LOCUTIONS VICIEUSES

LOGARITHMES

Voltaire a écrit dans la Henriade :

Tantôt l'horreur du peuple et tantôt leur amour.

Leur se rapportant à peuple est au moins hardi. Lamartine, dans Jocelyn :

Voir de combien de palme avaient grandi leurs troncs.

Il est clair que palme devrait être au pluriel.

Chateaubriand, dans le Génie du Christianisme : Recevoir ceux qui entrent et ceux qui sortent de < e royaume de douleur. Entrer et sortir ne peuvent avoir le même complément.

Ces exemples suffiront pour montrer en quoi •onsiste le solécisme.

On peut encore, dans certains cas, considérer comme des fautes contre la langue le néologisme et l'archaïsme.

Néologisme. — Le néologisme est l'habitude d'employer des termes nouveaux, ou de donner aux mots reçus des significations différentes de celles qui sont en usage. Il se dit aussi d'un mot forgé ou transporté sans nécessité d'une langue dans une autre. Ainsi abêtissement, abracadabrant, activer, américanisme, baby, balnéaire, bock, bousculade, détective, enso'eillé. leader, maestria, etc , etc., sont des néologismes. Il faut, sinon fuir absolument l'emploi de ces mots que l'Académie n'a pas encore admis dans son dictionnaire, du moins n'en faire qu'un usage très modéré. Ainsi les inventions nouvelles exigent des noms nouveaux; on trouve un instrument, qui porte au loin la voix, et on le baptise d'un nom formé de deux mots grecs, téléphone {télé, loin, plioyiê, voix) ; de même pour phonographe, instrument qui écrit la voix (phonê, voix ; graphe, j'écris) ; c'est fort bien. Mais voici un autre instrument qui sert à grossir la voix, à la rendre plus éclante ; on le nomme microphone, c'est-à-dire petite voix (de mikros, petit, et phonê, voix) : c'est un non-sens. Bien plus, un cornet acoustique a reçu le nom d'audiphone, terme hybride formé du latin audire entendre, et du grec phonê (voix) ! Ce n'est pas tout; on semble dédaigner sa propre langue pour parler anglais ou italien en français. Pourquoi square, wagon, ballast, reporter, gentleman, cicérone, etc., ont-ils remplacé carré, voilure, subie, nouvelliste, gentilhomme, guide, etc. ? En général, on ne devrait avoir recours à un néologisme que pour enrichir la langue d'un terme qui lui manque; en second lieu, il faudrait se conformer dans la formation des mots nouveaux au génie, aux formes propres de la langue.

Archaïsme. — Ce mot vient du grec archdïsn-os dérivé à'aechaïos qui veut dire ancien ; c'est l'emploi d'expressions surannées, de mots ou de tours vieillis appartenant à la langue du moyen âge. l'ieça mis pour depuis longtemps, eejour/Fhui pour aujourd'hui, moult pour beaucoup), sont des archaïsmes.

Ce nom, dans un sens plus général, s'applique encore au style des écrivains qui veulent imiter le langage de nos anciens auteurs, soit en faisant revivre quelques termes oubliés, soit en s'ef- Ibrçant de revêtir leur pensée d'expressions et d.' t >urs familiers à nos pères. Sans remonter ici jusqu'aux Latins, chez lesquels Lucrèce, Salluste, etc., ont affectionné certaines formes archaïques, nous pouvons citer chez nous La Fontaine, J.-B. Rousseau, Paul-Louis Courier, de Barante, Balzac, etc., qui ont écrit des ouvrages de longue haleine dans une langue archaïque de convention. C'est que cette langue naïve, et hardie dans sa naïveté, semble donner à nos idées modernes, avec une couleur plus piquante et plus vive, une allure plus pittoresque et un tour plus original. C'est une sorte de renouveau du langage, toute une flore encore vivante et parfumée dont la grâce toujours jeune séduit bien des gens.

