CALCUL DE C
c = a cos B log c = log^ + log cosB.
log a =1,97708 log çosB= I,65in5. log; c= 1,02193."
Deuxième cas. - Résoudre un triangle rectangle, en connaissant un cote de l angle droit et iun des angles aigus. Données : c et B. — Inconnues . L, a et o. On a pour déterminer les inconnues :
C=90° — B, 6 =ctgB,
c = a cosB, d'où a = j^-g*
Pour appliquer les logarithmes, on a :
logé = logc-f-logtgB; log<z = logc-log cosB.
Exemple. — Données : c = 6S*,42.
TUIGONnMKTME
TKIGONOMfiTHIK
On trouvera :
TnorsrEME c\s. — Résoudre un triangle rertangle en connaiuanl le* deux côtés de l'angle droit.
Données : b et r. — Inconnues B, C et a.
Calcul des angles. — On a :
6 = ctgB, d'oùtgB = -j
c = 6tgC, d'oùtgC =
Calcul de a.
tire :
— Do l'égalité b = a sin B, on
Pour appliquer les logarithmes, on a :
log tgB = logA — loge; log tgC=logc — log 6.
log a = log b — log sin B.
Exemple. — Données :
On trouvera :
B = 54° 3i'49", C=3.V*t.V H", a=lïm,H5.
Quatrième cas. — Résoudre un triangle rectangle, en connaissant Uhyioténuse et an côté de l'angle droit.
Données : a et b. — Inconnues : c, B et C.
Calcul de c. — L'égalité «s= i2 -+- c2 donne : c> = a' — 6*, d'où c = yaî 6,a
Pour rendre cette expression propre au calcul logarithmique, il faut se rappeler que la différence des carrés de deux quantités est le produit de la somme de ces quantités multipliée par leur différence. On a donc :
En substituant cette expression sous le radical, on obtient pour calculer le côté c :
On calcule donc d'abord la somme a -f- b, puis la différence a — b, et en les mettant sous le radical, on a par l'emploi des logarithmes :
t Iog{a + &)+log(a-6)
Calcul des angles. — On a :
6 = ctgB, d'oùtgB = -,
c = b tgC, d'où tgC = ^,
comme au 3' cas.
Exemple. — Données :
On trouvera :
a = ;,Gm)427, 6 = 32m,741.
16. Relations entre les côtés et les angles d'un triangle quelconque.
1° Dans tout triangle les côtés sont proportionnels aux smus des angles opposés.
Pour le démontrer, menons dans le triangle
ABC (fig. 9) la hauteur CP. Les deux triangloi rectangles ACP et liCP donnent :
f)P =ACsinA = /,sinÀ; CP=BCsinB = osinB.
De ces deux égalités on tire :
asinB= b sin A,
n sin A
•in 15
ce qui est l'énoncé du théorème.
A cette relation il faut joindre la suivante :
Bemarqite. — Si la hauteur tombait hors du triangle, comme dans la figure 10, la démonstration n'en serait pas modifiée. En effet on a d'abord CP = CA sin CAP ; mais l'angle CAP étant le supplément de l'angle CAB, c'est-à-dire de l'angle A du triangle, le sinus de CAP est égal à sin CAB ou sin A ; on aurait encore CP = b sin A.
2" Dan< tout triangle le carré d'un côté est égal à l<i somme des carrés des deux autres cotés nioù:s le double produit de ces deux tôt^s multiplié par le cosifius de [angle compris entre eux.
En effet, rappelons d'abord ce théorème de géométrie : dans tout triangle le carré duo côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés plus le double produit de l'un de ces deux côtés multiplié par la projection de l'autre côté sur lui, si l'angle opposé au premier côté est obtus, et moins ce double produit, si l'angle opposé au premier côté est aigu.
Soit d'abord l'angle aigu A dans le triangle ABC (fig. 9). On aura d'après ce théorème :
a2 = &2 + c2 2cxAP.
Or le triangle rectangle ACP donne :
AP = AC cos A = b cos A.
En substituant cette valeur à AP, on trouve :
a2 = 62 + c2 — 26:cosA.
Lorsque l'angle A est obtus, comme dans la
Fig. 10.
figure 10, le produit 26c cos A a encore le signe — . En effet, d'après le théorème rappelé plus haut, on a :
a2 = 62 J c2 L.2cXAP.
Or le triangle rectangle CAP donne:
AP = AC cos PAC = 6 cos PAC.
Mais comme l'angle PAC est le supplément de
TRIGONOMETRIE
l'angle A (l'angle CAB) du triangle, le cosinus de PAC est égal au cosinus de A pris avec le signe — . On a donc :
cos PAG = — cos A, et AP = — b cos k>
et enfin :
«J = 6°-t-c2+2c X (— o cos A),
— 2237 — TRIGONOMÉTRIE
Calcul de c. — On a :
d'où
ou
ai= 6î-f-cî — Sic ces A.
Remarque. — Il est bon d'observer que dans le cas où l'angle A est obtus, 26c cos A est négatif, et par conséquent retrancher 26c cos A de 62 -f- c2 revient à augmenter 62 -f c2 de la valeur absolue du produit 26c cos A.
Les relations qui existent entre les côtés et les angles d'un triangle quelconque se présentent donc ici sous deux formes résumées daus les formules suivantes :
sinA sinB- sinC1
aï = 62-l-c2 — 2Ac cosA £*=a2-4-C2 2occosB c2 =ai-h b*- — 2ab cos C
17. Résolution d'un triangle quelconque. — Cette question présente quatre cas correspondant aux quatre cas de la construction d'un triangle. On connaît :
1° un côté et deux angles;
2° deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux;
3° deux côtés et l'angle compris entre eux;
4° les trois côtés.
Premier cas. — Résoudre un triangle dans lequel on connaît un côté et deux angles.
Données : a, A, B. — Inconnues : C, 6, c.
Calcul de l'angle C. — On a :
Calcul des côtés, — Ou a :
6 a ,, , asinB
d ou
sinB
sinC "
a sm A
a sm A
d'où c =
sin A :
a sin C sin A ,
Exemple. — On donne
Calcul de C.
A-+-B = i2v°ô2'5ti" 180°= 179° 59' 60"
C = 5;° Calcul de b. — On a b a
sin B ~~
d'où b =
a sin B
sin A
sin A
log 6 = loga-f-logsinB — log'sin A.
log a = 2,03933, log sin B = T.98550.
