travaux </,■< / letUti <</"'-
vaut "ii paidê total du système multiplié par ta différence des hauteurs de chute correspondantes auxvitesie» extrêmes de t'un quelconque dm points eonsid
Démonstration. — Dane un mouvement <io translation, tous lea pointe matériels décrivent pendant an temps très petit des éléments égaai ci parallèles; lea vitesses de ces éléments ;i un instant <| eleonque sont donc toutes i b la vitesse finale de l'un d'eux, /', /<'. p".-- |p,irs poids ; la somme des puissances vives finales sera:
— 2226 — TRAVAIL Iil S FOI
de chaque notai par le earré d uicn a
appelle uniment d'im rtie du • orpt ; si ou la
: I, on ■ pour la bouiuio des puissances vives Anales :
On aurait do même pour la somme des puissances vives initiales :
