ES
A 1 aide 'iu principe cité au commencement de ce paragraphe, il est radie de connaître les sinn angles de 80*, BO° et 4.')" ; car ils sont les moitiés des cordes qui ions-tendent les arcs doubles, c'estlei arcs de 60*, I On sail par la géométrie (V. l'articlt réguliers} qu'en prenant le rayon pour unité, on a :
corde C0a = 1 ; corde 120° = V3 ; corde 90° = \ l>
Il en résulte donc:
sin 30° = l ; sin C08 = 1 \^ ; sin M,"= *- \ L
Par exemple, en extrayant la racine carrée de 2,
on trouve: - V2 = 0,707; le sinus de 45° est
donc égal à 707 fois la 1000* partie du rayon, quel que soit le rayon.
ô. Tangente. — 1° Il suffit de regarder le cercle trlgonoméuique (fig. 3) pour voir que si l'arc est très petit, sa ta' gente est très petite, qu'elle grandit à mesure que l'arc augmente, et enfin que pour un arc AB égal à 00", le point de rencontre de la tangente et de la sécante su trouve à une distance infiniment grande, puisque ces deux droites sont devenues parallèles.
Si l'arc A.M a i.'>", le triangle rectangle AOT est isoscèle ; car l'angle AOT et l'angle ATO sont cliacun égaux à 4'<", et le côté AT est égal au coté AO; la tangente est donc égale au rayon.
On peut donc écrire :
tg 0° = 0 ; tg 45° = 1 ; tg 90"= » .
2° Faisons grandir l'arc au delà de 90° et soit par exemple l'arc AB.M'. La droite menée par le centre U et la deuxième extrémité M' de l'arc rencontre la tangente menée par l'origine A au-dessous de ce point; la tangente de l'arc ABU' est donc AT'. Mais il est indispensable d'indiquer qu'elle a une position directement contraire à celle qu'avait la tangente pour un arc moindre que 90°. On indique cette opposition de direction en donnant le signe -f- à la tangente qui se irouve au-dessus du point A et le signe — à la tangente qui se trouve au dessous.
Ainsi la tangente d'un angle aigu est positive; la tangente d'un angle obtus est négative,
A mesure que l'arc "randit au delà de 90°, sa tangente diminue en valeur absolue, et à lso° elle se réduit à zéro. A 90° la tangente est tout à la fois égale à 4- ce et à — se.
3° En considérant les deux arcs supplémentaires AM et ABM'. il est facile de voir par l'égalité des triangles rectangles OAT et OAT' que leurs tangentes AT et AT' sont égales et ne diffèrent que par les signes. Ainsi deux: arcs su/ ptunentaires ont des tangentes égales, mais de signes conti'aircs.
C'est ce qu'on écrit ainsi :
tg (180 — «)= — tgo.
6. Sécante. — 1" Si un arc commençant à l'origine A est infiniment petit, sa sécante est le rayon OA. A mesure que l'arc grandit, la sécante augmente, et enfin pour un arc AB égal à 90° la sécante est infinie comme la tangente. On a donc :
séc o° = l; séc9û" = ».
Pour un arc AM de 4ô°, les deux côtés AO et AT du triangle AOT sont égaux au ra.\on. On a donc :
OT2 = OA2-r-AT*=«2;
séc 45° =\ %.
TRIGONOMETRIE
— 2231 — TRIGONOMÉTRIE
2° Faisons grandir Tare au-delà de 90° et soit par exemple l'arc ABM'. La sécante, qui part toujours du centre O, ne passe plus par la deuxième extrémité M' de l'arc pour rencontrer la tangente jienée à l'origine A, comme cela avait lieu pour l'arc AM ; elle prend une direction toute contraire. On indiquera cette opposition de direction en lui donnant le signe —, tandis que la sécante de l'arc moindre que 90° prend le signe -K
Si l'arc, continue à grandir au-delà de ABM', la sécante reste négative et diminue en valeur absolue. Enfin pour l'arc ABA' égal à 180°, elle est égale au rayon OA pris avec le signe — .
On a donc : séc 18ti° = — 1 .
3° En considérant les arcs supplémentaires AM et ARM', on reconnaît que leurs sécantes OT et OT' sont égales; mais la première a le signe + et la seconde doit prendre le signe — .
Donc deux arcs supplémentaires ont leurs sécantes égales mais de signes contraires.
On a donc : séc (18U-a) = — sec a.
