II. Pyramides

8. Considérons deux pyramides de forme différente, mais possédant des bases équivalentes et des hauteurs égales. Divisons-les l'une et l'autre en in même nombre de tranches très minces, de môme épaisseur (fig. 7). Deux tranches situées au même niveau ont le même volume, car si les

Fig. 7

sections qui les donnent passent au tiers de la hauteur par exemple (à partir du sommet), les cùtés de chaque section valent le tiers des côtés correspondants de la base, et la section vaut, en surface, V9 ae cette base. Les prismes minces dont l'accumulation forme chaque pyramide ont donc, deux à deux, même section, même épaisseur et par conséquent même volume.

Leurs sommes respectives, c'est-à-dire les deux pyramides, sont donc des quantités égales.

Concluons de là que des pyramides de bases équivalentes et de même hauteur sont équivalentes.

9. Toute pyramide eut le tiers du prisme de même base et de même hauteur.

On l'aperçoit directement, si la pyramide est triangulaire. Prenons, en effet, un prisme ayant la base et la hauteur de la pyramide proposée 1 fig. 8); coupons-le, comme sur la figure, par le plan passant par l'extrémité supérieure de l'arête de gauche et le côté opposé de la base; nous en détachons ainsi la pyramide de gauche, équivalente à la proposée.

Qu'est-il resté du prisme? La pyramide quadrangulaire reproduite à part (fig. 9). Un second plan de section divise celle-ci en deux pyramides triangulaires équivalentes, car chacune a pour hauteur la hauteur de la pyramide quadrangulairc, et pour base la moitié de la base quadrangulaire. Mais la pyramide d'arrière peut être regardée comme ayant son sommet en bas et sa base en haut. Elle est aussi équivalente à la proposée. Dès lors, les trois pyramides sont équivalentes, et chacune est le tiers du prisme.

Si la pyramide proposée a pour base un polygone quelconque, elle équivaut à la pyramide triangulaire de base équivalente et de même hauteur (n° 8), et vaut, comme celle-ci, le tiers du prisme de même base et de hauteur égale.

Le volume d'une pyramide s'obtiendra, par conséquent, en multipliant sa base par le tiers de sa hauteur, ou, ce qui revient au même, en prenant le tiers du produit de la base par la hauteur.

Applications. — I. — La plus grande pyramide

d'Egypte a 146 mètres de haut; elle a pour base un carré de 237 mètres de côté. On en demande le volume et le poids, le décim. cube de pierre pesant 2k,6.

Le volume de cette pyramide égale :

Le poids, à raison de 2G0O kil. par m. c, sera : 2733558x2600 = 71072508 kilogrammes.

II. — A quelle hauteur s'élèvera un tas de sable, en forme de pyramide à base carrée, si les faces sont inclinées à 45 degrés? Le volume du tas est de 2mc,304.

Désignons par x le côté du carré de base de la pyramide. Les lignesde pente des quatre faces étant inclinées à 45° sur le plan de la base, la coupe verticale du tas est un triangle rectangle isoscèle dont l'hypoténuse égale le côté du carré de base. La hauteur de ce triangle de coupe est précisément celle de la pyramide et vaut '/2 de x. Le tiers de cette hauteur vaut !/6 de x. Le volume :

d'où :

et :

Le tas s'élèvera à lm,20 de hauteur.

10. Volume du cône — Tout ce qui a été dit à propos de la pyramide et qui ne dépend ni du nombre, ni de l'étroitesse des faces, est applicable au cône, lequel peut être regardé, quelle que soit sa forme, comme une pyramide dont la base s'est arrondie.

Fi-. 10.

Un cône est donc le tiers du cylindre de môme base et de même hauteur, et l'on en obtiendra le volume en multipliant la surface de base par le tiers de la hauteur. Si la base est un cercle, l'expression du volume est :

Application. — Do quart de cercle, de 0m,12 de rayon, es! enroulé sur lui-môme, de manière que li di '■ rayons extrêmes se rejoignent. On demande la i apacité du cône creux ainsi forme.

