I. — Prismes

Rappelons qu'un prisme est droit, si les arêtes sont perpendiculaires aux bases. Sinon, il est dit o'jlique. Si les bases sont des parallélogrammes, le, prisme prend le nom de parallélipipède. Le parallélipipède droit à base rectangulaire s'appelle parallélipipède rectangle. Il n'offre que des angles droits, et par conséquent sera facile à comparer à 1 unité de volume, qui est le cube construit sur l'unité de longueur.

1. Voulons-nous compter le nombre d'unités de volume renfermées dans un parallélipipède rectangle ? Mesurons la longueur, la largeur et la hauteur. Elles ont, supposons, respectivement 5m, 4m, 3"î. Nous pouvons diviser le volume, par des plans parallèles aux bases, en cinq tranches de 1 mètre de hauteur. Chacune contient autant de mètres

cubes que l'on en pourrait placer sur sa base, c'est-à-dire autant que celle-ci contient de fois le mètre carré (fig. 1). Chaque tranche contient donc 4X3 mètres cubes, et le total, cinq fois 4 X 3 ou 4X3X5. C'est le produit des trois dimensions. On peut aussi dire : le volume d'un parallélipipède rectangle 'égale le produit de sa base par sa hauteur.

Cette démonstration peut être facilement mise en œuvre sous une forme intuitive et matérielle.

La règle ne change pas si les dimensions sont exprimées par des nombres décimaux. Supposonsles égales respectivement à 5 mètres, à. 4m,2 et à 3m,67. Traduisons ces nombres en centimètres et comparons le volume proposé au centimètre cube. En raisonnant comme plus haut, nous y trouverons 500 x 42<> x 367 centimètres cubes. Mais le centimètre cube étant 1000000 de fois plus petit que le mètre cube, )e nombre précédent sera réduit en mètres cubes si on le divise par 1 000000, ou, ce qui revient au même, si l'on effectue le produit 5x4,2x3, G7 en ayant égard à la règle de la multiplication des nombres décimaux.

Enfin, les dimensions peuvent être exprimées

par des nombres fractionnaires. Supposons la longueur de 5m 1/2, la largeur de 4m J/4, la hauteur 3"' 1/3. Ces nombres peuvent s'écrire 11/2, i7/4, et 10/3, ou, réduits au même dénominateur, 06/12, 51/12, 40/12 de mètre. Le douzième du mètre est donc contenu 66 fois dans la longueur, 51 fois dans la largeur et 40 fois dans la hauteur. Si l'on prend des cubes ayant pour arête 1/12 de mètre, on en pourra superposer 40 tranches, à raison de 66x51 par tranche. Le volume proposé contient donc 66x51X40 de ces cubes. Une opération analogue montre que le mètre cube en contient 12X12x12. Donc, enfin, le volume proposé renferme un nombre de mètres cubes égal à :

La règle s'applique donc à tous les cas.

Application. — Calculer le volume de la maçonnerie d'un mur de (."",40 d'épaisseur, et de 2m,50 de hauteur, entourant une cour carrée dont le côté intérieur égale 16m,20.

Le mur représente un parallélipipède ayant pour longueur totale 4 fois 16™, 20 plus 4 fois l'épaisseur (à cause des angles de la cour). Or,

Le volume de la maçonnerie égale, dès lors :

60,40 X 0,40 X 2,50 = 66mc,400.

2. Tous les prismes droits de bases équivalentes et de même hauteur, sont équivalents.

Il i

By

Fiî

Prenons d'abord un exemple familier : voici deux paquets de règles pareilles (fig. 3). Si ces deux paquets en contiennent le même nombre, peu importe leur différence d'aspect; ces deux prismes de bases équivalentes et de même hauteur représentent un égal volume de bois.

Imaginons maintenant un faisceau d'aiguille3

Fiff. 3.

extrêmement fines (fig. 3). Pour que ce faisceau s'ajuste exactement dans un moule ou une boîte, quo faut-il ? En premier lieu, que le fond de la boita soit exactement recouvert par les extrémités de la totalité des aiguilles ; puis, que la profondeur

de la boîte égale la longueur des aiguilles. On pourra donner au faisceau, en le froissant, telle physionomie que l'on voudra; il s'ajustera, en conservant son volume, dans toute capacité offrant même surface de base et même hauteur.

On peut concevoir ainsi qu'un prisme droit quelconque soit divisé, suivant la direction des arêtes, en une infinité d'aiguilles très déliées. Celles-ci, en glissant les unes contre les autres, peuvent, par une juxtaposition convenable, transformer le prisme en un parallélipipède rectangle de base équivalente, de même hauteur et de même volume. Le produit de la base par la hauteur, qui fait connaître le volume de celui-ci. fera donc également connaître le volume de celui-là.