Observation. — Pour éviter tonte confusion, il importe de bien se rapp-ler que la sécante d'un angle obtus ne prend pas le signe — parce qu'elle est au-dessous du rayon OA, comme la tangente de l'angle obtus, mais uniquement parce qu'au lieu de passer par la deuxième extrémité de l'arc pour rencontrer la tangente, elle doit se diriger à l'opposé.
7 . Lignes trigonométriques des arcs complémentaires. — l° Outre le sinus, la tangente et la sécante, il y a encore trois autres lignes trigonométriques, qui sont: le cosinus, la iutanyente et la cosécan e
Le cosinus, la cotangente et la cosêcante d'un arc son' te sinus, la tangente et la sécante du cumylémeni de cet arc.
Si donc on désigne par a un arc, on aura :
cos a = sin (90° — a),
cotg a = tg(il0° — a),
coséc a = séc (90° — a).
Quand un arc est supérieur à 90°, on prend pour son complément l'excès de cet arc sur 90° : ce complément est alors uu arc soustractif, c'està-dire un arc négatif.
2° Origine des Anes complémentaires. — Le point A (fig. 3) étant l'origine des arcs, on prend le point B pour origine des arcs complémentaires ; par exemplo l'arc BM est le complément de l'arc AM.
A l'inspection de la figure, on a :
cos AM=sinBM=MQ=OP,
cotg AM=tgBM = BS, coséc AM=séc BM=OS.
Le cosinus de AM étant égal à OP, on voit que le cosinus d'un arc e*t égal à la distance du centre au pied du sinus de cet a>c. Il est plus commode de considérer le cosinus dans cette position sur le diamètre AA'.
8. Variations des lignes complémentaires. — 1° Pour un arc infiniment petit commençant à l'origine A, le cosinus est égal au rayon OA; la cotangente et de la sécante sont infinies, puisque la direction de BS et celle de OA sont parallèles.
On a donc :
cos 0° = sin 90° = 1,
cotg 0° = tg 90° = oo ,
coséc 0° = séc 9o° = oo .
A mesure que l'arc grandit à partir de A, le pied T du sinus MP se rapproclie du centre, et par conséquent le cosinus diminue; l'extrémité S de la cotangente et de la sécante se rapproche de B ; enfin quand l'arc est devenu AB égal à 90°, le cosinus et la cotangente se réduisent à zéro et la cosecante est égale au rayon OB. On a donc :
cos 90° == sin 0°= 0,
cotg 90° = tg 0° = 0,
coséc 90* = séc 0" = 1.
Si l'on construit la figure en prenant l'àrtr AOT égal à 45°, on voit que le sinus est égal au cosinus, la tangente à la cotangente, la sécante à la cosêcante.
2° Considérons un arc plus grand que 90"" ABM' par exemple. Son cosinus est OP'; mais comme il est à gauche du centre sur le diamètre AA', tandis que pour les arcs moindres que 90° il est à droite, on lui donnera le signe — , et au cosinus qui est à droite du centre le signe -f-.l
La cotangente est US'. Se trouvant placée à gauche du point B, tandis que pour les arcs moindres que 90° elle est à droite, elle prend le signe — ,) et la cotangente qui est à droite de B prend leî signe -K
La cosêcante de l'arc ABM' est OS' ; pour aller; rencontrer la cotangente elle passe par la deuxième extrémité M' de l'arc, comme dans le cas oui l'arc est moindre que 90°. Il n'y a donc pas à lus donner le signe — ; elle reste positive.
En résumé, quand l'arc grandit depuis 90° jusqu'à 180°, le cosinus a le signe — , et varie de-] puis 0 jusqu'à — l ; lacotangente a le signe — , et varie depuis 0 jusqu'à — ^ ; la co-écante est po-^ sitive et varie depuis 1 jusqu'à -f- *= ;
3° Pour deux arcs supplémentaires AM et ABM'J on voit que les cosinus sont égaux et de signes contraires, que les cotangentds sont éga-j les et de lignes contraires, et que les cosécantesi sont égales avec le môme signe.
C'est ce qu'on exprime ainsi :
cos (180° — a) = — cos a, cotg [iS0° — a) — — coig a, coséc (180° — a) = coséc a.
Remarque générale. — Entre 0° et 180° le sinus! et le cosinus prennent des valeurs qui varient de 0; à 1 et de (• à — 1 ; la tangente et la cotangente va-j rient de u à -f- as et de i à — x ; la sécante et la.] Cosecante varient de 1 à 4- ce et de — là — oo .!
9. Etant donnée une ligne trigonométriquej construire l'angle correspondant. — 1° SlNUS. — j Supposons que le sinus d'un angle soit égal!