Parmi les auteurs qui sont entre les mains des élèves, La Fontaine surtout abonde en archaïsmes qui semblent naturels dans sa langue pleine d'une fine bonhomie. Les formes archaïques sont aussi très nombreuses dans les dialectes provinciaux, dans les patois qui ne sont autre chose que du vieux français, et nos instituteurs peuvent relever et corriger bien des archaïsmes dans le langage de leurs élèves. Enfin les notaires, les juges, les avocats, etc., ont conservé un langage spécial, des formules de jurisprudence qui n'ont guère varié depuis leur origine et qui nous ont valu les bizarreries de syntaxe et d'orthographe des lettresroyaux, des ayants-droit, etc. Dans notre grammaire actuelle, quelques archaïsmes sont restés et resteront sans doute encore longtemps, grâce à la force de l'habitude : tels sont grand dans grand route, grand chose : la forme féminine eresse, dans pécheresse, devineresse, etc. ; le pluriel de vingt dans quatre-vingts, etc., débris de la vieille langue disparue, aujourd'hui ranges parmi les exceptions et les anomalies de la syntaxe, mais qui rentraient autrefois dans la règle générale. Ils servent du moins à nous faire comprendre par quelle dérivation régulière et par quelle marche progressive et naturelle notre langue est sortie delà langue latine. [i. Dussouchet.]

LOGARITHMES. — Arithmétique, LUI, LIV.

— Etym. : des deux mots grecs logos, rapport, et arithmos, nombre. — La connaissance des logarithmes ne remonte pas à une époque bien reculée. Dans le cours du xvie siècle, quelques mathématiciens avaient déjà cherché des procédés abréviatifs de calcul ; ce fut au commencement du xvne siècle que, par l'étude des propriétés des progressions, l'Écossais John Xeper ou Napier découvrit la théorie des logarithmes, et donna ainsi aux savants le moyen d'effectuer rapidement les plus laborieux calculs. Cette théorie est susceptible d'être exposée avec assez de simplicité pour qu'elle entre naturellement dans le cadre de l'enseignement primaire supérieur. C'est le caractère que nous tâcherons de lui donner ici.

I. — Définition des progressions. — On appelle progression par différence une suite de nombres lels que chacun esl égal au précédent augmenté d'une quantité constante. Par exemple en ajoutant 2 à I, ce qui donne 3, puis 2 à 3, ce qui donne 5, etc., on obtient la progression:

Le nombre constant qu'il faut ajouter à chaque terme pour avoir le suivant est appelé raison do la progression. Cette raison peut être une fraction aussi bien qu'un nombre entier.

On appelle progression par quotient une suite de nombres tels que chacun est égal au précédent multiplié par un nombre constant. Par exemple, en multipliant 3 par 2, ce qui donne 6, puis G par 2, ce qui donne 12, etc., on obtient la progression :

Le nombre constant par lequel on multiplie chaque terme, pour avoir le suivant, est appelé raisoyi de la progression. Il peut être entier ou fractionnaire.

II. — Propriétés qui ont donné naissance alx logarithmes. — 1° Lorsqu'une progression par différence a 0 pour premier terme, le second est luimême la raison et tous les autres termes sont les multiples successifs de la raison.

Pour mettre plus de simplicité dans nos explications, représentons la raison par rf (lettre initiale de différence) ; nous aurons la progression :

-=- 0. d. 2d. 3rf. 4rf. b'î. 6<i

Si dans cette progression on additionne entre

LOGARITHME S

LOGARITHMES

eus deux ou plusieurs terme», par exemple le troisième 2 d et le cinquième i d, la somme G d est elle-même un multiple de la raison, et par conséquent elle est un des termes suivants de la progression : c'est le septième.

2° Lorsqu'une progression par quotient a 1 pour premier terme, le second est lui-môme la raison, et tous les autres sont les puissances successives delà raison.

Représentons la raison par q (initiale du mot quotient) ; nous aurons la progression :

-h- 1 : q : g2 : q3 : qk: q% '• 96 :

Si dans cette progression on multiplie entre eux deux ou plusieurs termes, par exemple le troisième q* et le cinquième q*, le produit 7" est une puissance de la raison ; par conséquent il est un des termes suivants de la progression : c'est le septième.

3" La somme de deux ou plusieurs termes de la progression par différence et le produit des termes qui leur correspondent dans la progression par quotient se correspondent aussi dans les deux progressions.

