LÏGN. PROPORTIONNELLES — H67 — LIGN. PROPORTIONNELLES

Ainsi la liauteur demandée cl est une 4e proportionnelle aux trois droites c, a, b.

Pour la trouver, on porte sur un côté OX d'un angle quelconque (,fig. b), et à partir du sommet 0,

Fig. 5.

une longueur OC = c, et à la suite une longueur CA = a: sur le deuxième côté OY une longueur OB == b. On tire la droite CB et par le point A on mène la droite AD parallèle à CB. La droite liD est la droite cherchée.

Observations. — 1° On pourrait aussi porter les deux longueurs c et a l'une sur l'autre à partir du sommet, par exemple, OC = c et OA = a; on achèverait la construction comme précédemment, mais alors la quatrième proportionnelle cherchée serait OD.

2° Si, au lieu d'un rectangle donné, on avait un carré dont le côté serait a, le problème reviendrait à chercher une quatrième proportionnelle aux droites c, a et a; c'est ce qu'on énonce ordinairement en disant : chercher une troisième proportionnelle à deux droites C et A.

Théorème III. — Quand les côtés d'un angle sont coupés par plusieurs droites parallèles entre elles, les parties interceptées sur l'un des côtrs sont proportionnelles aux parties interceptées sur l'autre.

En effet, tirons les parallèles A'A,B'B,CC'(fig. fi).

et supposons que OA' soit, par exemple, les - de

OA. D'après le théorème II (coroll. 2), A'B' sera

les - de AB et OB' les - de OB. Par suite dans le o '6

triangle OCC, B'C' sera les * de BC, etc Application. — Ce théorème fournit le moyen de diviser une droite en parties proportionnelles à des droites données. S >it, par exemple, à diviser une longueur o: en trois parties proportionnelles à tr is droitrs a, b c. On mène de l'extrémité 0 du la druiie donnée une droite «juelconque OY, sur laquelle on porte à partir du sommet O les longueurs consécutives OA' = a, A'B" = b, B'C = c; on joint C à C par une droite et on mène par-

les points A' et B' des droites parallèles à C'C. Elles divisent OC en parties proportionnelles aux droites OA', A'B', B'C, c'est-à-dire proportionnelles aux droites a, b, c.

Théorème IV. — Lorsqu'une droite joignant deux côtés i/'un triangle est parallèle au troisième, les trois côtés du triangle partiel ainsi formé sont proportionnels aux trois côtés homologues du premier triangle.

En effet, supposons AD égal aux - de AB (fig. 7);

AF sera les - de AC, et il reste à faire voir que

DIT est aussi les =• de BC.

Pour cela, on mène du point Fia droite FK parallèle à AB, et à cause du parallélogramme BL'FK la droite DF est égale à BK. Or FK, étant parallèle à AB, coupe les deux côtés CA et CB en parties proportionnnelles aces côtés, et comme AF est les

- de AC, la partie correspondante BK, et par conséquent la droite DF qui lui est égale, est aussi les - de BC. Le théorème est ainsi démontré.

Corollaire. — Lorsqu'une droite joignant deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté, ce côté et la parallèle sont coupés en parties proportionnelles par des droites quelconques menées du sommet à ce côté.

En effet, soit DF parallèle à BC (fig. 8), et AD égal aux- de AB. D'après ce qui vient d'être dé-

montré, DL sera les - de BH et AL les - de AH ;

g par suite, LI sera les- de HK, etc.

Application. — Ce théorème fournit un second moyen fort commode pour diviser une droite en parties égales tfig. 9).

Soit à diviser la droite l en 5 parties égales. Sur une droite indéfinie on porte cinq longueurs consécutives égales entre elles mais quelconques, ce qui donne la droite BC. Sur cette droite on construit un triangle équilatéral ABC; sur hs côtés AB et A', on prend les distances AM et AN égales à / et on tire la droite MN qui se trouve égale à /. On mène ensuite du sommet A des droites aux points de division de la base BC; ces droites divisent MN en cinq parties égales.