LICHENS

IJCI1KNS

ses [Usnea barbata. Cladonia); Les seconds sont nommés lichens foliacés ; ce sont des expansions minces, lobées, ondulées, qui s'étalent largement fi la surface de leur support, n'y adhérant toutefois que par un petit nombre de points (Peltigëra, Parmelia)', les lichens du troisième groupe sont appelés crustacés ; Hb adhèrent à leur support par toute leur face inférieure, parfois même ils s'y enfoncent assez profondément (Gr/œhis, Ombilicaria) ; le dernier groupe est formé par les liche?is f/é/'i/ineux, dont le nom rappelle la consistance molle (collema).

La substance des lichens, comme celle des champignons, résulte de l'enchevêtrement d'un grand nombre de filaments celluleux appelés li'/phes, et chaque hyphe possède un accroissement indépendant de celui de ses voisins. Dans la généralité des lichens, la région inférieure du thalle est formée d'éléments intimement appliqués les uns contre les autres, et dont plusieurs en se prolongeant inférieurement forment les ihizines; cette zone inférieure est nommée souvent zone corticale. La région moyenne du thalle résulte du feutrage d'hyphes lâchement entrelacés ; cette assise médiane, nommée assise médullaire, devient un peu plus dense vers sa région supérieure, ce qui fait distinguer parfois une région superficielle appelée hypothecium; certaines cellules de l'hypothecium, en se prolongeant les unes en poils stériles, les autres en glandes disséminatrices, donnent l'assise désignée sous le nom de thalamium ; dans la couche médullaire du thalle du lichen, on observe fréquemment de grosses cellules vertes que les auteurs nomment ■jonidies. Ce ne sont autre chose que des algues déformées par le parasitisme; chacune d'elles est fixée aux hyphes voisins par des crampons que ces derniers envoient à la surface de l'algue.

Au point de vue de la dissémination, les lichens ne diffèrent pas sensiblement des champignons ascomycètes. Chaque glande disséminatrice ou thèque produit de quatre à huit spores. Ces thèques oblongues, parallèles entre elles, et protégées par des poils stériles qu'on nomme parapht/ses, se groupent en grand nombre en certains points du thalle où l'ensemble produit l'effet d'un petit disque ou écus-on. Ces disques sont nommés apothe'cies. La région marginale de l'apothécie est désignée sous le nom à'excipiilum. Les apothécies sont étalées à nu à la surface du thalle dans les lichens qualifiés pour ce motif du nom de gymnocarpes ; elles sont au contraire enfoncées dans le thalle et plus ou moins cachées, dans les lichens que l'on nomme pour cette raison lichens angiocarpes. Certains lichens présentent des spores spéciales, nommées stylospores, qui doivent séjourner un certain temps sur le sol avant de pouvoir germer. Le thalle du lichen est susceptible à certaines époques de l'année de se résoudre en petits fragments dont chacun est capable de reproduire le lichen ; chacun de ces petits fragments est nommé sorédie.

Les organes de la reproduction des lichens sont presque inconnus; les organes mâles sont de très petites glandes désignées sous le nom de spennalies. Les organes femelles sont complètement inconnus. Les spermaties, abandonnées à ellesmêmes pendant un temps très long, changent de nature, et deviennent susceptibles de germer.

La véritable nature des lichens n'est connue que depuis très peu de temps ; elle a été découverte par M. Schwendener et confirmée par M.Yl.Bomet et Treub. Pour avoir un lichen, on sème une algue dans une goutte d'eau à la surface d'une lame de verre; sur la même lame, à côté de la goutte d'eau, on place une spore de lichen dans une autre goutte d'eau. Si les choses restent dans cet état, l'algue continue de vivre, sans se modi-