C'est ce qu'on voit clairement en mettant les deux progressions en regard :

En 1 ll"i le dividende étant le produit du diviseur multiplié par le quotient, son logarithme est la somme des logarithmes du diviseur et du quotieM , par conséquent on aura le logarithme du quotient en retranchant le logarithme du diviseur do celui du dividende. C'est ce qu'on peut présenter ainsi: soit p le produit de a par //, on aura d'après le principe précédent :

^v 1 : q : qi : q3 : q'* : q* : q6 ■ * 0. d. 2d. 3tf. \d. bd. Qd.

log. p = log. a -f- log. 6

La somme du troisième terme 2d et du cinquième ternie Ctf, dans la progression par différence, est le terme tid, qui occupe le septième rang. Le produit du troisième terme q1 par le cinquième terme qk, dans la progression par quotient, est q6, qui occupe aussi le septième rang.

De cette propriété découle une conséquence importante. Supposons que les termes des deux progressions, au lieu d'être représentés par des lettres, soient des nombres, et qu'on ait besoin de connaître le produit du troisième terme multiplié par le cinquième terme dans la progression par quotient, il ne sera point nécessaire d'effectuer leur multiplication; il suffira d'additionner entre eux le troisième terme et le cinquième terme de la progression par différence, et de chercher la somme parmi les termes suivants : le terme qui, dans la progression par quotient, correspond à cette somme dans la progression par différence, est le produit cherché. En raison de cette correspondance remarquable entre les termes des deux progressions, les termes de la progression par différence ont été appelés logarithmes des termes de la progression par quotient.

On peut donc donner cette définition: le* logarithmes des nombres sont les termes d'u?ie progression par différence commençant par 0 et co-respondant à ces nombres considérés comme termes d'une progression par quotient commençant par 1.

III. — Règles poor le calcul logahithmique. — 1» Le logarithme du produit de deux ou de plusieurs fac'eurs est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

C'est la propriété fondamentale que nous venons de faire remarquer sur les deux progressions (1) et (2). En effet le troisième terme ~ld et le quatrième terme '-''d de la progression par différence sont les logarithmes du troisième terme q* et du quatrième 7' do la progression par quotient, et la somme des deux premiers, bd, est le logarithme du terme q5, qui est le produit des deux autres. Soit donc p le produit des trois facteurs a, b, c; on aura :

log. p = log. a + log. b -f- log. c

2° Le logarithme du quotient de deux nombres

est égal au logarithme du dividende diminue du logarithme du diviseur.

On en tire :

log. 6 = log p — log. a

Nota. — On verra plus loin comment se fait la soustraction quand le logarithme du diviseur surpasse le logarithme du dividende.

3° On obtient le logarithme d'une puissance d'un nombre en multipliant le logarithme de ce nombre par le degré de la jmisance.

Cette règle n'est autre que la première, dans le cas où les facteurs du produit sont égaux. En effet on a par exemple :

D'après la première règle on aura :

log. a3 = log. a -f- log. a -\- log. a ou :

log. ris e= 3 log. a

Aussi pour trouver le logarithme du carré d'un nombre, on multiplie le logarithme de ce nombre par 2; pour avoir le logarithme de son cube, on multipliera son logarithme par 3, etc.

4° On obtient le logarithme d'une racine d'un nombre en divisant le logarithme de ce nombre par le degré de la racine.

En effet on a d'après la règle précédente :

log. g2 = 2 log. a log. 6»=» log. b

Or dans ces égalités a est la racine carrée de a"1 3t b est la racine cubique de i3 ; on en tire :

lOg.ft:

loir, ai

log. 6 =

leg. b*

IV. — Divers systèmes de logarithmes. — A une même progression par quotient commençant par 1, peuvent correspondre diverses progressions par différence commençant par zéro. Soit une progression par quotient ayant 2 pour raison, et deux progressions par différence ayant pour raison l'une

0, 1 et l'autre

Les termes 0,1 et - seront tous deux loganth-

mes du nombre 2 ; les termes 0,2 et - seront les

logarithmes du nombre 4, etc. Il y a donc une infinité de systèmes de logarithmes.

On appelle base d'un système de logarithmes le nombre qui dans ce système a pour logarithme l'unité. Ainsi dans Je système fourni par la progression (5) la base serait 0. Dans tous les systèmes le logarithme de 1 est 0.

