OU OP
sm a cos a
égalité importante qu'il faut ne pas perdre de vue.
Nota. — Pour abréser il est d'osage d'omettre le signe de la multiplication entre deux lignes trigonométriques :
tg a cotg a, pour : tg a x cotg a.
11. Calcul des lignes trigonométriques d'un arc au moyen de l'une d'elles. — Au moyen de la formule (1), on peut calculer le sinus ou le cosinus d'un arc, quand l'une de ces deux lignes est donnée. A l'aide du sinus et du cosinus, on obtient ensuite les quatre autres lignes, d'après les formules (2), (3), (4), (5).
Cherchons par exemple les lignes trigonométriques de l'angle de 30".
On a d'abord : sin 20° = -•
De la formule (I), on tire :
cos 30° = V i — sin«30° = W 1
Hi'
cos 30°
L'égalité (2) donne :
sin 30*
ou:
tg30" = i V3 .
L'égalité (3) donne:
cotg 30° = — j— = V3.
L'égalité (4) donne :
séc30° =
cos 3u* i
séc 30" = \ V3.
L'égalité (5) donne:
coséc 30° =
sin 30
Remarque. — Quelle que soit la ligne tngonométrique donnée, on peut en déduire aussi aisément les cinq autres. Ce sont là des exercices faciles d'algèbre que nous laissons au lecteur, mais auxquels nous ne nous arrêterons pas, parce : qu'ils n'ont pas d'utilité directe pour le but spécial que nous nous sommes proposé dans ce travail : la résolution des triangles.
12. Idée sommaire de la construction des tables trigonométriques. — On a déjà vu comment des propriétés des polygones réguliers inscrits 'on a pu tirer les valeurs des sinus de quelques 'angles, et en dernier lieu comment la valeur du sinus permet de trouver les valeurs des autres lignes trigonométriques. Mais cela serait insuffisant; la résolution des triangles exige que Ion connaisse les lignes de tous les angles de 0° à 90°, au moins de minute en minute. Quant aux angles obtus, leurs lignes trigonométriques sont celles des angles aigus supplémentaires avec 'des signes contraires, excepté le sinus et la cosecante qui ne changent pas de signe.
Nous n'avons pas à exposer ici la théorie de la détermination des valeurs des lignes trigonométriques de tous les angles ; il suffira que nous en donnions une idée très succincte.
Pour cela nous ferons d'abord observer que plus un arc est petit, plus est faible la différence qu'il y a entre la longueur de cet arc et celle de son sinus. Or, la longueur de la demi-circonférence, quand le rayon est pris pour unité, est exprimée par le nombre :
ir = 3, 141592 653 589 793
On aura donc :
arcl°= — ; arcl'=î
80X60 10800 En effectuant la division, on trouve :
arc 1' = 0,000 290 888 208.
Si on prend cette valeur de l'arc de 1' pour celle du sinus de 1', on ne commettra qu'une erreur assez faible. Or, on démontre que la différence entre l'arc et son sinas est moindre que le quart du cube de l'arc. En appliquant ce principe à l'arc de 1', on trouve que la différence entre cet arc et son sinus ne commence qu'au-delà de la 11e décimale. On aura donc :
sin t' =0,000 29088821,
ce qui signifie que le sinus de 1' est environ ê"gaV à 29 fois la 1 0000e partie du rayon de la circonférence, quel que soit ce rayon.
Au moyen de la formule (1), on obtiendra par des calculs assez laborieux :
cos 1' = 0,999 999 95*6.
Au moyen d'une division on connaîtra la tangente et la cotangente de l'arc de 1'.
A l'aide de formules que nous aurons l'occasion d'étudier plus loin, on peut trouver le sinus et le cosinus d'arcs doubles, triples, quadruples, etc., c'est-à-dire les arcs des nombres entiers successifs de minutes.
En outre, les calculs trigonométriques devant être faits, pour plus de facilité, par les logarithmes, on a dû chercher les logarithmes des sinus, des cosinus, tangentes et cotangentes. On les a inscrits en colonnes vis-à-vis des angles correspondants : c'est en cela que consistent les tables trigonométriques.
13. Disposition et usage des tables. — 1° Dans certaines tables les logarithmes ont sept décimales ; dans d'autres elles n'en ont que cinq. Ces dernières suffisent très bien pour les opérations ordinaires de la trigonométrie; c'est de celles-là que nous allons parler, en nous servant de l'édition de Dupuis.
Elles contiennent les logarithmes des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes des arcs de minute en minute à partir de 0° jusqu'à 1)0°. Les sécantes et cosécantes ne s'y trouvent pas, parce qu'on en fait peu usage. De 0° à 45° le nombre des degrés est au haut de la page en dehors du cadre, et les minutes se trouvent dans la première colonne à gauche, surmontée d'ailleurs du signe des minutes. De 45° à 90° le nombre des degrés est au bas de la page en dehors du cadre, et les minutes se lisent de bas en haut dans la première colonne à droite.
