OM

Cette proportion montre que le rapport entre le sinus mp de l'arc am et son rayon Om est égal au rapport entre le sinus MP de l'arc AM et son rayon OM. Par exemple, si mp était les 0,7 du rayon Om, MP serait aussi les 0,7 du rayon OM.

Il en est de même pour le rapport entre la tangente et le rayon, pour le rapport entre la sécante et le rayon. Le nombre qui exprime la grandeur de chacune de ces trois lignes trigonométriques par rapport au rayon, qui est amsi pris pour unité, reste constant pour un même angle quel que soit le rayon.

De là la définition suivante des trois lignes trigonométriques :

1° Le sinus d'un angle ou d'un arc e<t le nombre qui exprime le rapport existant entre l>i perpendiculaire abaissée d'une extrémité de l'arc sur le rayon men:: à l'autre extrémité et la longueur du rayon ;

2° La tangente d'un angle ou d'un arc est le nombre qui exprime le rapport existant entre la portion de tangente menée depuis l'origine de l'arc jusqu'à sa rencontre avec le prolongement du rayon qui passe par l'autre extrémité et la longueur du rayon;

3° La sécante d'un angle ou d'un arc est le

TRIGONOMÉTRIE

— jj:jo —

TRIGnXnMlVrilIE

nombre qui exprime le rapport existant entre la droite mente au centre r<"' l" tecon/te extrémité de Farc ft v 'à la rencontre de la tangente et la ongueu r du myon.

Observation. — II importo de bien retenir que le rayon est tout à fait Indéterminé, et que les nombres qui Indiqueni les valeurs du sinus, do la tangente ei de la sécante sont des nombres

abstraits et n'expriment jamais des unités rmicrètes de longueur. Quand on dit, par exemple,

que le sinus d'un angle x est égal à -p cela signifie que sa longueur est 8 fois le quart de la longueur du rayon, quel que soit ce rayon.

>• mis désignerons par les abréviations suiv ntes les trois lignes trigonometriques d'un anglo ou arc x :

sin i; tg x ; séc x.

Nous avons maintenant à étudier les variations de grandeur de ces lignes, quand l'angle varie depuis 0° jusqu'à 180°.

i. Sinus. — r Remarquons d'abord que le sinus d'un arc est égal à lu moihé de la c>>rde qui sous-tend un arc rouble. En effet, si l'on prolonge au-dessous de OA (fig. 3) la perpendiculaire MP, qui est le sinus de l'arc AM, on voit que la

Fig. 2.

corde MN, double du sinus, scus- tend l'arc MAN, double <le l'arc AM.

C'est cette propriété qui a donné naissance au mot sinus ; ce nom est une abréviation [s. ins.) du terme latin semt-inscripta, qui signifie demi-corde inscrite dans le cercle.

2* A partir du point A, qui sera toujours l'ortgi?is de nos arcs, considérons un arc d'abord très petit. Il est facile de voir que son sinus est lui-même très petit, qu'il va en grandissant à mesure que l'arc augmente et qu'enfin le sinus est égal au rayon OB, lorsque l'arc est devenu égal à 90°.

Si l'arc augmente au-delà de 90°, le sinus diminue, en passant par les mêmes valeurs qu'il avait prises de u° à 90°; enfin, quand l'arc est devenu l'arc ABA' égal à 18u°, son sinus se réduit à un point.

Nous écrirons donc :

sin 0° = 0; sin 90«= J ; sin 180° = 0.

3e SlNIJS DE DEUX ARCS SUPPLEMENTAIRES. — Slip-

posons la corde MM' parallèle à AA', les arcs A.M et AliM' sont supplémentaires; leurs sinus MP et M' I-"' sont égaux ; ils sont représentés tous deux par OQ.

Doue deux arcs supplémentaires ont les mêmes sinus.

Si on désigne par a un arc moindre que 90°, l'arc supplémentaire sera l8o°-a et on aura :

sin (180° — a) = sin a.

Nota. — La figure 3, qui représente toutes les lignes trigonometriques, est appelée cercle trigonumétrique. Il importe qu'on la grave dans sa mémoire, telle qu'elle est tracée ici.