V. — Logarithmes \ulgaii\es. — On désigne par ce nom les logarithmes dont l'usage est général. Ce

LOGARITHMES

LOGARITHMES

sont ceux qui se trouvent dans les livres intitulés : Tables de logarithmes.

Le système des logarithmes vulgaires est fondé sur les deux progressions suivantes :

Elles montrent que le logarithme de 10 est 1 ; nue le logarithme de 100 est 2,; que celui de 1000 est 3 ; celui de 10000 est 4, etc. La base est donc 10.

Mais comment a-t-on pu calculer les logarithmes

des autres nombres entiers 2, 3, 4 ,11, 12, 13, etc.?

C'est ce que nous devons essayer de faire comprendre.

Pour cela, imaginons qu'on insère un même nombre de moyens proportionnels, 15 par exemple, entre 1 et 10, entre 10 et 100, etc., dans la progression par quotient, et, autant de moyens différentiels entre 0 et 1, entre 1 et 2, etc., dans la progression par différence (V. Progressions). Ces moyens placés entre les termes des deux progressions précédentes formeront avec eux deux nouvelles progressions. La progression par différence

aura pour raison — la progression par quotient

aura pour raison la racine seizième de 10.

On peut obtenir la racine seizième de 10, en extrayant d'abord la racine carrée de 10; puis la racine carrée de cette racine carrée, ce qui donne la racine quatrième ; puis la racine carrée de la racine quatrième, ce qui donne la racine huitième, et enfin la racine carrée de la racine huitième, ce qui donne la racine seizième. Cette racineseizième de 10 est incommensurable ; elle a pour valeur approchée 1,154-78: représentons-la par k.

Nous avons alors les deux progressions :

: 'o'Tô'io

Les nombres entiers 2, 3, 4, 5, etc., ne se trouvent pas dans la progression (8), puisque les termes qui ont été insérés sont incommensurables ; mais le nombre entier 2, par exemple, sera compris entre deux termes consécutifs. On trouverait qu'il est entre A* et /c5. Le logarithme de 2 sera donc

compris lui-même entre — , qui est le logarithme

de k'*, et — qui est le logarithme de A5, c'est-à-dire

entre 0,25 et 0,3125. Par conséquent, en prenant 0,25 pour le logarithme de 2, on aurait un logarithme trop faible, mais affecté d'une erreur moindre que — ., et à plus forte raison moindre que 0,1.

C'est de la même manière qu'on pourrait déterminer les valeurs approchées des logarithmes des autres nombres entiers.

11 est évident qu'avec une approximation aussi faible, les logarithmes ne rendraient pas de bien grands services ; mais l'approximation sera d'autant plus grande que le nombre des moyens insérés sera plus considérable. Ce qui précède doit suffire pour donner une idée de la construction des tables de logarithmes avec 5 décimales, ou même avec 7 décimales.

VI. — Caractéristique d'un logarithme. — Les deux progressions (6) et (7) montrent que les logarithmes des nombres entiers depuis 1 jusqu'à 10 exclusivement s'étendent depuis 0 jusqu'à 1; que les logarithmes des nombres entiers depuis 10 jusqu'à 100 s'étendent depuis 1 jusqu'à 2 ; que ceux des nombres entiers depuis 100 jusqu'à 1000 s'étendent depuis 2 jusqu'à 3, etc. Ainsi pour les nombres entiers d'un chiffre, les logarithmes ont

tous 0 à leur partie entière ; pour les nombres entiers de 2 chiffres, les logarithmes ont tous 1 à leur partie entière ; pour les nombres entiers de 3 chiffres, les logarithmes ont tous 2 à leur partie entière. En d'autres termes, il y a autant d'unités ù la partie entière du logarithme d'un nombre entier gu'H contient de chiffres moins un.

Cette partie entière du logarithme, que l'on reconnaît à l'inspection du. nombre, se nomme caractéristique. On doit toujours l'écrire avant de chercher la partie décimale dans les tables, comme on va l'expliquer dans ce qui suit.

VIL — Logarithmes des nombres entiers terminés par des zéros. — Soit le nombre 630 ; comme il est égal à 63 X 10, son logarithme sera égal au logarithme de 63 plus le logarithme de 10 qui est 1. Or on trouve dans les tables :

log. 63 = 1,79934.