La circonférence de base du cône provient de l'arc du secteur enroulé et vaut par conséquent, > :i prenant le centimètre pour unité :

le rayon do base du cône égale donc :

R=circonf. : 2tc = 07t :2u = 3c,n.

Quant à la hauteur du cône, elle forme avec l'apothème, égal à 13 cent., et. le rayon de base, ■ i :; ri m., un triangle rectangle qui donne :

H*=12 — G»=135etH = Vl35=Ucm,61.

et enfin :

V=i/S-X32 X 11,01 = tc x 34,83 = 109cmc, 422.

11. Volume d'un polyèdre irrégulier. — De même que, pour évaluer la surface d'un polygone quelconque, on peut le décomposer en triangles; de même, on peut chercher le volume d'un polyèdre quelconque en le décomposant en pyramides.

Si l'on choisit un point à l'intérieur du polyèdre et qu'on le joigne à ses différents sommets par des lignes droites, on déterminera autant de pyramides que le polyèdre compte de faces, chacune de celles-ci étant la base d'une pyramide. La somme des volumes des pyramides, successivement calculés, donnera le volume du polyèdre.

Ce moyen est plutôt théorique que pratique. Il peut arriver, toutefois, que certaines simplifications se présentent. Par exemple, si toutes les faces du polyèdre sont à égale distance d'un point intérieur, ou, en d'autres termes, si le polyèdre est circonscrit à une sphère. En prenant alors le centre comme sommet commun des pyramides, celles-ci possèdent des hauteurs égales; et, comme le tiers de la même hauteur multiplie successivement toutes les bases (faces du polyèdre), on peut dire que le volume cherché égale le produit de la surface totale du polyèdre par le tiers du rayon de la sphère mscrits.

Tel est le cas, en particulier, pour les polyèdres réguliers.

12. Volume de la sphère. — La sphère ellemême peut être regardée comme constituée par une infinité de pyramides extrêmement déliées, ayant pour sommet commun son centre et se terminant à sa surface.

Telles nous apparaissent, par exemple, les boules tombées de nos platanes. Chacune présente une réunion d'innombrables épingles naturelles ; les têtes forment la surface extérieure de la boule, les pointes convergent au centre.

H-. Il .

En marquai, t, d'une façon analogue, sur la surface d'une sphère, des points très rapprochés les uns des autres et en les joignant au centre par des rayons, on remarque que trois rayons voisins donnent naissance à une petite pyramide lig. 11). Chacune a pour base l'étroit espace découpé sur la sphère, entre les extrémités des trois rayons. La hauteur, pour toutes, est la distance du centre de la sphère à sa surface, c'est-à-dire le rayon de la sphère.

\a\ volume constitué par l'ensemble des pyramides, ou la sphère entière, égale donc l'ensemble de leurs bases, ou lu surface sphérique, que multiplie /r tiers du i ni/nu.

D'ailleurs, la surface de la sphère égale inR1.

Par suite :

Vol. sph. = 47:11* x '/s» = Vs*Kî, ou, en prenant n = 3,1416 :

Vol. sphère = 4,1888 XR».

Applicaiions. — I. — Calculer la capacité d'une bassine en cuivre ayant la forme d'une demi- Bphcre de 0",4s de diamètre.

Prenons le décimètre pour unité :

Vol. '/s sph.= 2,0944 xR»

R = 2dn,4; R3 = 13,824 13,824 X 2,0944= 28Ii',95.

II. — Calculer le rayon d'un ballon qui, entièrement gonflé, offre un volume de 2000 mètres cubes.

On a

d'où :

et:

4,1888 XR3 = 2000, R3=2000 : 4,18S8 = 477,463,

R=V477,4ti3=7B,81.