fier; la spore de lichen germe, mais bientôt le filament qu'elle produit s'alrophie et meurt, ltapproche-t-on la spore de lichen des algues qui en sont voisines, on voit le germe produit par cette spore s'attacher aux algues, prendre un développement considérable, et bientôt englober complètement toute l'algue. Le champignon est donc bien parasite de l'algue; cette dernière a mission de fournir à son parasite les hydrates de carbone que celui ci ne peut fabriquer, étant dépourvu de pigment chlorophyllien; mais l'algue, entourée de t< parts par un être riche en matières alhuminoldi s, emprunte à son parasite une partie de ces substances, et, grâce à ce supplément de nourriture, prend un développement presque anormal, se multiplie beaucoup, mais exclusivement par voie végétative. Le parasitisme des champignons sur les algues ressemble beaucoup à une association où chacun des membres tire profit du travail des autres, tout en contribuant pour sa part au bienêtre commun. Toutefois, dans cette association, l'un des membres, l'algue, peut vivre solitaire et se suffire à lui-même, tandis que le champignon ne peut vivre sans le secours de son associé.

Usages des lichens. — 1° Lichen d'Islande (Physcia Islandica). — Le lichen d'Islande croît très abondamment dans le nord de l'Europe ; on l'emploie en infusion contre les affections des voies respiratoires; seulement on doit auparavant le débarrasser de son principe amer en le lavant à l'eau tiède. Soumis à l'action de l'eau bouillante, le lichen se dissout en grande partie et le liquide se prend en gelée. On a essayé à diverses reprises d'employer cette gelée comme aliment, mais son amertume insupportable l'a fait abandonner; cette amertume est due à une matière spéciale, l'acide cétrariqup. Dans les régions hyperboréennes, on trouve mélangé au lichen d'Islande le fameux Cenomyce Rangiferina, qui forme la principale nourriture des rennes pendant l'hiver.

2° Le lichen pulmonaire du chêne (Stricta pulmonaria) était naguère employé contre les maladies du poumon. Aujourd'hui, il est utilisé pour teindre la soie. En employant comme mordant le bitartrate de potasse et le chlorure d'étain, on obtient une couleur carmélite fort belle et très solide. On récolte ce lichen dans les Vosges, mais il est peu abondant.

3° Le lichen des murai/les (Parmelia paripfina) prend, sous l'influence des alcalis, une couleur rouge foncé qui permet de l'utiliser dans la teinture. Près du lichen des murailles se place le lichen vulpm dont M. Hébert, de Chambéry, a extrait une matière colorante jaune que l'on pourrait utiliser en teinture.

4° On désigne sous le nom d'Orseilles tous les lichens qui produisent la couleur rouge violette à laquelle on donne le nom d'orseille. 11 y a deux sortes d'orseilles : l'orseille de mer, fournie par les Roccela des pays chauds, et l'orseille de terre, qui est fournie par les Variolaria.

La matière colorante que l'on extrait des orseilles est le résultat des opérations qu'on leur fait subir. Pour obtenir la pâte d'orseille, on pile ces végétaux et on les laisse pourrir au contact de l'air en les arrosant d'urine. La matière colorante est extraite de la pâte d'orseille par des lavages.

5° Touimesol en pains. — Cette matière colorante bleue trèssoluble dans l'eau et dans l'alcool. (|uc des chimistes emploient pour reconnaître les acides, s'extrait de la parelle d'Auvergne (Variolaria orcnin). On ramasse la plante, on la fait sécher, on la pulvérise avec la moitié de son poidsde cendres, puis le tout est arrosé d'urine ; ok laisse le mélange se putréfier pendant 40 jours, on ajoute alors un peu d'urine fraîche, et c'est quelques jours après cette addition que la pâte devient bleue ; on ajoute alors de la chaux, puis.

LIGNES

du carbonate de chaux, après quoi la matière est divisée en petits parallélipipèdes que l'on fait sécher.

G" Le lichen pyxidé a joui autrefois d'une grande réputation comme préservatif contre l'épilepsie, cette maladie était, croyait-on, radicalement guérie par l'emploi de l'U-mée du a-âne humain, qui n'était autre que le lichen pyxidé développé à la surface des crânes humains exposés à l'air. Leymeri rapporte que des malades eurent la folie de payer cette drogue jusqu'à 1000 francs les 30 grammes.