En ajoutant 1 à ce logarithme, on aura :

log. 030 = 2,79034.

Le logarithme de 100 étant 2, on aurait de môme :

log. 6300 = 3,79934.

De ce qui précède résulte la règle suivante : pour avoir l" logarithme d'un nombre entier terminé par des zéros, on écrit d'abord sa caractéristique conformément à la règle précédente ; puis on lui domie pour sa partie décimale la partie décimale qu'o i trouve ilans la table, pour le nombre entier considéré ■■ans- ses zéros.

Observation. — Quelques auteurs désignent la partie décimale d'un logarithme par le nom de ma?itisse emprunté aux Allemands. Il ne serait pas moins utile de trouver quelque dénomination moins longue que le mot caractéristique pour la partie entière du logarithme. Pourquoi ne diraiton pas, faute de mieux, Y entier (le nombre entier)?

VIII. — Logarithmes des nombres décimaux. — 1° Le nombre est plus grand que 1. — Soit 153,6. Ce nombre étant le quotient de 1536 divisé par 10, son logarithme sera égal au logarithme de 1536 diminué du logarithme de 10, qui est 1.

Or le logarithme de 1536 est 3,18639; on aura donc :

log. 153,6=3,18639 — 1 ou:

log. 153,6 =2,18639

Soit encore le nombre 1,536. Le nombre étant le quotient de 1536 divisé par 10n0, on trouvera son logarithme en étant» au logarithme de 1536 le logarithme de 1000, qui est 3. On aura donc:

log. 1,536 = 0,18630

Ainsi quand un nombre décimal est plus grand que 1, la caractéristique de son logarithme est la même que celle de la partie entière du nombre, et pour avoir la partie décimale, on prend duns la table le logarithme du nombre comme si ce nombre était un nombre entier.

2° Le nombre décimal est plus petit que 1. — Si on divise par 10 le nombre décimal 1,536, on a 0,1536; le logarithme de 0,1536 sera par conséquent égal au logarithme de 1,536 diminué de 1. On aura donc

log. 0,1536 = 0,18639— 1.

Ne pouvant pas soustraire 1 du nombre plus faible 0,18639, on se borne à indiquer la soustraction ; seulement comme il n'y a que zéro à la partie entière, on y place le nombre entier soustractif, en ayant soin de mettre le signe de la soustraction au-dessus de lui, de la manière suivante :

LOGARITHMES

log. 0,1536 = 7,1868».

LOGAIUTII.MKS

Divisons encore 0,1536 par 10, ce qui donne i>,01530; on obtiendra de môme le logarithme de 0,015 i(i, en retranchant 1 au logarithme de 0,1536 ; on aura ainsi :

log. 0,01536 = 2,18639.

Ainsi quand un nombre décimal est inférieur à l, la caractéristique de son loaarit'<me est négative, ; et le nombre d'unités dont elle se compose est marqué par le rang qu'occupe à droite de la virgule le premier chiffre significatif du nombre décimal; la parti' décimale du logarithme est la même que si le nombre décimal était un nombre entier.

Ce qui précède est résumé dans la règle suivante :

Pour avoir le logarithme d'un nombre décimal, on le cherche dans la table comme si le nombre n'avait pas de virgule ; quant à la caractéristique, on lui donne autant d'unités qu'il y a de chiffres moins un à la partie entière du nombre décimal quand il est plus grand que 1 ; s'il est plus petit que 1, on donne à la caractéristique un nomlire d'unités négatives marqué par le rang qu'occupe : le 1er chiffre significatif du nombre décimal à droite de la virgule.

IX. — Logarithme d'usé fraction ordinaire. — ' Une fraction ordinaire n'étant que le qui tient de la division du numérateur par le dénominateur, on obtiendra le logarithme de cette frac ion, en retranchant du logarithme du numérateur le logarithme du dénominateur.

Cette opération ne présente rien de particulier quand le dénominateur est plus petit que le numérateur; mais elle exige quelques explications dans le cas contraire.