13. Scteur sphérique. — Un secteur sphérique peut être limité, sur la sphère, par une zone a une base ou une zone à deux bases (fig. 12). Dans

Vig. 12.

l'un et l'autre cas, on répétera, sur cette portion du volume sphcrique, ce qui a été dit relativement à la sphère. Un secteur sphérique peut être décomposé en une infinité de pyramides déliées, rayonnant du centre et se terminant à la zone qui sert de base au secteur sphérique. La hauteur commune de ces pyramides est le rayon de la sphère. L'ensemble de leurs bases fournit la zone. Le volume du secteur sphérique égale donc sa zone mu'tipliée pur le tiers du rayon de la sphère. Comme la zone a pour surface 2-nVih, on aura :

Vol. sect. spli. = 27tR/iX ,;'3R = 5/37:R,/î>

formule d'une application, d'ailleurs, peu fréquente.

Volumes a talus.

Dans cette catégorie se rangent, avons-nous dit, tous les polyèdres compris entre deux bases parallèles inégales, et des faces trapèzes ou triangles, inclinées d'une façon quelconque. Tels le tas de cailloux des routes, le solide à arête horizontale et à base quadrangulaire que représente un toit à quatre pentes; telle encore une pyramide tronquée. La pyramide tronquée n'offre qu'un cas particulier des volumes à talus. Pour qu'un polyèdre de ce genre soit un tronc de pyramide, il faut, en effet, que ses arêtes, prolongées, convergent en un même sommet.

Cette circonstance se produira si les deux bases du polyèdre sont semblables, c'est-à-dire — puisque leurs côtés sont parallèles et par suite leurs angles égaux — si les dimensions de ces deux polygones sont proportionnelles.

Un polyèdre à bases parallèles triangulaires est toujours un tronc de pyramide ; car, pour que deux triangles soient semblables, il suffit qu'ils aient les angles égaux.

14. — La règle générale de mesure des volumes à talus repose sur la remarque suivante :

Si l'on joint le milieu de l'un des côtés non parallèles d'un trapèze aux extrémités des deux bases parallèles 'fig. 13), la ligne brisée AFD partage le trapèze en deux surfaces équivalentes.

Fig. 13.

En effet, les deux triangles ABF, DFC ont pour hauteur la moitié de la hauteur h du trapèze. Leurs surfaces sont respectivement :

TX-etTx-.

La somme de ces surfaces :

AD + CD h

égale bien la moitié du trapèze.

Le triangle AFD est l'autre moitié. Si l'on joint le point F au point E, milieu de AD, le triangle AFD est lui-même divisé en deux parties équivalentes, et AFE est le quart du trapèze.

lô. — Tout volume à talus égale le produit obtenu en multipliant , par le sixième de sa hauteur, la sonune de la grande base, de la petite et de quatre fois la section prise à égale distance des bases.

En appelant b et B les deux bases et C la section moyenne, la formule est :

Décomposons le volume en pyramides, en prenant le point S sur le plan MNPQR parallèle aux bases et passant à mi-hauteur (fig. 14J.

Fi?. 14

En joignant ce point S à tous les sommets du polyèdre, nous déterminons:

1° Une pyramide SABCDE ayant pour base 6 et pour hauteur 1/2 h; son volume égale :

àX*lA

bx-G.

2° Une pyramide SFGHIK, ayant pour base B, pour hauteur 1/2 h, et pour volume :

Bx|.

3° Une série de pyramides ayant pour bases les faces latérales du polyèdre. Considérons-en une. SABFG par exemple, et, pour plus de clarté, détachons-la (fig. 15). Le triangle ombré SMN est la portion de" la section moyenne MNPQR emportée par la pyramide. Si, sur la base ABFG, nous joignons AN, nous déterminons un triangle AMN qui, d'après une remarque précédente (n° 14), est le quart du trapèze. Il en résulte que la pyramide SAMN, qui a ce triangle pour base, est le quart de la pyramide totale SABFG. Mais celle-là (SAMN peut être regardée comme ayant pour base le triangle ombré et pour hauteur '/i^- Son volume est :

AMN X A/6.

