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VI. Principe de la transmission du travail dans les machines- — Si l'on considère les machines au point de vue du travail qu'elles effectuent, on peut dire qu'un/» machine est un système matériel renfermant un ou plusieurs points fixes et destiné à transmettre le travail îles forces.

Définitions. — Parmi les forces qui agissent sur une machine, on distingue : 1" les forces motrice', qui tendent à augmenter la vitesse de leurs points d'application ; elles sont dirigées dans le sens du mouvement, ou bien font un angle aigu avec la direction de ce mouvement; 2° les forces résistantes, qui tendent à diminuer la vitesse de leur point d'application; elles sont directement opposées au mouvement, ou bien font un angle aigu avec sa direction.

Ainsi lorsqu'une force Q fait monter un corps le long d'un plan incliné, elle agit comme force motrice, tandis que le poids P du corps est la résistance. Le frottement qui se développe au contact des deux surfaces doit aussi compter comme force résistante.

On voit par cet exemple que les forces résista aes sont de deux sortes : 1° les résistances utiles, celles qu'on a pour but de vaincre ; 2° les résistances passives, telles que le frottement, la résistance de l'air ou de l'eau.

Le travail de la force motrice, ou la somme des travaux des forces motrices, est appelé traçait moteur; dans le calcul on le considère comme positif.

Le travail de la résistance ou la somme des i travaux des résistances est appelé travail résistant ; dans le calcul on le regarde comme négatif. Le travail résistant se compose du travail utile et du travail des résistances passives.

Principe de la transmission nu travail. — Lors~ que le mouvement d'une machine est uniforme, le \ travail moteur total effectué pendant un certain | temps est égal au travail résistant total correspondant au même intervalle de temps.

Ce principe est une conséquence de l'équation du travail ; soit z m le travail total des forces motrices, z.r le travail résistant, £n le travail utile, Zf le travail des résistances passives, on a :

Zm = Zr = S" + Zf

Ainsi le travail moteur est toujours plus grand que le travail utile, et l'on a :

Zm

Définition. — On appelle rendement d'une machine le rapport du travail utile au travail moteur; le rendement d'une machine surpasse rarement <>.8(), et il est presque toujours inférieur à cette Unité.

Ce qu'on gagne en force on le perd en vitesse. Malgré cette perte de travail qu'entraîne toujours l'usage des machines les plus parfaites, les ma-

n'en sont pu moins utiles, parfois li.'me Indispena Mes.

Considéroni une machine qui n'utiliserait que

les- du travail moteur; soit (} la résistance a

vaincre, e le chemin décrit par son point d'application, on aura :

gfni -Qxe.

Comme l'on peut faire varier à volonté l'un des deux facteurs Q et r, on voit qu'aver cette machine on pourra surmonter une rési

considérable en faisant décrire a son point d'application un chemin très petit; ou bien, Invrrse* ment, faire parcourir au i • • >i r i t d'application d'une

résistance très faible un chemin ires long, \insi dans le treuil des carriers, sur le petit Cylindre la corde s'enroule très lentement, mais elle à «lever un poids considérable ; avec un palan équipé à six brins, il passe fi mètres de corde entre les mains des hommes de la manœuvre tandis que le poids ne monte que de t mètre; mais une force de traction de 100 k' fait monter un poUls de «00 k*.

te i roblème du mouvement perpétuel est impossible. — Il s'agit en effet de trouver une machine qui, une (ois mise en mouvement, puisse toujours fonctionner en produisant une certaine quantité de travail utile supérieure au travail moteur nécessaire pour la mise en train ; en d'autres termes, il faut trouver un appareil qui soit lui môme un moteur et puisse se passer de la puissance motrice de l'homme, d'une chute d'eau, du vent ou de la vapeur.

D'après ce qui précède, un pareil problème est impossible, puisqu'une machine n'augmente pas la quantité de travail fournie par le moteur; loin de là, elle la diminue, puisque les résistances passives que son mouvement développe nécessairement en absorbent une partie très notable.

Ainsi, l'on no peut créer de toutes pièces de la force motrice, et l'on doit se contenter d'utiliser le mieux possible le travail des moteurs en évitant les chocs, les changements brusques de vitesse, et en cherchant à diminuer les pertes de travail dues aux résistances passives.

Les chocs sont une perte de travail, il faut les éviter dans les machines. — En effet, remarquons d'abord que si l'on tend un ressort d'une élasticité parfaite, ce ressort restitue, en reprenant sa forme primitive, tout le travail moteur employé d'abord pour le fléchir ; mais s'il ne revient pas à son état primitif, une portion du travail moteur n'est pas restituée et sert seulement à opérer la déformation permanente du ressort.

D'autre part, les chocs ou secousses développent des pressions considéiables et produisent, par suite, des déformations permanentes; il faut donc les éviter et employer pour les pièces des machines des corps à la fois raides et élastiques. C'est, du reste, ce que l'on fait toujours : la plupart des outils sont en acier trempé ; ils ont une forme et des dimensions telles qu'ils s'émoussent ou fléchissent très peu sous l'action des résistances qu'ils ont à vaincre. Non seulement des outils en fer doux, en cuivre, en plomb, travailleraient fort mal et exigeraient de fréquentes réparations, mais ils consommeraient en pure perte beaucoup de travail mécanique.