Soit par exemple à chercher le logarithme de —

En appliquant la règle, on aura :

\. — S«D8TRACTION DES LOGAJUTHMES \ CARAC- TÉRISTIQUE négative. — Si l'on voulait obtenir le

logarithme de sans transformer les deux

0,024 nombres en nombres entiers, on devrait de :

retrancher

log. 0,0017 — V230i5 log. 0,024 = 2,»802i.

17 i log. jT^lc-ï

17— log. 24.

Or les tables donnent :

log. 17 = 1,23045 log. 24=1,38021.

11 s'agit donc ici de retrancher le plus grand logarithme du plus petit. Voici comment on opère:

On ajoute à la caractéristique du plus petit logarithme le nombre d'unités suffisant pour rendre ce logarithme supérieur à l'autre, et on effectue a/ors la soustraction. Puis on dimmue le reste d'autant d unités qu'on en avad ajouté au premù r logarithme, ce qui revient à d-.myier ce nombre d'unités pour caractéristique au reste, ave: le signe — au dessus.

Dans l'exemple ci-dessus, on augmentera de 1 le logarithme de 17; du nombre ainsi obtenu on retranche 1 ,3802 1 , ce qui donne pour reste 0,85024 ; puis diminuant ce reste de l,on aura

log- «7,85024.

Cette règle sera toujours applicable, même dans le cas d'une division de nombres décimaux ; mais pour plus de facilité, on aura soin de multiplier d'abord le dividende et le diviseur par 10, 100, in i0, etc., pour les convenir tous deux en nom bres entiers. Par exemple, si l'on avait à trouver

le logarithme de A j-ot , on chercherait le loga-

On effectue d'abord la soustraction sur la partie décimale; puis, comme on a augmenté de 10 dixièmes le chiffre 2 des dixièmes du premier logarithme, on augmente de 1 le chiffre 2 de la colonne suivante dans le deuxième, conformément à Ki règle ordinaire, ce qui donne 2 -f- I ou 1 à retrancher de lï.

Or pour soustraire d'un nombre quelconque un nombre négatif, il faut ajouter au premier le nombre négatif pris comme nombre positif, c'està-dire débarrassé du signe — . On retranchera donc 1 de lî en ajoutant 1 à 3, ce qui donne pour reste 2~ (V. Algèbre, règle de la soustraction). On trouvera ainsi :

XI. — Division d'un logarithme a caractéristique négative. — Il arrive souvent qu'on a à diviser par un nombre entier un logarithme dont la caractéristique est négative. Si cette caractéristique est divisible par le nombre entier, ce qui a lieu, par exemple, dans la division de 7,8 024 par 2, il n'y a aucune difficulté; car on a alors 7,42512.

Il n'en serait pas de même, si l'on avait à diviser ce logarithme par 3. Dans ce cas, la caractérisa. que négative 2 n'étant pas divisible par 3, il faut remplacer "ï par 3~, ce qui diminue le logarithme de 1 ; mais par compensation on ajnute une unité devant la partie décimale positive. On remplace ainsi

2,85024 par 3-f 1,850'M.

En effectuant ensuite la division par 3 sur la partie négative et sur la partie positive, on trouve :

Observatio7i. — Dans la division d'un logarithme on conserve au quotient le môme nombre de chiffres décimaux que dans le logarithme ; mais on doit toujours augmenter de 1 le dernier chiffre conserve, lorsque le chiffre suivant que fournirait la division est 5 ou plus grand que 5. D'après cette règle, on aura :

ritlnnc de

XII. — Disposition des tables de logarithmes. — Il y a des tables qui contiennent avec 7 décimales les logarithmes de tous les noinbes depuis 1 jusqu'à 108 000; d'autres tables conti. nnmt seulement avec 5 décimales les logarithmes des nombres depuis I jusqu'à ÎOOOO. Ces dernières sont bien suffisantes; c'est de celles-là que nous allons expliquer l'usage. Les deux principales sont celles de Houel, qui ont le format in-8, et celles de Dupuis qui ont le format in- 1 S. Dans les unes et les autres, on a bien fait d'omettre les caractéristiques qui étaient dans les anciennes tables.