La pyramide totale, quadruple, a donc pour volume :

4AMNxA/8.

Chacune des autres pyramides disposées autour du point S' dans l'intérieur du polyèdre proposé, a une expression analogue. Dans l'addition de leurs volumes, le sixième de la hauteur multiplie la somme des triangles analogues au triangle ombré, c'est-à-dire la section moyenne MNPQR; de sorte que l'ensemble de ces pyramides vaut :

Donc, en définitive :

h , h , ,„ h Vol. tôt. = Bx- + bXj.+^Cx-

Cette expression est parfois désignée sous le nom de formule des trois niveaux. Elle s'applique, comme il a déjà été dit, au tronc de pyramide et, par voie de conséquence, au tronc de cône. Elle est également applicable au prisme triangulaire tronqué, et remplace toutes les formules particulières dont on peut se servir dans ces différents cas, formules que nous allons en déduire, d'ailleurs, à simple titre d'exercice.

Application au tas fie fable. — Cuber un tas de sable dont la base inférieure a 6 mètres de long sur 4m,40 de large, la base supérieure 2B,,80 sur 0°,80, et la hauteur lm,50.

Dimensions de la base moyenne C :

G + 2,80 MO 4,40 + 0,80 2 2 e 2

V = i .'6 X 1,50 X 74,40 = 0,50 x 37,20 = ÎS-'.COO.

Application nu tronc (te pyramide. — Calculer

le volume d'une borne de i>m,7S de hauteur, ayant

pour bases des hexagones réguliers dont les côtés

. respectivement 0°,40 et 0", 18.

I côté de l'hexagone de section moyenne

égale I (2 n, 4040,18) = 0,29. La surface d'un hexa-

rcguli'jr est donnée par la formule :

S = »/, R*V 3 = 2,598 X R* (V. A ires).

B = 2,598 x 0,40* = 2,508 X 0,16 6 — 2,598 x 0,1 8* = 2,598 x 0,0 . 4C = 2,598 X 0,58»= y,59SX <>.33r,l V = i '„ x 0,75 X 2,698 x 0,5288 = 0,25x 1,299 X 0,6281 -bO»»,!!* \

Voyons maintenant quelle formule spéciale on peut donner pour le tronc de pyramide. Supposons d'abord un tronc à bases carrées, et soient A et a les côtés des deux bases. La section moyenne C a pour côté V8 (A + a) et pour surface »/* (A + a,2.

Donc :

4C = (A 4- a)* = A2 4- 2Aa + a*.

La formule des trois niveaux donne alors : -(A2 + a«4-A« + 2Aa + a») = J(2A«4-2Aa+2A«),

ou enfin

V = - (A» 4- a2 4- Aa).

Mais Aa peut être considéré comme \ A2 x «* ou une moyenne proportionnelle entre les deux surfaces de bases. Dès lors, on peut dire que le volume de ce tronc égale le tiers de la hauteur, multipliant la somme de la grande base, de la },etite et d'une moyenne proportionnelle entre les deux bases ; expression applicable à toute autre espèce de pyramide tronquée, car on montrerait, comme au n" 3 et au n° 8, qu'une pyramide tronquée quelconque équivaut au tronc à bases carrées équivalentes et d'égale hauteur.

Il est superflu de faire remarquer que la règle ci-dessus ne convient qu'à la pyramide tronquée, c'est-à-dire à un volume à talus dont les bases ont des dimensions proportionnelles.

Application au tronc de cône. — Trouver la capacité d'un cuvier tron-conique ayant 0°,80 de diamètre à l'ouverture, 0<n,52 au fond, et C",45 de profondeur.

Les rayons des bases sont 0°,40 et 0m,26. Celui delà section moyenne est V, (0,40 + 0,26)= 0,33.