Les deux angles qui figurent sur la même ligne, et qui sont comptés l'un de haut en bas et l'autre de bas en haut, sont complémentaires. Cela explique pourquoi la même colonne porte à une des de ses extrémités la désignation sinus et à l'autre la désignation cosinus ou tangente et cotangente. Le sinus d'un angle compté de haut en bas est précisément le cosinus de l'angle complémentaire qui compté de bas en haut se trouve sur la même
lgDans les colonnes Sin., Cos., Tang. et Cotg., on a laissé en blanc la caractéristique et la première décimale des logarithmes pour tous les logarithmes suivants où elles se répètent. Ainsi on lira :
log sin 39"1'=T,79903, log tg 39° 2' =1,90889, log cotg :59° 3' = 0,09086.
D'après ces explications on n'aura aucune difficulté à trouver dans ces tables le logarithme d'une ligne trigonométrique d'un angle donné en degrés et minutes seulement.
11° On voit encore dans le cadre de chaque page trois colonies surmontées de la lettre D (initiale du mot différence). Les nombres qu'elles contiennent sont les différences qu'il y a entre les deux logarithmes consécutifs de la colonne qui n'en est séparée que par un simple filet de haut
en bas. . . „ ,„„
Les différences sont les mêmes pour les log. tangentes et les log. cotangentes. Il est facile
d'en trouver la raison. . ,
En effet, soient deux angles a et b. On a, d après la formule (6) :
tg a X cotg a = 1 , tgax cotg 6= 1.
TRIGONOMÉTRIE
TIU<;n.\n.\li.l ME
1 1 en prenant les logarithme
log tga+log nit^' h = 0, log tgé+log coi- // = 0, ou :
lOg tg <7 = — ]ol' rol-c;, log tg (j = — log 001
En retranrhant l'une de 1 autre ces deux dernières égalités, on obtient :
log tg a — log tg h = log cotg b — log cotg a.
Ç.o (pii montre que la différence entre li ritliinc^ des tangentes de deui anglea eat la mémo que celle qu'il y a entre les logarithmes do leurs eotengentea.
111° L'est a l'aide des différences inscrites dans les colonnes D qu'on peut obtenir le logarithme ligne pour un angle contenant des secondes.
boit par exemple à chercher :
log BÎn 39°2!i'U".
On prend d'abord le logarithme en négligeant les secondes. On trouve ainsi :
log sin 39o^5' = 7,80274
et la différence entre ce logarithme et celui qui correspond à ^!)"2o' est 16. Pour connaître l'aug mentation qu'il faut donner au logarithme I, su 7i afin d'avoir celui qui correspond à l'angle de ■V.)' 25,14", on raisonne ainsi :
Si l'angle de 3'.)° 25' augmentait «le 1', c'est-àdire de Go", son log. sin. augmenterait de lti.
Pour une augmentation de l", le. logarithme augmenterait de la 60* partie de 16.
Pmir une augmentation de 14'' le logarithme augmentera de 14 fois la 00e partie de 16, c'est-àdire de — Y 14»
do A
Mais ce petit calcul se trouve tout fait dans les petites tables qui sont placées en marge en dehors du cadre.
En tête est la différence des deux logarithmes consécutifs. Au-dessous à gauche sont les nombres entiers de secondes de 1 à 9 : à droite vis àvis sont les parties de la différence correspondant à ces nombres de secondes. On les multiplie par 10 pour avoir les parties correspondant aux dizaines de secondes.
Ainsi pour l'exemple précédent on trouve :
Différence tabulaire 1G.
pour 10".. 2,7
pour 4" 1,07
pour 14" 3,77
On prendra 4 en négligeant la partie décimale, puisque le chiffre qui suit est plus fort que 5. On obtient donc :
log sin 39°25'14'=r,80278.
Obseuvation. — Il ne faut pas perdre de vue que, pour le cosinus et la cotangente, le logarithme pris dans la table doit diminuer de la quantité correspondante à laugmentation du nombre de secondes.
IV n Nous avons maintenant à résoudre le problème inverse : rtant donné le logarithme d'une ligue trigonométrique, trouver l'angle con'espondant.
Si le logarithme se trouve dans la table, il n'y a aucune difficulté à lire l'angle cherché.
Soit par exemple : log tg x = 0,0P5I8.
L'angle est supérieur à îuS°, puisque la caractéristique du logarithme n'est pas négative. En lisant de bas en haut, on trouve que l'angle x est égal à 50" 35'.
dire de
n'arrive que rarement. Boit par exemple : log sin x ----- 1,799 11.
I l".;. sin. qui en approche le plus est
1,70918, 'pii correspond à B9# Vf, et la différence • irithme et le logarithme donné eat II;
l'angle cherché égale '.'' et un certain
nombre de secondes qu'il s'agit «le trouver.