à '-■> c'est à-diro à trois fois le quart du rayon. Oo
décrit un cercle d'un rayon quelconque (fig. 3);'
on y trace deux diamètres rectangulaires AA' et BB'; puis sur OB on porte à partir du centre' une langueur OQ égale à 3 fois le quart duji rayon et par le point Q on mène la corde W3Aparallèle à A'A. Les deux arcs AM et ABM' ainsi; déterminés ont le sinus donné ; à ce sinus correspondent les deux angles supplémentaires AOMl et AOM'.
2° Cosinus.
Soit un cosinus égal à — -
On prend à gauche du centre O (fig. 3) sur OAr; une longueur OP égale à deux fois le tiers du' rayon ; en P' on élève une perpendiculaire sur OA'; jusqu'à la rencontre de la circonférence en M'y l'arc ABM' est l'arc correspondant et l'angle AOM. ; est l'angle demandé.
3° Tangente. — Soit une tangente égale à 1,5*1 Après avoir décrit un cercle de rayon quelconque et tracé deux diamètres rectangulaires A A' et BB' (fig. 4), on mène par A une tangente indéfinie ; on y porte à partir de A une longueur AT égale à 15 fois la 10e partie du rayon, et on mène la droite OT. L'arc AM correspond à la tangente donnée, et l'angle AOM est 1 angle cherché.
Si la tangente donnée était — 1,5, on porteraitla longueur égale aux 1 5 dixièmes du rayon au-d ssousde A en AT' . En tirant ensuite une droite par V
et par 0. on aurait Tare ARM' et par suite l'anglr obtus AOM' pour l'angle demandé.
4° Cotangfnte. — Soit une cotangente égale à — 2. Ayant tracé dans un cercle quelconque (flg. 5) les deux diamètres rectangulaires AA' et
BB', on mène par B une tangonte indéfinie; on y porte à partir de B et à gauche une longueur BS' égale à deux fois le rayon et on tire la droite OS'. L'arc ABM' correspond à la cotangente donnée, et l'angle AOM' est L'angle cherche.
Si la cotangente était égale à -f- 2, on aurait porté sa longueur à droite en BS ; on aurait eu alors l'arc AM et par suite l'angle AOM.
5° Sécante. — Soit une sécante égale à 2. Avec une ouverture de compas égale au doublo du rayon du cercle tracé ffig. 4) on décrit un arc qui coupe en deux points T et 1" la tangente menée en A; on tire la droite OT et on trouve l'arc AM et par conséquent l'angle AOM.
Si la sécante avait été égale à — 2, on aurait mené une droite du point T' par le centre O; dans ce cas c'est l'arc ABM' qui correspond à la sécante donnée et par suite l'angle obtus AOM'.
6° Cosécante. — Avec une ouverture de compas égale à la cosécante donnée (fig. 5), on décrit un arc qui coupe en deux points S et S' la tangente menée par le point B, et on tire les droites OS et OS'. On a alors les deux arcs AM et ABM', et par suite les deux angles AOM et AOM' pour les angles cherchés.
10. Relations entre les lignes trigonométriques d'un même arc. — 1° Quel que soit un arc, AM par exemple (,fig. 3), le sinus MP, le cosinus OP torment toujours avec le rayon un triangle rectangle OPM. On a donc, d'après le théorème de Pythagorc :
MP2-t-0P* = OM*t
ou en désignant l'arc par a :
sin' a +coss a=\.
2° Des triangles semblables OAT et OMP on tire:
AT OA tg« 1
d'où:
tgfl =
3° Des triangles rectangles semblables OBS et OMQ on tire:
d'où :
BS o.\l
OB OQ
cotgn =
4° Des triangles rectangles OAT et OPM on tire :
OT OA séc a J
Ô~M ~" ÔP °U 1 ~~ cos a
seca = •
cos a
ô° Des triangles rectangles OBS et OQM on
tire :
OS OB cosécq 1
<JÛ — OQ °U 1 ~ sina'
d'où :
cosécn = '
Si au lieu de l'arc AM on prend l'arc A M' plus grand que 00", on obtient exactement les mômes résultats ; mais il faut avoir soin de donner son signe à chaque ligne.
Pour mieux graver ces relations dans la mémoire, nous les réunissons dans le tableau suivant :
sin'a-f- cos2a= 1,
sin a
tgO=j
C0tgfi =
En multipliant membre à membre les égalités (.2) et (3), on obtient :
tgacotg a = \.
MP