7° Manne tombée du ciel (Lichen esculentus). — En 1845, à la suite d'une pluie, on a trouvé sur le sol, en Anatolie, une substance grisâtre que les habitants ont regardée comme une manne tombée du ciel et dont on s'est servi pour faire du pain. Cette manne est formée de petits corps blancs, arrondis, farineux, tuberculeux, qui ne sont autre chose qu'un lichen ( i./ten esculentus). Nées d'Esenbeck et Ledebour, quiont plus spécialement étudié cette matière, nient, malgré les assertions des témoins, que cette manne soit tombée sous forme de pluie ; mais ils admettent volontiers qu'elle a pu se former très rapidement à la surface du sol après des pluies chaudes. La manne dont il est question dans la Bible au livre des Nombres n'est autre que ce même Lichen escule?itus; elle diffère de la manne du Sinaï décrite dans l'Exode : celle-ci est produite par le Tamarin turf ca. [C.-E. Bertrand.]

LIGNES. — Géométrie, II- VIII. — 1 . — On nomme ligne droite la ligne la plus courte qu'on puisse mener d'un point à un autre. Il est évident que d'un point à un autre on ne peut mener qu'une seule ligne droite. Et il en résulte que deux droites qui ont deux points communs, que nous désignerons par A et B, coïncident dans toute leur étendue. D'abord elles coïncident entre A et B. De plus, si un point C, pris sur le prolongement de la première, n'appartenait pas à la seconde, on pourrait faire tourner la seconde autour du point A, jusqu'à ce qu'elle vînt passer par le point C; mais, dans ce moment, les deux points qui coïncidaient en B se seraient séparés ; on aurait donc, de A à C, deux lignes droites, ce qui n'est pas po-sible.

De cette remarque résulte que deux points suffisent pour déterminer une ligne droite.

Une ligne droite se trace à la règle, au cordeau, quand on en a deux points. Une ligne droite se mesure, suivant sa longueur, avec le double décimètre divisé en millimètres, avec le mètre ou avec le double mètre, avec le décamètre. Les distances itinéraires, supposées droites, s'évaluent en kilomètres et myriamètres.

2. — On nomme ligne brisée une ligne composée de lignes droites ; les lignes droites sont les côtés de la ligne brisée. Une ligne brisée est dite convexe, lorsqu'elle ne peut être rencontrée par une droite en plus de deux points.

Si d'un point A à un point D (fig. 1) on mène

Fig. 1.

deux lignes brisées convexes ABCD et AMXPD, dont la seconde enveloppe la première, la ligne brisée enve'oppée est pl«s courte que la ligne 'risée enveloppante. Car, si l'on prolonge ÀB jus-

qu'en I et BC jusqu'en O, on aura par la définition même de la ligne droite.

AB + BI<AM + MI BC + CO < BI -f- IN -f NO CD < CO + OP -f PD

Ajoutant ces inégalités membre à membre, et supprimant les termes communs aux deux membres, on obtient

AB + BC + CD < AM + MI + IN + NO -f- OP -f PD

< AM -f- MN -f NP -f- PD c.q.f.d.

Remarque. — La démonstration étant indépendante du nombre des côtés de chaque ligne brisée, peut être étendue au cas où ces lignes brisées auraient un nombre infini de côtés infiniment petits ; par conséquent, on peut dire que si, d un point à un autre, on mène deux lignes courbes convexes, dont l'une enveloppe l'autre, la courbe convexe enveloppante est plus longue que la courbe convexe enveloppée.

3. — On nomme circonférence de cercle une courbe plane dont tous les points sont également distants d'un point intérieur nommé centre. La distance du centre à un point quelconque de la circonférence est ce qu'on appelle le rayon. Une droite qui passe par le centre et se termine de part et d'autre à la circonférence est ce que l'on nomme un diamètre. Tout diamètre est donc le double du rayon.

Une circonférence de cercle se trace à l'aide du compas. Sur le terrain, on substitue au compas un cordeau tendu, fixé au centre, par une de ses extrémités, et armé à l'autre d'un piquet qui sert de traçoir.

lout diamètre divise la circonférence en deux parties éyides ; car, si l'on plie la figure le long de ce diamètre, les deux parties devront coïncider ; autrement, il y aurait des points inégalement distants du centre.