Les tables de Houël renferment les nombres

LOGARITHMES

LOGARITHMES

depuis I jusqu'à 10 0CO dans dos colonnes consécutives surmontées de la lettre N, et vis-à-vis les logarithmes dans les colonnes indiquées par l'abréviation Log. placée en tète. La troisième colonne, surmontée de la lettre D, renferme les différences qu'il y a entre les deux logarithmes consécutifs placés à gauche.

Les tables de Dupuis ont reçu une disposition un peu différente, qui est celle des grandes tables à 7 décimales. La première colonne à gauche, marquée N. dans chaque page, ne présente que les nombres de trois chiffres ; mais le quatrième se trouve en gros caractères dans la première ligne horizontale placée soit au haut de la page, soit au bas. Les deux premiers chiffres du logarithme sont les deux chiffres isolés de la colonne O en allant de haut en bas ; les trois derniers sont sur la ligne horizontale du nombre et dans la colonne qui correspond au quatrième chiffre placé en tète. Par exemple, pour avoir le logarithme de 7623, on cherche 752 dans la première colonne. Les deux premiers chiffres du logarithme sont 87 ; les trois autres sont 639 sur la ligne horizontale de 752 et dans la colonne verticale portant en tête le chiffre 3. Mais quand les irois derniers chiffres du logarithme sont marqués d'une étoile, il faut prendre pour les deux premiers, dans la colonne 0, non pas les deux chiffres isolés qui sont au-dessus de la ligne horizontale du nombre, mais les deux qui sont au-dessous. Par exemple le logarithme de «761 sera 3,83001.

XIII. — Trouver le logarithme d'un nombt.e donne. — Ie Si c'est un nombre entier n'ayant pas plus de quatre chiffres, la mantisse de son logarithme se trouve dans la table, comme on vient de l'expliquer.

Si c'est un nombre entier, terminé par un ou plusieurs zéros, ou un nombre décimal, ou cherche la mantisse du logarithme sans considérer les zéros du nombre entier ou la virgule du nombre décimal ; il ne reste plus qu'à donner au logarithme la caractéristique, conformément à la règle indiquée plus haut.

On trouve par exemple :

log. 1519 = 3,18150 log. 15P»00 = 5,181ô6 log. 0,1519 = 7,18156.

2° Si le nombre, sans compter les zéros qui peuvent être à sa droite quand il est nombre entier, ou sur sa gauche quand il est nombre décimal, a plus de quatre chiffres, on opère de la manière suivante.

Soit par exemple le nombre 34,5867. D'abord la caractéristique du logarithme sera 1. Pour avoir la mantisse, on déplace la virgule dans le nombre de manière à ce qu'il reste 4 chiffres à sa gauche, ce qui donne 3458,67 ; la mantisse cherchée sera la même que celle du logarithme du nombre 3458,67.

On prend dans la table le logarithme de la partie entière du nombre, et on a ainsi, sans écrire d'abord la caractéristique :

log. 3458 = 53882

Or la différence entre les logarithmes de 3458 et de 3459 est 13; cette différence est marquée dans les tables de Ilouël; on la calcule à vue d'œil dans celles de Dupais. Pour connaître la quantité à ajouter à 53882 afin d'avoir le logarithme de 3458,67, on fait le raisonnement suivant:

Si le nombre 345s augmentait de \, son logarithme augmenterait de 13 (unités du 5e ordre décimal;.

Lorsque le nombre augmente de 0,67, son logarithme doit augmenter des 07 centièmes de 13, c'est-à-dire de 8,76.

On ne prend que la partie entière, 8, de ce résultai; mais comme la partie décimale qui suit est plus forte que 0,5, on doit augmenter 8 de 1, ce qui donne 9.

La mantisse du logarithme de 3458,67 est donc:

et par suite on a :

log. 345S67 = 5,53891

On peut donner à ce petit calcul la disposition suivante :

log. 3458 53882

pour 0,67 ,s,:i

log. 34,5861 =1,53891...

