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La première de ces quatre formules signifie que la somme d-s sinus de deux arcs est égale an double produit du sinus de lu demi-somme de >es arcs multipliée pur le cosinus de leur demi-différence.
Nous laissons au lecteur le soin d'énoncer les autres.
Remarque. — Si l'on avait à transformer en un produit la somme ou la différence d'un sinus et d'un cosinus, on remplacerait le cosinus par le sinus du complément de son arc; on serait ainsi ramené au cas précédent
Cinquième problème. — Trouver une expression simple au rapport qu'il y a entre la somme des sinus de deux arcs et la différence de ces sinus.
Pour cela on divise membre à membre les égalités (22) et (23), ce qui donne :
sin o
sin p — sin 7
sin ? cos ?
. p — 7 p -+■ a sin '- 2 cos * — -—2
Le deuxième membre est égal à !„/» + ? ^,P~9
i ou tg
±ixcotg^.
Enfin, si on remplace cotg
par
tg
d'après la formule (G), on trouve
„ P±J sin p 4- sin q
tg
sin p — sin q
tg'
Ainsi le rapport entre la somme des sinus de deux arcs et la différence de tes sinus est égal ou rapport qu'il y a entre la tangente de la demisomme des deux ores et la tangente de leur demi-différence.
Nous avons maintenant les moyens de résoudre les deux derniers cas des triangles.
19 Résoudre un triangle en connaissant deux côtés et l'angle compris entre eux.
Données : a, b et C. — Inconnues : A, B et c.
Calcul des angles. — On aura d'abord la somme des deux angles A et B par la relation :
Il s'agit de connaître leur différence. Pour cela on remplace, dans la formule (20), les arcsjp et q par les angles A et B, ce qui donne :
tgi±J
2 sin A4- sin B
tg
sin A — sin B
Il reste à en éliminer les sinus, en substituant ; au deuxième membre une valeur exprimée en fonction des côtés donnés a et b.
La formule (12) donne :
a sin A
sin B
a sin A 6 sin B
Or, dans toute proportion, le rapport entre la somme des deux premiers termes et leur différence est égal au rapport entre la somme des deux derniers et leur différence.
La dernière proportion donne donc :
a 4- b sin A 4- sin B
a — b On obtient par suite A-
sin A — sin B
tg
tg
De là on tire :
tg --tg-—x— y
Cette égalité fera connaître à l'aide des tables la demi-différence des angles A et B; or on connaît déjà leur demi-somme. Pour avoir le plus grand, A, on ajoutera la différence à la demi-somme; pour avoir le plus petit, B, on retranchera la demidiffôrence de la demi-somme.
Calcul du côté c. — On a :
sin C sin A
» d'où c =
a sin G sin A
Exemple.
On trouvera
Données :
TRIGONOMKTUIK
TUIGUNUMÊTUIE
QrATiuÈME cas. — Etant ilmnës les trois côtés dun triangle, calculer sa onglet.
1° De la formule (13) :
a» = 6» -+- c» — 24c cos A,
on tire
cos A =
En portant cette valeur de cos A dans l'égalité [10),
on trouve :
sin — =
n -=«/' ~co% A,
A5 -)- c! — rt*
En réduisant 1 au dénominateur 26c et en effectuant la soustraction indiquée, on obtient :
2 bc — 6* — c» -1- a>
Or le trinôme 26c — 62 — c- est la même chose que — (b% -f- c2 — 26c', c'est-à-dire que le carré •de '6 — c) précédé du signe — ; par conséquent le numérateur placé sous le radical peut s'écrire ainsi :
Or cette différence des carrés des quantités n et b—c f st égale à la somme de ces deux quantités multipliée par leur différence; on a donc :
et par conséquent :
sin - =
-h 6 — n a — 6 -+- c) ibc
Après qu'on a calculé les deux facteurs (a -f- 6 — c) et (n — 6 -f c) au moyen d'une addition et d'une soustraction, on met ces valeurs sous le radical, et l'expression se calcule alors par logarithmes, liais on lui donne une forme plus simple, en y introduisant le pér;mèire du triangle.
Pour cela on désigne le demi-perimètre par p, ce qui donne :
On en tire ensuite :
a -4- 6 — c = îp — 2c = 2(p — c), a - b -r- c = 2p — 26 = 2,'p — 6).
On substitue ces valeurs sous le radical, et on supprime le facteur 2 qui se trouve commun au numérateur et au dénominateur. En répétant les mêmes transformations pour les deux autres angles, on trouve :
sin | = 4 /("-ai'p- O
2° Si on porte la valeur ci-dessus de cos A dans l'égalité [21),
cosA-
on trouve, en répétant tiens:
cos — =
les mêmes transforma-
cos- =
cos - =