Toute portion de circonférence se nomme un arc de cercle ; la droite qui joint les extrémités se nomme la corde ; on dit que la corde sous-tend l'arc. Toute corde qui ne passe pas par le centre divise la circonférence en deux parties inégales, l'une plus grande que la demi-circonférence, l'autre plus petite.

Une même corde sous-tend toujours deux arcs, mais c'est toujours du plus petit de ces deux arcs qu'il est question, à moins que l'on n'exprime positivement le contraire.

Toute corde est plus petite que le diamètre; car, si l'on joint le centre aux deux extrémités, la corde, qui est une ligne droite, sera plus petite que la somme des lignes de jonction qui forment une ligne brisée, et qui sont des rayons, c'est-àdire qu'elle est plus petite qu'un diamètre.

4. — Deux circonférence-! de même rayon sont égales ; car. si l'on transporte l'une de manière à faire coïncider les centres, les circonférences devront coïncider, sans quoi il y aurait des points inégalement distants du centre.

On peut remarquer que lorsque deux circonférences égales ont même centre, on peut faire tourner l'une d'elles autour de ce centre sans que la coïncidence cesse d'avoir lieu.

Dans le même cercle, ou dans des cercles égaux, à deux ores égaux correspondent des cordes égales^ car, s'il s'agit, par exemple, d'arcs pris dans des cercles égaux, il est évident que l'on pourra faire coïncider les arcs égaux et que dès lors les cordes coïncideront.

Dms un même cercle, à un plus grand arc correspond une plus grande corde.

LIGNES

Soit AB > A'C (fig. 1). Prenons, à partir du point A, l'arc AC = A'C; la corde AC sera égale à

isolé la lettre du sommet suffit, et Ton dirait L'an* Kle A.

Fig. 2.

la corde A'C. Joignons OB + OC, qui coupera AB en un point I. On aura

AI + IC>AC et OI + IB>OB

Ajoutant ces inégalités membre à membre ; remplaçant AI + IB par AB, et 01 -f IG par OC, ou par son égal OB, il vient

AB + OB>AC + OB ou AB>AC

Ces deux propositions démontrent leurs réciproques; c'est-à dire que :

Deux cordes égaies sous-tendent des arcs égaux ; et, à une plus grande corde correspond un plus grand arc.

5. — Pour comparer entre euxles arcs d'une mêm<j circonférence, on suppose cette circonférence divisée en 360 parties égales, à chacune desquelles on donne le nom de degré, chaque degré en 60 parties appelées minutes, et chaque minute en 60 seco?ides. Pour évaluer un arc on dira, par exemple, un arc de 68 degrés 43 minutes et 1 7 si coudes, ce qu'on écrit 0 ■" 43' 17". Le quart de la circonférence, ou 90 degrés, forme ce qu'on appelle un quadrant.

Dans le système décimal, le quadrant se divise en 100 grades, chaque grade en 100 minutes, ei chaque minute en 100 secondes. Un arc ainsi évalue s'exprime immédiatement par un nombre décimal. Ainsi, 81 grades, 73 minutes et 25 secondes s'écrira 81gr,7325.

Pour convertir un nombre de grades en de-

grés, il stifiïc de le multiplier par —, puisque

90 degrés font 100 grades. Ainsi, 81er, 7a25 donne.

en multipliant par —,

73°,55925 ou 73°33'33",3.

Réciproquement, pour convertir un nombre de

degrés en grades, il suffit de multiplier par —,

après avoir converti préalablement les minutes et secondes en dé.imalcs du degré. Ainsi

68° 43' 17", ou 68° , ou encore 68°,72139..

3tit)u

multiplié par - , donne 78fr,13i8..

6. — On appelle angle le plus ou moins d'écart de deux droites qui se rencontrent; ces droites sont les côtés de l'angle, et leur point de rencontre en est le sommet. La fig. :î représente l'angle formé par les deux droites AB et AL. On esl convenu de désigner un angle par trois lettres, dont l'une est celle du sommet, et les deux autres sryu prises sur les deux côtés j mais la lettre du sommet doit occuper le milieu; ainsi, l'on dira l'angle BAC ou CAB. Cependant, si l'angle est

Dans la considération des angles, on na point égard à la longueur des côtés.

