TRIGONOMÉTRIE — 2241 — TROUBADOURS

20. Surface du triangle. — La trigonométrie fournit des formules très utiles pour le calcul de la surface d'un triangle.

1° La surface d'un triangle est égale au demiproduit île deux côtés multiplié par le sinus de i'ungle compris entre »ux.

Fig. 12.

Pour le démontrer, tirons la hauteur AD fig. 12) dans le triangle ABC, et s«it S sa surface. On aura :

c BGxAD axAD

Mais le triangle rectangle ADC donne :

AD = ACsinC = AsinC.

On a donc, en substituant cette valeur à AD :

B-îi|l5 (30)

2* La surface d'un triangle est égale au carré d'un côté multiplié par le produit des sinus des de"X angles adjacents ù ce côté et divisé par le doithle du sinus de l'angle opposé.

En effet, on a :

a b ,, , , a sin B

d ou b

sin A sin B

sin A

Si on porte cette valeur à la place de b dans la formule (30), on trouve :

a- sin B sin C 2sin A

3* Exiression de la surface en fonction des trois côiét.

De l'égalité (30) il faut éliminer l'angle C. Or d'après la formule (18) on a, en regardant l'angle C

comme le double de - :

sin C = 2sin - cos — 2 2

Les formules (27) et (28) donnent aussi :

sin — = * /

'(p — a) ip — b).

ab

ab

En multipliant ces deux égalités membre à membre et en doublant le produit, on obtient :

sin C

(p — ai Ip - b)

Ip ip - c) V ab

Skl C =°7bVP (p-a)(p-b){p- c)

En remplaçant sin C par cette valeur dans l'égalité (oO) et en simplifiant, on trouve :

\Jp (p — a){p — b) [p — c) (32)

Bemarque. — Si dans un quadrilatère on mène les deux diagonales et qu'on les mesure ainsi que l'angle qu'elles font entre elles, le quadrilatère se trouve décomposé en quatre triangles. Si on évalue les surfaces de ces triangles, d'après la

2e PARTIE.

formule (30), en prenant l'angle des deux diagonales, on trouve par l'addition des triangles que la surface du quadrilatère est égale au demiproduit des deux diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles font entre elles.

21. C'est surtout dans la mesure des hauteurs et des distances entre des points inaccessibles que les formules trigonoraétriques fournissent les applications les plus importantes. Nous n'avons pas de place pour en parler ici; nos lecteurs trouveront ces questions exposées avec les détails suffisants dans tous les traités de trigonométrie.

Nous sommes arrivé au terme que nous nous étions fixé ; nous serions heureux si dans ce modeste travail nous avions réussi à mettre les calculs trigonoraétriques à la portée de tous les instituteurs. [G. Bovier-Lapierre.j

TROUBADOURS. — Littérature française, II. — La iangue provençale ou langue d'oc fut la première parmi les langues romanes qui fut cultivée et eut une littérature. Née vers le xe siècle, cette littérature brilla un moment d'un vif éclat ; ses poètes, les troubadours, servirent de modèles aux Italiens et aux Espagnols, aux trouvères de la France du Nord et aux minnesinger de l'Allemagne. Mais, au xin1 siècle, les luttes religieuses, l'Inquisition et l'invasion des croisés de Simon de Montfort portèrent un coup mortel à la poésie provençale : les troubadours se turent, et la langue d'oc tomba au rang des patois.

Les troubadours n'étaient pas, comme on se le figure quelquefois, des aventuriers qui couraient de ville en ville, de château en château, le rebec ou la guitare en bandoulière, gagnant leur vie à amuser les seigneurs par leurs chansons. C'était là le métier qu'exerçaient les jongleurs, chanteurs et déclamateurs qui étaient au* troubadours ce que les acteurs sont aux auteurs dramatiques. Les troubadours, dont le nom veut dire trouveur (du verbe provençal trobnr), étaient des chevaliers, souvent de puissants seigneurs, des ecclésiastiques, des princes, qui consacraient leurs loisirs à la culture de la « gaie science » (el gai saber), et s'illustraient par leurs compositions poétiques. Ils ne se contentaient pas de chanter leur dame ; la plupart d'entre eux se mêlèrent activement aux événements politiques contemporains, et exercèrent une puissante influence sur l'opinion. « Ils avaient pris l'habitude de distribuer l'éloge et le blâme, se faisant parfois les interprètes des passions de la foule avec une liberté extraordinaire. Ils ontréellement pesé d'un grand poids dans les actes de leur temps ; ils ont surtout secondé la prédication religieuse en faveur des croisades en Orient. »(Vapereau.)