Le produit de la différence 13 par 0,67 est inscrit dans les tables, en dehors du cadre sur la marge, dans les tables de Dupuis, et dans la colonne à droite indiquée par P. pr. (parties proportionnelles) des tables de Houël. Au-dessous de la différence 13 est une double colonne; les nombres 1, 2, :«,... 9 qui sont à gauche sont les dixièmes de l'unité; ceux qui sont vis-à-vis, à droite, sont les dixièmes de la différence 13. On trouve ainsi:

Pour 0,6 Pour 0,07

Pour 0,67

8,9 8,71 ou 9

Remarque. — La proportionnalité admise dans ce calcul entre l'accroissement des nombres et l'accroissement de leurs logarithmes n'est pas rigoureusement vraie ; mais l'erreur qui en résulte ici est assez faible pour qu'elle puisse être négligée.

XIV. — Trouver le nombre correspondant a un logarithme lonné. — 1" On cherche la mantisse dans la table, sans faire attention à la caractéristique ; si elle s'y trouve, on prend le nombre qui lui correspond dans la colonne N. On donne ensuite à sa partie entière autant de chiffres plus un qu'il y a d'unités dans la caractéristique, quand celle-ci est positive. Quand elle est négative, elle indique le rang que doit occuper à partir de la virgule le l*r chiffre significatif du nombre. On trouve ainsi :

Log.

Nombres.

2° Soit à chercher le nombre qui a pour logarithme l,21-.6j. La mantisse ne se trouvant pas dans la table, on prend celle qui en approche le plus sans la dépasser : c'est 2 1352, et le nombre correspondant est 1635. Le nombre cherché est donc compris entre 1635 et 1636, dont les logarithmes ont entre eux une différence égale à 26. La ditfcrence entre le logarithme donné 2l3i0 et le logarithme 2 1352 est 8. Pour trouver l'augmentation à donner au nombre 1635, on répète le raisonnement déjà fait dans la question précédente :

Si le logarithme 21352 augmentait de 26, le nombre correspondant 1 635 augmenterait de 1.

Lorsque le logarithme augmente seulement de 8, c'est-à-dire de 8 fois la 26e partie de 26, le nombre doit augmenter de 8 fois la ~6e partie de

g 1, ou de — :,ce qui fait 0,3. On ajoute donc 0,3au

nombre 1615; puis la caractéristique du logarithme donné étant 1, le nombre cherché doit

LOGAIUTIIMKS

LOGAIUTIIMKS

avoir 2 chiffras à sa partie entière. On trouve ainsi 16,353 pour le nombre demandé.

Si le logarithme était 1,21360, le nombre correspondant serait 0,1<!353.

L'augmenUtion ;\ faire an nombre pris dans la table se trouve toute calculée dans les petites colonnes placées au-dessons de la différence sur la marge dans les tables de Dupuis, ou dans la colonne P. pr. des tables de Houël. On cherche à droite du filet vertical, sous la différence "26,1e nombre qui approche le plus de la différence 8 : c'est 7,8 dans les premières et 8 dans les autres. Le chiffre 3 qui correspond à gauche est le nombre de dixièmes à ajouter au nombre entier 1635.

Observation. — On doit avoir soin de chercher toujours le logarithme donné dans la partie de la table contenant les nombres supérieurs à lui'O, ce qui donne d'abord l'avantage d'obtenir immédiatement les quatre premiers chiffres du nombre. 11 y a une autre raison, c'est que la proportionnalité admise entre les accroissements du logarithme et du nombre correspondant ne donnerait qu'un résultat inexact, si on opérait sur les logarithmes des nombres inférieurs à 1000.

XV. — Nous terminerons cet article en appliquant les logarithmes à la résolution de quelques problèmes.

Problème 1. — Calculer la surface d'un hexagone régulier dont le côté a 38 centimètres.

Si on désigne le côté de l'hexagone par a, sa surface S est exprimée par la formule :

On a donc

3X38SXV3

s = i,5x382xv/3

log. S= log. 1,5 + 2 log. 38 + - log. 3

log, 38=1,57378 I02. 3 — 0,47 712

21og. 38 = ;*, 15056

ilog. 3 = 0,23856

log. 1,5 = 0,1 7600

log. S = -5,574-21

L'hexagone a 37 déchu, carrés 51 centim. carrés.

Problème 2. — Calculer la surface S d'une sphère ayant un volume de 154 centimètres eûtes «67 millimètres cube».

Si l'on prend le centimètre pour unité, et qu'on pose V= 154,867, on trouve :

log. S =

2 lOg V fin- .36 + log. w