7 — On compare les angles entre eux à l'aide, des arcs de cercle décrits de leur sommet comme centre avec un môme rayon.

On remarque d'abord que, si deux angles interceptent i/es arcs égaux sur des circonférences de même rayon décrites île leur s rnmet drame c-nfre} ces angles sont égaux Car, si l'on fait coïncider les centres, et qu'on fasse tourner l'une des circonférences autour de ce centre jusqu'à ce que les arcs égaux coïncident, les côtés des deux angles coïncideront deux à deux; les deux angles sont donc égaux.

(.eue proposition sert à faire en un point dune droite un angle égal à un angle donné. Il suffit de décrire du point donné, et du sommet de l'angle donné, comme centre, des arcs du même rayon, et de prendre sur le premier, à partir de la droite donnée, une ouverture de compas égal à la corde de l'arc intercepté par l'angle donne.

On montrerait de même que, si deux angles sont égaux, ils in'erceptent des arcs égaux sur les circonférence* de même rayon décrites de leurs sommets connue centres.

Cela posé, si l'on suppose une circonférence divisée en 360 degrés, et qu'on mène des rayons à tous les points de division, les angles consécutifs formés par ces rayons seront égaux. Il en ^erait de même si l'on subdivisait chaque degré en 6 i minutes, ou chaque minute en 60 secondes. L'angle au centre qui intercepte un arc d'un degré est ce qu'on appelle un angle de un degré; celui qui intercepte un arc d'une minute est un angle de une minute, etc. De cette manière, un angle au centre quelconque est exprimé en degrés, minutes et secondes, de la même manière que l'arc qu'il intercepte ; s'il intercepte un arc de 2t° 45' 16", c'est un arc de 2H° 45' 16", etc. On exprime cette relation générale en disant qu'un angle au centre a pour mesure l'arc compris entre ses côtés. 8. — La mes re effective des angles s'effectue, sur une surface de peu d'étendue, à l'aide de l'instrument qui porte le nom de rapi orteur. Il se compose d'un demi-cercle dont la circonférence, ou limbe, est divisée en degrés. Soit XOY (fig. 4)

l'angle à mesurer. On porte l'instrument sur ^et angle, de manière que son centre tombe au somme: 0, et que le diamètre AB coï icide avec la direction OV de l'un des côtés de l'angle

LTGNES

— HGI —

LTGNES

côte OX vient alors couper le limbe en un certain point M, et l'on note le nombre de degrés compris entre les points A et M. Ce nombre est la mesure de l'arc AM, et par suite celle de l'angle proposé.

Sur le terrain, on emploie un instrument analogue qui porte le nom de graphomètre. — V. .4»'pentage (Instruments d').

9. — Un angle de 90° est ce qu'on appelle un angle droit; tel est l'angle principal d'une équerre. Un angle plus petit qu'un angle droit s'appelle un angle aigu. Un angle plus grand qu'un angle droit est un angle obtus. Deux angles sont dits supplémentaires, lorsque leur somme vaut deux angles droits; ils sont dits complémentaires, si leur somme vaut un angle droit.

10. — Lorsqu'une droite OC (fig. 5) en rencontreune autre AB, la somme des angles adjacents

A0C4-B0C équivaut à deux angles droits. Car, si du sommet commun O de ces angles on décrit une demi-circonférence ACDB, ces angles auront pour mesure les arcs AC et BC, dont la somme équivaut à deux quadrants.

Corollaire. Lorsque deux angles adjacents sont égaux, ils sont droits. Tels sont AOD et BOD.

Réciproquement. Si deux angles adjacents AOC et BOC sont supplémentaires, leurs côtés extfrieurs AO et CO sont en ligne droite. Car, si la somme des arcs AC et BC équivaut à une demicirconférence, la droite qui joint les points A et lî est un diamètre, et passe conséquemment par le centre ; donc OA et OB ne forment qu'une même ligne droite.

