OC<OA + AC; OA < OC + AC, OC>OA — AC

ainsi la distance <'es centres est plus petite que la somme des rayons et plus grande que leur différence.

111. Si deux circonférences sont séparées, la distance des centres est plus grande que la somme des rayons. Si l'une des circonférences est intérieure à l'autre, la distance des centres fst plus petite que la différence dis rayons. Il suffit pour le reconnaître de faire la figure.

19. — Les propriétés des perpendiculaires démontrées aux numéros 13 à 17 fournissent le moyen de résoudre, avec la règle et le compas, divers problèmes relatifs à ces droites.

I. En un point A d'une droite XY élerer u?ie perpendiculaire à cette droite. Prenez sur la droite, de part et d'autre du point A, deux longueurs égales AB et AC. Des points B et C comme centres, avec un rayon plus grand que AB, décrivez deux arcs de cercle qui se couperont en un point D. Joignez AD, ce sera la perpendiculaire demandée.

II. D'un point A, pris en dehors d'une droite XY, abaisser une perpendiculaire sur cette droite. Du point A comme centre, avec un rayon suffisamment grand, décrivez un arc de cercle qui coupe la droite XY en deux points B et C. De ces points comme centre, avec un rayon plus grand que la moitié de BC, décrivez deux arcs de cercle, qui se couperont en un point D. Joignez AD; ce sera la perpendiculaire demandée.

III. Diviser une droite AB en deux parties égales. Des points A et B, avec un rayon plus grand que la moitié de AB, décrivez deux arcs de cercle qui se coupent au-dessus de AB en un point C, et deux autres arcs de cercle qui se coupent en dessous en un point D. Joignez CD; cette droite sera perpendiculaire sur le milieu de AB.

IV. Diviser un arc de cercle en. deux partie* égales. Tirez la corde, et du centre abaissez une perpendiculaire sur cette corde; elle passera par le milieu de l'arc.

V. Diviser un angle en deux parties égides. Du sommet de l'angle, comme centre, décrivez un arc compris entre les deux côtés; tirez la corde de cet arc, et du sommet abaissez une perpendiculaire sur cette corde; elle divisera l'angle en deux parties égales.

Remarque. — La droite qui divise un angle en deux parties égales s'appelle la bissectrice de cet angle.

20. — Deux droites perpendiculaires à une même tioisième ne peuvent se rencontrer quelque loin qu'on les prolonge, car autrement on pourrait, d'un même point, abaisser deux perpendiculaires sur une même droite.

Deux droites qui, étant situées dans un même plan, ne peuvent pas se rencontrer quelque loin qu'on les prolonge, portent le nom de droites parallèles. L'énoncé ci-dessus revient donc au suivant : deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.

On admet que, par un point pris hors d'une droite, on ne peut lui mener qu'une seule parallèle. Cette parallèle est facile à obtenir. Du point donné, on abaisse une perpendiculaire sur la droite donnée, et, par ce même point donné, on élève une perpendiculaire sur cette perpendiculaire ; c'est la parallèle demandée.

Lorsque deux droites sont parallèles, toure perpendiculaire à l'une est en même temps perpendiculaire à l'outre. Car si elle rencontrait cette autre sous un angle aigu ou obtus, on pourrait, par leur point de rencontre, lui élever à elle-même une perpendiculaire, qui serait parallèle à la première des deux droites données ; on pourrait donc, par un même point, mener deux parallèles à une même droite, ce que l'on regarde comme impossible.

21. — Deux parallèles AB et CD (fig. 14) sont partout également distante*. En d'autres termes, si

Fig, 14.

des points C et D, pris où l'on voudra sur l'une d'elles, on abaisse sur l'autre les perpendiculaires CA et DB, ces perpendiculaires seront égales. Pour le démontrer, élevons par le milieu I de AB la perpendiculaire IH, et faisons tourner la figure IBDH autour de IH pour la rabattre sur IACH. Les angles étant droits, IB prendra la direction de IA; et puisque I est le milieu de AB, le point B tombera en A. Les angles en B et en A étant droits, BD prendra la direction de AC, et le point D tombera quelque part sur AC. Or, les angles en H étant droits, HD prendra la direction de HG, et le point D tombera quelque part sur HC. Devant tomber à la fois sur AC et sur HC, le point D tombera au point C; BD et AC coïncideront, donc ces droites sont égales.

22. — Deux droites parallèles à une troisième so?it parallèles entre elles. Car si l'on mène une perpendiculaire à la troisième, elle sera perpendiculaire aux deux premières; ces dernières étant ainsi perpendiculaires aune même droite sont parallèles entre elles.