La notion du travail dans les machines nous a permis d'exposer assez simplement quelques-uns des principes fondamentaux de la dynamique ; cet exposé forme le complément nécessaire du résumé de statique inséré à l'article Mécanique. Le général Poncelet eut, le premier, l'idée de présenter la dynamique de cette manière pour la rendre plus accessible aux constructeurs et aux personnes

dont les connaissances mathématiques ne sont pas très étendues. [E. Burat.]

TREMBLEMENT DE TERRE. — V. Volcans.

TRIANGLE.,— V. Polygonp.s.

TRIGONOMÉTRIE. — 1. Objet de la trigonométrie. — La géométrie apprend comment on peut construire un triangle au moyen de trois de ses six cléments, pourvu que parmi ces trois élé ments il y ait au moins un côté. Considérons par exemple un terrain triangulaire que nous désignerons par A'B'C. Après avoir mesuré à la chaîne le côté B'C et au graphomètre les angles B' et C adjacents à ce côté, on tire sur le papier une droite BG (fig. 1) contenant autant de millimètres qu'on a trouvé de mètres dans B'C; on fait à ses extrémités à l'aide du rapporteur les angles B et G <jgaux à ceux du terrain : on obtient ainsi un triangle ABC qui est semblable à celui du terrain. (V. l'article Polygones semblable*, p. 16fi'.'.i A l'aide de ce triangle, on peut connaître les longueurs des deux côtés A'B' et A'C; car elles contiennent autant de mètres qu'il y a de millimètres dans AB et dans AG. De môme en menant la hauteur du sommet A sur la base BC, on connaîtrait la hauteur correspondante sur le terrain, et en multipliant cette hauteur par la moitié de la base, on obtiendrait la surface du terrain. Malheureusement ces constructions ne sauraient être aussi exactes que faciles à tracer, soit à cause des erreurs inévitables commises avec l'emploi de la règle et surtout du rapporteur, soit à cause des variations qu éprouve retendue du papier sous l'influence de l'humidité de l'air.

On a donc cherché à déterminer par le calcul algébrique les trois autres parties du triangle; c'est ce qu'on appelle résoudre un triangle. Tel est l'objet de la Trigonométrie.

La résolution d'un triangle dépend des relations qui existent entre les angles et les côtés qui leur sont opposés. On sait bien que dans tout triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle ; mais si un angle A est double, triple d'un autre an^le B, le cô:é opposé à l'angle A n'est pas double, triple du côté opposé à l'angle B. C'est ce que montre clairement le triangle isoscèle rectangle ABC (fig. 1), où 1 angle droit A est double de chacun des angles égaux B et C, et où le côté BC, moindre que AB -f AG, est par suite moindre que 2BA.

Ainsi, le rapport de deux côtes d'un triangle n'est point égal au rapport des angles qui leur sont opposés. La relation qui existe entre les côtés et les angles d'un triangle ne pont donc pas s'exprimer directement; on y est parvenu par l'intermédiaire de certaines lignes qui dépendent des angles et qui, pour cette raison, portent le nom de lignes trigonométriques.

2.Delamètiiode suivie dans cet article. — Xous nous proposons ici de suivre le chemin qui conduira

le plus directement et le plus simplement possible à l'objet spécial de la trigonométrie, en ayant soin de montrer à chaque pas les applications utiles, pour ôter à cette étude l'aridité qu'on lui reproche, et en laissant à l'écart tout ce qui n'est pas indispensable pour atteindre notre but, afin de décharge- cette étude d'une multitude de formules qui l'encombrent.

Il est inutile de répéter ici ce qui a été enseigné dans la géométrie sur la mesure de l'angle au moyen de l'arc intercepté entre ses côtés et décrit d'un rayon quelconque avec son sommet pour centre. Xous dirons seulement que nous emploierons indifféremment arc pour angle, et qu'en outre nous nous bornerons aux angles des triangles, c'est-à-dire aux angles qui ne dépassent pas deux angles droits.

3. Lignes trigonométriques. — Dans un cercle décrit d'un rayon quelconque (fig. 2), tirons deux

mn MP:

Ow mp ÔM°UÔ^

Fig. 2.

diamètres rectangulaires AA' et BB'; à partir du point A prenons l'arc AM ; puis menons de M la droite MP et en A la droite AT perpendiculaires toutes deux sur OA, et tirons le rayon OM prolongé jusqu'à sa rencontre avec AT.

La perpendiculaire MP est le sinus de l'angle AOM ou de l'arc AM; la droite AT en est la tangente, et la droite OT la sécante.

Mais l'arc am indique la mesure de l'angle AOM aus^ bien que l'arc AM, et si on fait les mêmes constructions que pour l'arc AM, la perpendiculaire mp sera aussi le sinus de l'angle AOM, la droite at sera la tangente et ol la sécanie. On voit par là que pour déterminer les trois lignes trigonométriques de l'angle, il faudrait en même temps indiquer le rayon qui a servi à décrire l'arc. Cela cependant n'est point nécessaire.

En effet, les deux triangles rectangles semblables Omp et OMP donnent la proportion :

MP