11. — La somme des angles successifs AOB, BOC, COD, DOE (fig. 6), formés en un même point d'un

même côlé d'une droite, est égale à deux an gles droits,. Car la somme des arcs AB, BC, CD. DE qui mesurent ces angles équivaut à deux quadrants.

Lasomme des angles successifs AOB, BOC, COD,

DOE, EOA (fig. 7). formés autour d'un point, èqidvaut à quatre angles droits. Car la somme des

arcs AB, BC, CD, DE, l'.A, qui mesurent ces angles équivaut à quatre quadr.uits.

12. — Lorsque deux droites se coupent, les angles opposés par le sommet sont égaux. Soient, en

effet, deux droites AB et CD qui se coupent on nu point O.

On a:

AOC +COB = 2 droits et COB-f BOD = 2 droits

d'où :

AOC + COB = COB + BOD

ou simplement :

AOC = BOD

On démontrerait de même que AOD = COB.

13. — Lorsque deux droites se coupent, si l'un des quatre angles qu'elles forment est droit, les trois mitres sont droitsaussi, comme étant adjacents au premier, ou comme lui étant opposés par le sommet. Deux droites qui se rencontrent ainsi à angles droits sont dites perpendiculaires entre elles.

Dans la pratique, c'est avec Yéquerre que' l'on mène ou que l'on vérifie les perpendiculaires. Cet instrument se compose, en effet, de deux règles assemblées à angle droit. On pourrait aussî se servir du rapporteur, puisque avec cet instrument on peut faire des angles de 90° ; mais nous verrons plus loin des procédés plus précis pour tracer les perpendiculaires.

Par un point donné <n ne peut mener qu'une seule perpendiculaire à une droite donnée.

Cela est d'abord évident, si le point donné est sur la droite donnée; car si, par ce point, on a mené une droite faisant avec la droite donnée des angles adjacents égaux, toute autre droite menée par ce point ferait avec cette même droite donnée des angles adjacents inégaux.

Supposons, en second lieu, que le point donné soit extérieur à la droite donnée. Soit O (fig. 9)

Fig. 9.

ce point, et AD la droite donnée. Soient, s'il était possible, OC et OB deux perpendiculaires à AD. Faisons tourner la figure autour de AD, de manière que le point O vienne se rabattre en O'. Les angles en C étant droits, les lignes CO et CO' sont en ligne droite. Si les angles en B étaient droits aussi, OBO' serait aussi une ligne droite; on pour

LIGNES

rait donc d'un point O h un autre O' mener deux droites distinctes, ce qui est impossible.

REMARQDB. OC étant supposée perpendiculaire à AD, OB est dite oblique par rapport à la môme droite.

14. — Si par un point O (fig. 9) extérieur à une droite AD, on mène la perpendiculaire OC et différentes obliques OR, OD, OA : 1° la perpendx culaire est plus courte que toute oblique; 2° deux obliques OB et OD, qui s'écartent également du piedC de ta perpendiculaire, sont égnlcs ; a° de deux obliques OD et OA qui s'écartent illégalement du pied de la perpendiculaire, celle qui s'en écarte le plus est la p'us longue.

Faisons tourner la figure autour de AD de manière que le point O vienne se rabattre en O' ; on auraO'A = OA; OB = OB ; OC = OC ; OD=OD. delà posé :

1° La ligne OCO' étant droite, on a :

OCO'<OBO' ou 2 0C<2 0B, ou OC<OB.

2° Faisons tourner la figure OCD autour de OC; les angles en C étant droits, la ligne OD prendra la direction CB; et, puisqu'elles sont égales, le point D tombera en B; donc OD coïncidera avecOB; donc ces obliques sont égales;

3° La ligne brisée OAO enveloppant OBO' qui a les mêmes extrémités, on a :

OAO' > OBO' ou 2 0A>20B ou OA>OB.

Il en résulte OA > OD.

15. — Sz, par le milieu G d'une droite AB (fig. 10), on lui élève une perpendiculaire CD : 1° fout

point O pris sur celte perpendiculaire sera également distant des extrémités ArfB de la droite; 2° tout point K, pris en dehors de la perpendiciilaire, sera inégalement distant de A ei de B.