B = 7tX 0,402 =3,1416x0,16 6= ttX 0,262 = 3, 1416x0,0676 4C = - X 0,662 = 3,1416X0,4356

V = 1/6 X 0,45 X 3,1416X0,0032 = 0,15X3,1416X0,3311=0,156 V= 156 litres.

En traitant comme dans l'alinéa précédent la formule des trois niveaux, on voit qu'elle donne, pour un tronc de cône :

V = t/,xA(R*+r»4-Rr).

Application au prisme triangulaire tronqua. — Considérons le tronc de prisme triangulaire comme couché sur l'une de ses faces (fig. 16). La base B

I ig. 16.

est alors le trapèze sur lequel le solide repose. La base b se réduit à l'arfttc opposée ; sa surface est nulle. En appelant a,a' les deux arêtes AB,CD et a" l'arête l.F, la section moyenne est un trapèze dont lescôtésparallèlesvalcntreRpectivcment ,/ï(a+,"") et "^{a'+a" ). D'ailleurs, la hauteur de ce trapèze est la moitié de la hauteur du trapèze ABCD.

l'.ir exemple, proposons-nous de trouver la contenance d'un grenier avant pour aire un tr dont les côtés parallèles, distants de 4 mètres, égalent 7™, 20 et 5U,,60; la hauteur du grenier est de 2,10, et le faitage EF a 4m,40 de long.

Les côtés de la section moyenne valent respec- Soit à trouver, par exemple, le volume d'un tivement :

M0-+4,4Q==5met^6 + 4,40==5m?80>

B-5-* + 7'*x4-lS,«0 b = zéro

lC = 4x^x2 = 43,20

V='/6x2,IOx 6s,80 = 0,7x34,40 = 2imc,080.

On peut, dans le cas du tronc de prisme triangulaire, abréger un peu le calcul, en tenant compte des remarques suivantes :

Si d est la distance MN des deux arêtes AB,CD,

la distance des côtés parallèles de la section

moyenne est 1ji d. Ces deux côtés sont, d'ailleurs,

, , a+a" ta'-\-a'' égaux respectivement a — - — et — - — •

La section C vaut donc, en surface :

a + a" + a' + a" d 4^XT

d'où 4C = i/2(a + a"+«'+a')Xrf.

Ajoutons maintenant :

B = 1/2 (a + a')xd

b = zéro

AC=>ls(a + a" + a' + a'')xd

Nous avons :

1 Et, comme la parenthèse contient 2 fois la somme ! des arêtes :

h , , t , ,m 7 hxd a+n' +a" V = -(a + «' + «")xd=— x— 3

Mais le produit — - — n'est autre que la surface

du triangle SMN de section droite. On peut donc dire que le volume du prisme triangulaire tronqué ,vaut la section dioite multipliée par la moyenne arithmétique des trois arêtes.

Traitons par cette règle l'exemple qui précède.

Sect. droite = ' - = 2,10x2.

•Vol.=

Mais la formule des trois niveaux suffit à tous les cas.

Nous venons d'examiner successivement les volumes qu'étudie la géométrie élémentaire. Sans dépasser les limites de notre cadre, nous pouvons dire quelques mots du segment sphérique et du cylindre tronqué.

16. Segment de sphère. — Presque invariable- ■ ment, dans la pratique, c'est le segment à une ! base, limité à une calotte sphérique, que l'on a à I évaluer. 11 est visible que le segment ABA' (fig. 17) . est la différence entre le secteur sphérique AB V'O | et le cône ayant pour sommet le centre 0 et pour base le cercle AA'.

En général, le segment étant isolé, on mesure : directement le diamètre AA' et la flèche MC j (fig, 18y. Le rayon de la sphère se calculera aisé- ' ment, parce qu'on sait que A'C = MCXCN.

Fig. 17.

segment de sphère, dont la base a 0m,40 de diamètre (ou O^O de rayon) et la flèche Gm,08.

La fig. 13 donne : 0,202 == 0,08 X CN, d'où :