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et par suite l'équation du travail se réduit à: 2F — J I («i — .

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■Oxjç-pxç.

P désignant le poids total du corps.

Soit de même Do la vitesse initiale de 1 un dos points matériels, la somme des puissances vives nitiales sera :

et Ton aura

Comme — est la hauteur de chute qui donnerait

au corps la vitesse 0, l'énoncé précédent est démontré. On peut dire aussi que le second membre est égal à la moitié do la masse totale du .système multipliée par la différence des carrés des ^vitesses extrêmes.

Proposition II. — Si un système de points matériels est animé d'un mouvement de rotation au- 'tour 'l'un axe fixe, ta somme des travaux 'tes forces extérieures èquiiaut à la différence des entrés ^des vitesses angulaires extrêmes mu tiptiée pi.r \le moment d'ine-tie du corps. On appelle moment {<t inertie la somme des produits obtenus en multipliant la masse de chaque point matériel par le -carré de sa distance à l axe de rotation.

Démonstration. — Soit encore p, p\ y"..., les "poids des points matériels, leurs masses m, m , m" seront:

La détermination du moment d'inertie d'un corps d fini géométriquement est une qu

cul qui n'offre pas de grandes difficultés; on trouve les moments d'inertie d'un»

triangle, d'un rectangle, d'un cercle, d'une couronne circulaire, d'un parallelipipôde, d'an d'une Bphère, dans les aide-mémoire de mécanique pratique.

Proposition III. — Lorsqu'un système de points la seul an ton de In | teU', l'i variation de la somme des ,

dues différents points est i-galc au poids du corps multiplié par la hauteur verticale dont le centre de gravité s'est abaissé.

ation. — Soit A6, A'0, A'V.. les posi-

soit de plus wo et m les vitesses angulaires extrêmes; en désignant par r la distance du point considéré à l'axe de rotation nous aurons :

et l'expression de la puissance vive de ce point deviendra:

la somme des puissances vives finales du système sera donc :

ou, en mettant- m2 en facteur commun,

- ma>2 (mr* + wV" + ™"r"2 +•

La quantité entre parenthèses, qui est la somme des produits obtenus en multipliant la masse

tions initiales des points considérés; h0,h'0, "«y leurs distances initiales à un plan horizontal de comparaison UN ; soit de plus A, A', à".... leurs

positions finales, et h, h', h"... leurs distances finales au même plan UN; désignons par p,//,//'.... leurs poids, par G0 et G les positions extrêmes du centre de gravité, et par H0 et H la distance initiale et la distance finale de ce centre de gravité au plan horizontal de comparaison AIN ; soit enfin P le poiis total du système.

D'après ce qui a été vu ci-dessus, les travaux de la pesanteur sur les différents points matériels ont pour expressions :

plh-ho), p\h'-h'), p"{h" -h"),...

et leur somme, ou le travail total de la pesanteur,

z=(p>, + p'h,+p"h"+...) — [p'<o + p'n'o + p"h"o + . • •) Mais la première somme est, en vertu du théorème des moments,

ph+p'h'+p"h" + et la seconde est:

ph0 + l'h'o +p"h"0 On a donc en substituant:

.vi