1° On aura OB = OA comme obliques s'écartant également du pied de la perpendiculaire.

2° Joignons KA et KB ; la première de ces droites rencontrera CD en un point O, et si l'on ioint OB, on aura OB = OA. Mais on a :

KB<KO + OB ou KB<KO + OA

c'est-a-dire KB < KA.

Ce qu'il fallait démontrer.

Remarques. J. On réunit ces doux propositions en une seule en disant que : la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite est le lieu geometbiqde de tous les points qui sont à égale distance des extrémités de la droite.

H. Deux points suffisant pour déterminer une droilc, on peut dire que si une droite a deux de ses- points à égale distance des extrémités d'une droite, elle est perpendiculaire sur le milieu de la droite.

l(i. — Le milieu C (fig. n) d'un arc AB, le milieu I de sa corde et le centre O du cercle sont toujours sur une même perpendiculaire à cette cordr. Car les arcs CA et CB étant égaux, il en est de môme de leurs cordes; le point C est donc également distant de A et de B ; il en est de môme du centre O ; la droite OC ayant deux de ses points à

égale distance des extrémités de AB, est perpendiculaire sur le milieu de AB.

Cokollaikes. 1. Si <lu coi Ire O d'une circonférence 071 atiaisse une perpendiculaire sur une corde, elle divise celle corde, et l'arc sous-tendu, chacun en d- ux parties égales.

II. Si sur le milieu d'une corde on lui élève une perpendiculaire, cette perpendiculaire passe par te centre et pir le milieu de l'arc que sous-tend la corde.

Ce dernier corollaire offre un moyen de faire passer une circonférence par trois points donnés A.B.C qui ne son' pas en ligne <h-oite. Il suffit de jo ndre AB et AC, et d'élever sur le milieu de chacune de ces cordes deux perpendiculaires qui passi m toutes deux par le centre. Le centre demandé sora donc le piint d'intersection de ces deu\ perpendiculaires .

Si les trois points donnés étaient en ligne droite, les deux perpendiculaires ne pourraient se rencontrer, sans quoi on pourrait d'un môme point abaisser deux perpendiculaires sur une môme droite. Il en résulte qu'une droite ne saurait r ncontrer une circonférence en plus de deux poi 1s.

17. — Une droite AB (fig. 12), perpendiculaire à l'extrémité a'un rayon OC, n'a qu'un point com-

Fig. 12.

mun arec la circonférence. Car si l'on joint le centre O à un point quelconque D de la droite AB, la droite OD sera une oblique plus grande que la perpendiculaire OC; le point D est donc situé bo:s de la circonférence.

In; droite qui, comme AB, n'a qu'un point commun avec une circonférence, est dite tangente à cette circonférence, et la circonférence est tangente à la droite. Toute droite qui rencontre une circonférence en deux points est dite sécante par rapport à cette circonférence.

Kéciproque ou théorème précédent. Toute tangente AB à une circonférence O est perpendiculaire à l'extrémité du rayon OC qui aboutit au point de contact. Car tout'point D de cette droite, différent du point C, étant situé hors du cercle, le rayon OC mesure la plus courte distance du centre h la droite; c'est donc la perpendiculaire abaissée du centre sur cotie droite.

18. — Si deux circonférences O et C (fig. 13) ont un point A commun hors île la ligne OC qui joint leurs centres, e/'es en ont nécessairement un second. Faisons, en effet, tourner la ligure OAC autour de OC jusqu'à ce que le point A vienne se rabattre en A'; on aura OA' = OA et CA' = CA; le point

LIGNES

A' appartiendra donc à la circonférence O et a la circonférence C.

Fig. 13.

Corollaires. 1. Si deux circonférences se touchent, et n'ont qu'un point commun, ce point est situé sur la ligne des centres. Si les circonférences se touchent extérieurement, la distance des centres esc la somme des deux rayons. Si les circonférences se touchent intérieurement, la distance îles centres est la différence des rayons.