3. Deux prismes, l'un oblique, l'autre droit, de même base et de même hauteur, sont équivalents.

Plaçons sur la même table, côte à côte, deux

piles bien droites de cahiers de même format; puis laissons la main glisser obliquement le long du flanc de l'une d'elles (fig. 4). Celle-ci vient à pencher.

Elle a changé de forme, mais non de grandeur. La base et la hauteur sont restées, d'ailleurs, les mêmes, et leur produit, qui donnait le volume droit, donne encore le volume oblique.

Fig. 5.

De même, si l'on divise un prisme droit quelconque, par des plans parallèles à sa base, en tranches extrêmement minces, et qu'on fasse glisser uniformément ces tranches les unes sur les autres (fig. li), le prisme peut, prendre toutes les inclinai sons en conservant et sa base, et sa hauteur, et son volume. Réciproquement, un prisme oblique étant donné, on pourra, par sa division en tranet le glissement do celles-ci, l'amener à être droit.

4. Il résulte do ce qui précède que le prisme oblique, comme le prisme droit équivalent, a ],ow mesure le produit de sa buse par sa hauteur.

Applications. — I. Calculer la np.-trité d'un bassin hexagonal régulier dont la base a 2m,50 de côté, et dont la profondeur égale 0",80.

L'expression de la surface de l'hexagone régulier (V. Aires) est :

Le rayon de l'hexagone est d'ailleurs éîral h son côté. La surface de base du bassin proposé égale donc:

et son volume :

3X2^52 X V3xO,40= 129mc,900= 1299 hectol.

II. — Calculer, à raison de 60 fr. le mètre cube, le prix par mètre courant d'un mur de soutènement ayant 3m,20 de hauteur et 0m,90 d'épai».vur à sa base. La face interne du mur est verticale, et la face externe a un fruit de Vio-

On appelle souvent fruit d'une droite inclir.ee, le rapport de la projection horizontale à la projetante correspondante. Le fruit est l'inverse de la pente. Si le fruit du mur est de 1/10, une faee étant verticale, l'épaisseur diminue de om,lO pour chaque mètre île hauteur; cette épaisseur se réduit alors, au haut du mur, à 0m,9O — 0m,32 = 0m,58.

Le volume cherché est donc celui d'un prisme couché, ayant pour hauteur (placée horizontalement) 1 mètre, et pour base la coupe verticale «lu mur, c'est-à-dire un trapèze où B = 0,90; 6 = 0,58 et h = 3,20.

Vol. de la maçonnerie : '/2(0>90 + 0,5s;x 3,20 x 1. Prix 0,74X3,20X1 XG0= 142',U8.

5. On appelle section droite d'un prisme oblique, la section obtenue à l'aide d'un plan perpendiculaire aux arêtes.

Tous les prismes ayant même section droite et mêmes longueurs d'arêtes, sont équivalents.

Considérons, en effet, le plus simple, le prisme

Ftp. 6.

droit; soit le prisme droit de la figure 6. Couponsle par un plan oblique quelconque HNPQR. Séparons les deux portions de volume déterminées par cette section et plaçons au-dessus celle qui se trouvait au-dessous, de manière que les arêtes de l'une prolongent les arêtes de l'antre. Deux perpendiculaires au même plan ABCDB, en un même point A, ne forment qu'une seule et même ligne droite. Ainsi des autres.)

Le prisme droit se trouve ainsi transformé en un prisme oblique ayant même section droite, mêmes arêtes et même volume. La direction du plan sécant MNPQR étant d'ailleurs arbitraire, on peul obtenir autant de prismes obliques quu i on voudra, ayant tous même section droite et.

ne nie longueur d'arêtes. Tous ces prismes obliques sont équivalents au prisme droit et équivalents entre eux.

(J. De ce qui précède, on conclut reit

cou. le expression du volume d'un prisme oblique:

le volume d'un prisme oblique peut s'obtenir en' multipliant la section droite par l'arête.

On a rarement l'occasion d'user de ce procédé. En voici toutefois un exemple d'application indirecte :

Un prisme droit (fig. 6) est coupé par un plan incliné à 45° sur les arêtes. La surface de la base égale 0ra<t,65 ; les arêtes égalent 0m,90. On demande la surface de la section MNPQR.

Transformons le prisme droit en un prisme oblique équivalent, et concevons la hauteur de celui-ci abaissée de l'extrémité d'une arête; elle forme, avec l'arête et sa projection sur le plan de la base, un triangle rectangle. L'arête étant inclinée à 45° sur le plan de base, ce triangle rectangle est isoscèle, et l'on a :

d'où

h? + lfi = Vfi =0,90 A = 0,90: V2-

Comme le prisme oblique équivaut au prisme droit, le produit de la base par la hauteur égale le produit de la section droite par l'arête, ou :