On connaît les noms de plus de trois cents troubadours ; un choix de leurs œuvres a été publié par Raynouard en six volumes. Parmi les plus remarquables, nous citerons Arnaud Daniel (xiie siècle), l'illustre troubadour du Périgord ; Bertrand de Boni, vicomte de Hautefort, dont les poésies enflammées poussèrent les fils de Henri II Plantagenet à la révolte contre leur père ; Pierre Vidal, de Toulouse, qui, après une existence aventureuse, obligé de s'exiler, prit la croix et suivit le marquis de M ont ferrât en Palestine; Folquet ou Foulques de Marseille, qui débuta par des poésies galantes, puis devint évoque de Toulouse et se signala par son ardeur à combattre les Albigeois ; enfin l'Italien Sordello de Mantoue, qui avait adopte la langue provençale, ainsi qu'un certain nombre de ses compatriotes, et qui composa des satires pleines de vigueur et de hardiesse. Dante était un grand admirateur de la poésie provençale; aussi a-t-il donné une place à la plupart de ces troubadours dans sa Divine Comédie. Dans le Purgatoire, il fait dire à Virgile, en parlant d'Arnaud Daniel : o Celui

TitoiTRAnorns

nnoii

,,up voici surpaste tous l( - p èt< -. de

.mts d'amour el \><r ses protêt de roman. • ,\u 28* chani de l'Enfer, le poète rencontn trand de Born, qui porte a la main aa tête coupée, en punition de l'Inimitié* qu'il i excitée entre un père el ses Ait. Foulques de Marseille figure dan a le Paradia, parmi lea bienheureux. Quant à Sur dello, Dante le trouve I l'entrée de Purgatoire, ,i le comparé I an lion qui le repote calme dans sa force.

Parmi lea prlncea qui se firent pi"iro d'être i .ni nombre dea troubadour», il Faut citer deux membrea de la famille royale dea Plantage n ta : i é more de Guyenne, époute de Henri II. .■t Ricbtrd Cœur-de-lion, aon tii-. On a conserve le texte d'une chanaon en langue provençale composée, dit-on, parle roi Richard pendant sa captivité en Autriche ; en voici les deux premiers couplets :

Ja nul hom prei non dira si razon a. in lit ami il -■■ & me boni doulen non ; Ma- per coi ort pot el faire canson.

Prou li. n d'amies, ma (>aure ion li ilun! Honte ; aurae m doï ma reheaoo Sou; faeh dos hivers prez.

Or sachao I" " miei hom el mîei baron, Angles, Norman, Peytavin et Gaacon, Qn'\eu tinn liai ja si paon con pagnon Que per a*é lou taiesesse en preion; Paire reproeb, oertai jeu »uh nun, Mas sou] dos lnvers prez.

Traduction : o Nul homme prisonnier ne dira sa raison droitement, sinon en homme dolent (c'est-à-dire : le langage naturel du pritonnier est la plainte) ; mais par effort il peut faire une chanson. J'ai beaucoup d'amis, mais pauvres sont leurs dons; honte ils auront si pour 'faute de) ma rançon (je) suis fait deux hivers prisonnier. — Or, sachent bien mes hommes et mes barons, Anglais, Normands, Poitevins et Gascons, que je n'ai pas si pauvre compagnon que pour avoir (argent) je laissasse en prison; faire reproche, certes je ne veux pas, mais (je) suis deux hivers prisonnier. »

Les compositions lyriques des troubadours sont les unes des chansons d'amour remarquables par leur grâce, mais où l'on trouve déjà quelquefois cette subtilité et ce mauvais goût qui gâtent les vers de Pétrarque, leur imitateur; les autres, des chants guerriers ou des déclamations satiriques connus sous le nom de surventes. Les sirvemes les plus célèbres, sont ceux de Bertrand de Born et de ^ordelloe remarquables par la véhémence de l'invective et l'ardeur passionnée de leur verve belliqueuse. Il y avait aussi des pièces appelées tensons (de cont^nti", dispute), sorte de dialogue entre deux interlocuteurs soutenant des opinions opposées, débats rimes sur quelque question touchant ordinairement à la chevalerie ou à l'amour.