23. — Deux droites AR et CD (fig. 15) sont parallèles si, étant coupées par une sécante EFGH, elles forment avec cette sécante des angles intérieurs AFG, CGF supplémentaires. En effet : les angles BFG et CGF étant tous deux le supplément de AFG, sont é^aux entre eux. De même, les angles EGD, AFG étant tous deux le supplément de CGF, >ont égaux entre eux. Il en résulte que les branches FB et GD sont placées par rapport à EH, d'un côté de cette droite, de la même manière que les branches GC et FA sont placées de l'autre. Si, par conséquent, ces deux branches se rencontraient, les deux autres se rencontreraient aussi;

LIGNES

et les deux droites distinctes AB et CD auraient

communs, ce qui est impossible. Donc

pliant dès lors la figure le long de cette perpendiculaire, on fera coïncider les extrémités des cordes, et par suite les arcs interceptés entre les parallèles; donc ces arcs sont égaux.

Le théorème subsiste lorsque l'une des parai lèlcs est tangente; car la perpendiculaire abaissi le du centre sur la corde passe alors par le point de contact, et, en pliant encore la figure le long de cette perpendiculaire, on fait encore coïncider les deux arcs.

28. — On appelle angle inscrit un angle dont le sommet est sur la circonlércnee et dont les côtés sont dos cordes.

Tout ain/te inscrit a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés. Supposons d'abord (|ue le centre 0 du cercle soit situé sur l'un des

ces droites ne se rencontrent pas, et sont par cou séquent parallèles.

Réciproquement. Si deux parallèles AB et CD sont coupées par une sécante EFGH, tes angles intérieurs AFG et CGF sont supplémentaires. Car, si cela n'était pas, on pourrait toujours, au point F, faire avec FG un angle égal au supplément dr CGF, et la droite ainsi menée serait parallèle à CD, en vertu du théorème direct. On pourrait donc, par un même point F, mener deux parallèles à une même droite CD, ce qui est impossible.

24. — Remarques. F. Les quatre angles en F et les quatre angles en G forment deux groupes qui se correspondent; et l'on nomme correspondants les angles qui, dans ces deux groupes occupent des positions analogues. Tels sont les angles AFE et CGF, ou AFG et CGH ; tels sont encore les angles EFB et FGD, ou BFG et DGH.

On appelle angles alternes-internes ceux qui sont situés intérieurement aux parallèles, de part et d'autre de la sécante; tels sont AFG et FGD, ou bien BFG et CGF.

II. Si les angles intérieurs AFG et CGF sont supplémentaires, les angles alternes-internes AFG et FGD sont égaux comme étant tous deux le supplément de CGF. Et les angles correspondants AEG et CGH sont égaux entre eux comme étant tous deux égaux à FGD.

Réciproquement, si les angles alternes-internes sont égaux, ou si les angles correspondants sont égaux, les angles intérieurs sont supplémentaires.

III. Il résulte de ces remarques et des théorèmes ci-dessus que : .° St deux parallèles sont coupées oar une sécante ■, les angles inté leurs sont supplémentaires, les angles alternes-internes -ont égaux les aîiyles correspondants sont égaux; ï" St l'uni, de ces relations '/angles a lieu, les droites coupées par lu sécante sont parallèles.

25. — Deux angles qui onl leurs côtés parallèles chacun à chacun et Couverture dirigée dans le même sens, sont égaux. Car si l'on prolonge l'un des côtés du premier jusqu'à sa rencontre avec le cô.é du second qui ne lui est pas parallèle, on forme un troisième angle qui est égal comme correspondant à chacun des angles donnés.

Si les angles avaient l'ouverture tournée dans un sens différent, ils seraient supplémentaires.

26. — lieux angles qui ont leurs côtés perpendù culuires chacun à chacun sont égaux ou supp émntaircs. Car si l'on fait tourner l'un d'eux à DU" amour de son sommet, ses côtés deviendront parallèles à ceux du second angle.

2 i . — Deux parallèles interceptent sur une circonférence des ai-' s égaux Si, en effet, on abaisse du centre une perpendiculaire sur les deux cordes, elle les divisera chacune en deux parties égales, et le point où elle rencontrera la circonférence scia le milieu commun des arcs sous-tendus. En

côtés de l'angle. Soit ABC cet angle. Menons le diamètre DE parallèle à. AB; l'angle DOC sera égal à ABC puisqu'ils sont correspondants. L'angle au centre COD a pour mesure l'arc CD. Or CD = BE comme interceptés par des angles égaux, COD et BOE, et BE = AD comme arcs interceptés par des parallèles. Donc CD = AD ; c'est-à-dire que CD, qui est la mesure de l'angle ABC, est la moitié de l'arc AC intercepté entre les côtés de l'angle inscrit.

Si le centre tombe dans l'intérieur de l'angle proposé, on mène par son sommet un diamètre qui le divise en deux angles partiels rentrant dans le cas précédent. Chacun de ces angles partiels a pour mesure la moitié de l'arc qu'il intercepte ; l'angle total a donc pour mesure la somme de ces mesures, c'est-à-dire la moitié de l'arc compris entre les côtés de l'angle inscrit.

Si le centre tombe en dehors de l'angle, en menant un diamètre par son sommet, on forme deux angles inscrits rentrant dans le premier cas, et dont la différence est l'angle proposé ; on arrive encore de la sorte à la même conclusion.