Pour r*'lu on répète le raiaonnement déjà fait plus haut. D'abord la différence entro lo logarithme 7, 79018 et le suivant de la table eat Mi. Si le log. 1,799 1 8 augmentait de 10, l'angle de :;:>° 'ï augmenterait de i
Si le log. augmentait de 1, l'angle augmenterait de la 10* patin' de
Le logarithme augmentant do 13, l'angle augmentera de 13 fuis la 10e partie de GO", c'est-a- (i'»"X \'\
Ce petit calcul est encore tout fait dans les petites ta . marge en dehors du
cadre. Au-dessous de la différence 10, on cherche dans la colonne de droite le nombre qui multiplié par 10 s'approche I" plus de 13; c'est
le, ' qui correspond à 40". De lo,7 t 13 il y a encore 2. ; qui dans la colonne correspond à 8". L'augmentation à donner à l'angle, est ainsi de n".
On a doncr = 39" '2' 48".
Remahqi es — P La proportionnalité admise entre ! iS accroissements du sinus et de la tan et ceux de l'angle n'est pas rigoureusement vraie; mais l'erreur qui en résulte n'affecte pas la ;.e décimale du logarithme pour les sinu-. des angles supérieurs h r30', les cosinus d infé-
rieura à 88o30\ pour la tangente i igente
des angles compris entre 1"30' et 88"30';
".° Les diverses lignes trigonométriques ne donnent pas toutes le même degré d'exactitude dans la détermination de l'angle.
En effet, considérons deux arcs AM et AN a^aut entre eux une différence BIN de 1% et deux
arcs AM' et AN' différant aussi de 1°. mais très voisins de ''0°. Tirons les cordas M'Y et UN et les droites NT et NI perpendiculaires aux sinus M'P' et MP. L'angle M'NT est moindre que l'angle MM, et il devient de plus en plus petit à mesure que le point M' est plus voisin du point B; la différence BIT des sinus des deux arcs AM' et AN' est donc d'autant plus petite que ces arcs diffèrent moins de 90°. Par suite la différence des logarithmes de ces deux sinus peut être assez faible pour qu'ella ne commence qo'au delà de la 5e décimale. Alors le même logarithme peut correspondre à plusieurs angles consécutifs. C'est ce qui se présente pour les angles de 88"';', 88°.V, 8-°0' pour lesquels on trouve dans les tables le même log.
sin. qui est 1, 99977.
La même chose arrive pour le cosinus des arcs très petits ; mais les tangentes et cotan-
TRIGONOMÉTRIE
2235 — TRIGONOMÉTRIE
eentns n'offrent pas le même défaut. On doit donc quand cela est possible, déterminer de préférence un angle à l'aide de la tangente ou de la cotangente.
14 Relations entre les côtés et les angles d un triangle rectangle. - Selon l'usage nous désignerons toujours les côtés d'un triangle par les lettres minuscules semblables aux lettres majuscules nlacées aux sommets des angles opposes, et dans le triangle rectangle la lettre A sera affectée | spécialement à l'angle droit.
1" Rappelons d'abord lès deux relations suivantes fournies par la géométrie :
2° Dct'.s tout triangle rectangle, chaque côté de l'angle droit est ègnl à V hypoténuse mulUphee parle sinus de l'agle opposé à ce coté ou pur le cosinus de l'angle adjacent a ce côte.
En effet, dans le triangle rectangle ABL (hg. t) décrivons du sommet C pris pour centre et avec
Les angles B et C étant complémentaires, on a : tgC = cotgB,
et par suite : ....
c = 6cotgB. (11)
On aurait de même :
6 = ctgB; 6=ccotgC.
15. Résolution du triangle rectangle. — Un triangle rectangle est déterminé, quand on connaît un côté et l'un des deux angles aigus, ou bien deux côtés. De là résultent quatre cas où les données sont :
1° L'hypoténuse et un angle aigu ; 2° Un côté de l'angle droit et un angle aigu ; 3° Les deux côtés de l'angle droit ;
4° L'bypoténuse et un côté de l'angle droit. Premier cas. — Résoudre un triangle rectangle, en connaissaiit l'hypoténuse et un angle aigu. ,
Données : a et B. — Inconnues L, 6 et c. On a pour déterminer les inconnues :
C = 90° — B, b = a sin B, c= acosB.
Exemple. — Données :
Fi g. 7.
l'hypoténuse CB pour rayon l'arc BD terminé au prolongement du côté CA. .... nA at i. Le rapport entre la perpendiculaire BA et le rayon est précisément le sinus de l'angle C. On a donc :
^ = sinC, ou - = sinC, CB «
c= a sin C. (8)
Comme les angles B et C sont complémentaires, sin C est égalàcos B, et on a :
c=acosB. (9)
On aurait de même :
6 = f/|sinB; 6 = cosC.
3» Dans tout triangle rectangle chaque côté de Innqle droit est égal à Vautre côte multiplié var latxnqented* l'angle opposé au premier cote, ou par la cotangente de Vangle adjacent.
Pour le démontrer, décrivons du sommet c,
dans le triangle rectangle ABC (flg. 8), et avee CA nour rayon, l'arc AM.
P Le rapport entre la droite BA langent e en A et le rayon CA, est la tangente de 1 angle C. On a donc :
^ = tgC, ou J-**
tfoù: c = 6tgC. (10)