Mais ce n'est pas seulement la poésie lyrique qui a été cultivée par les troubadours: les grandes compositions épiques ne leur sont pas restées étrangères. Ainsi, Arnaud Daniel avait écrit un roman d'aventures, Lancelol du Lac, dont l'original ne s'est pas conservé, mais dont on possède une traduction allemande faite à la fin du xne siècle. Le minnesinger Wolfram d'Eschenbach déclare avoir imité ses poèmes de Perceval et de Titurel de poèmes sur le même sujet, écrits en provençal. Enfin on a les textes provençaux des poèmes de Ferahras, de Gérard de Roussi/ /on, et de plusieurs autres encore. Ainsi les chansons de gestes, les romans de la Table Ronde appartiennent h la France du midi aussi bien qu'à celle du nord, et il est probable que, dans ce domaine comme dans les autres, c'est le midi qui a été l'initiateur.

Nous avons déjà dit que la poésie des autres

me imitai!

celle dea troubadoun I Angleterre, ce aont lea rola Plantageneta qui la mettent h la mod Italie, on compte, au xn' et an nu* iècle, une treo

t .t i i x - de pintes qui ont adopté la 1 tngue <i m, ci te Sordello de Mantoue; el i ivence

• ,ui trtnamet aux Italien - lea roman» de i he>

Inaplreronl plus iar.1 Boiardo el trioate. Bu

m, ii sr fondei i Barce one <\ k Tortoae

sadémiea de la gaie Bcience; .'t les trouba-

doura provençaux pénètrent [uaque dana lea coura

tille et de Portugal. Enfin lea minnei d'Allemagne traduisent lea épopéea prov< i Quant aux treuvèrei de la France du nord, leur nom indique assez leur parenté avec le* de la langue d'oc

i Provençaui donnèrent l'Impulsion ; mais les diverses nationalités trouvèrenl bien vite leur vole propre, et, cessant d'imiter, créèrent dea lit t<-ralun s originales, robustes et c pablea d'un loi veloppemeni ; tandis que la i">- sie de la langue d'oc, née la première, ne fut plus, à partir du nu1 siècle, qu'un brillant souvenir.

ir.nl \i in >. — V. Littérature française, p. 1I7G.

TUDOR. — Histoire générale. W-WII, X.WIII. — Vnn dune famille qui a régné sur l'Angleterre de 1485 i 1608, el qui lui a donné cinq souverains. C'est sous cette dynastie que se constitue la monarchie absolue : la sanglante guerre des Deux Rotes a épuiaé l'aristocratie, Henri VII en profite pour fortifier l'autorité royale; Henri VIII, non content d'exercer la domination temporelle, y ajoute la souveraineté spirituelle en se proclamant cbef de l'Eglise d'Angleterre; sous Elisabeth, le pouvoir royal att'int son apogée, etla grande reine pourrait dire comme Louis \l\ : L'Etat, c'est moi. » Mais la nation revendiquera ses droits sous les Stuarts.

Henri vn (1 485-1500). — Henri Tudor, seigneur gallois, descendait de la maison de Lancastre par les finîmes : son père, Edmond Tudor, comte de Richmond, avait épousé Marguerite de Beaufort, petite-nièce du roi Henri IV. Il vivait en exil lorsque éclata une révolte contre l'usurpateur Ricbard III V. Plantagenet et (iuerre des Deux-lioses); Henri Tudor débarqua dans le pays de Galles à la tète d'une petite troupe de partisans, rencontra Piichard III à Rotwortb, et le vainquit (148.S). lîicliard ayant été tué dans la bataille, Henri Tudor n'eut pas de peine à se faire reconnaître comme roi ; et, pour mettre fin à la querelle des deux maisons rivales, il épousa, lui l'héritier des Lancastre , Elisabeth , fille d'Edouard IV, héritière d'York. A deux reprises, des imposteurs, se faisant passer pour des princes de la maison d'York, essayèrent de soulever le peuple contre lui; mais ils furent vaincus. Le gouvernement du nouveau souverain fut despotique ; la noblesse n'était plus assez forte pour lui résister, et la bourgeoisie n'aurait pas même songé à tenir tête à l'autorité royale. Henri VII acheva de ruiner la puissance de l'aristocratie en enlevant aux seigneurs le droit de maintenance, c'est-à-dire le droit d'avoir une armée à eux sur leurs terres ; il leva des impôts sans consulter le Parlement; et, pour avoir la justice dans sa main, il institua la Cltambre étoilte, tribunal spécial nommé par le roi et qui avait le pouvoir d'évoquer à lui tous les procès qu'il plaisait au souverain de soustraire à la juridiction du jury.

Ce despotisme assurait du moins au pays la paix intérieure. Après l'horrible guerre civile qui avait désolé l'Angleterre pendant trente ans, l'industrie et le commerce purent refleurir. C'était le moment des grandes découvertes maritimes : à l'imitation des souverains du Portugal et de l'Espagne, Henri VII voulut aussi chercher un chemin