LOS V

21og V - 4,3. 992 log. 36 1,5 030

ln^. - =n, d;!,-,

2 log. S = 6,43.»37 log. s — 2,1 1 li ;

La surface de la sphère a 1 décini. carré 39 centim. carrés 46 millim. carrés.

Problème 3. — Une ville emprunte 185 000 /r., qu'elle doit rembourser en 12 paiement» annuel»

i-gaUX, dont le Ier aura lieu un an après l'emprunt. Le taux de l'intéréi étant de 4, 50 0/„, calculer la somme à payer chaque année.

(Brevet facult. Aspirants. — Aisne ; 1878). Si on désigne par x l'annuité demandée, on trouve :

185000 xJ .045''- X 0.045 X~ t,046»«— ]

Les logarithmes à 5 décimales étant approchés à moins d'un demi-cent-millième, lorsqu'on doit, comme dans cet exemple, multiplier un logarithme par 12, l'erreur du produit se trouve seulement moindre que 6 cent-millièmes et n'a pas ainsi un degré d'approximation suffisant pour donner le résultat avec l'exactitude nécessaire. Dans ce cas il convient d'employer les logarithmes à 7 décimales. C'est pour en donner un exemple que nous avons choisi ce problème.

Calcul de 1,045'-.

log. 1,045»* s= 12 log. 1,045

log. 1,045 = 0,0101163

12 log. 1,045 = 0,2238956

Calcul de x.

. \ log. 185000 + log. 1,045'* + log. 4slogx — |log .c.15,88

logi 185000 = 5.,267I717

log. 1,04512 = 0,2293956

log. 45 = 1.6532125

log. 095.88 = 2,* 4 25344

log. x= 1,3072454

XVI. — Des compliments. — Lorsque d'une somme de logarithmes on doit retrancher une autre somme de logarithmes, on peut remplacer la soustraction par une addition, à l'aide de ce qu'on appelle Corn lément d'un logarithme.

Soit le problème suivant : L'aire d'un secteur de cercle de 13* a p ur sue/ace 72 décimètres carrés. Cabuler luire de f hexagone régulier inscrit dans ce cercle.

T.ivet facult. Aspirants. — Paris; 1877).

Si on désigne par S la surface cherchée, on trouve :

lo" S = i loS- ' °8 + l0S 'n'G0 + l0S- V^ ( —log. 13 — log. n

Voici d'abord le tableau du calcul tel qu'il estindiqué par la formule :

LOGIQUE

log. 13=1,11394

log. 7t = 0.49? 15

log. 108=2.03342

log. 360 = 2,5à63O

log. y/3 = 0,23806

1, fi 11 01)

log. S = 3.217 lit S= 10489

Or on appelle complément de la mantisse d'un logarithme par rapport à l'unité, ce qu'il faut lui ajouter pour la rendre é^ale à 1. Ce complément se trouve facilement; il suffit de retrancher de gauche à droite chaque chiffre de 9 et le dernier seulement de 10. On a par exemple :

C*de 11394 = 88606; à de 49715 = 50285.

Maintenant de la somme 4.82828 retranchons d'abord la caractéristique de Log. 13, ce qui se fait en changeant son signe ; on a ainsi :

Pu*6, si au lieu de soustraire encore la mantisse, on ajoute au contraire son complément, ce qui donne :

la somme de ces deux nombres sera trop forte de I ; il suffira donc de diminuer la caractéristique de 1, et d'ajouter à 4,82828 le logarithme" ,88606. En opérant ainsi on trouvera le même résultat que si on avait retranché 1,11394 de 4,82828.

De là cette règle : lorsqu'on doit retranclier un logarithme d'un autre, on peut changer le signe de ta caractéristique, la diminuer ensuite de 1, remplacer la mantisse par S'.n complément et ajouter te logarithme ainsi transformé au premier.

En appliquant cette règle au calcul précédent, en aura le tableau suivant :

log. 108 = 2,03342

log. 300 = 2,55030

log.\/3 =0,23856 — log. 13 = 2,88606 — log.n = 1,50285

log. 8 = 3,21719

Nous dirons franchement en terminant que cette règle ne nous paraît pas mériter toute l'importance que la plupart des auteurs y attachent; si nous avons cru devoir l'indiquer, c'était moins pour indiquer aux instituteurs une autre marche à suivre dans ce calcul, que pour éviter le reproche d'avoir laissé une lacune dans cet article.

[G. Bovier-Lapierre.]

LOGIQUE. — Psychologie et logique. XV. — 1° Définition de la logique. — La logique est une partie importante des sciences philosophiques et morales. Elle doit être rattachée à ce groupe considérable de sciences en même temps théoriques et pratiques, qui comprend la morale ou éthique, l'esthétique ou science du beau, la rhétorique, la politique, le droit. Elle est à la fois une science et un art : une science, car elle nous fait connaître les lois de la pensée, les conditions normales du développement intellectuel; un art, car elle nous apprend à régler 1 intelligence, elle nous enseigne les moyens de découvrir la vérité et d'échapper à l'erreur.

La logique a été diversement définie, et cette diversité provient précisément de ce qu'on l'a considérée, tantôt sous son aspect théorique, tantôt sous son aspect pratique : ou bien cornue

un corps méthodique de vérités systématiquement inchaînées, ou bien comme une série de maximes >'t de préceptes relatifs à l'art de bien conduire sa raison.

Au moyen âge on l'appelait Y art de raisonner. Aristote avait dit à peu près de môme : l'objet de la logique, c'est la démonstration. Les auteurs de la Logique de Port-Royal, la logique classique de notre pays, eurent raison de modifier cette définition, et de dire que la logique était Y art de penser. C'était indiquer déjà qu'il y a d'autres opérations intellectuelles que le raisonnement ; que l'observation, par exemple, que la simple perception sont aussi l'objet de la logique, puisqu'elles contribuent à la découverte de la vérité. Mais la définition de Port-Royal laissait trop dans l'ombre les caractères théoriques de la logique. Dans son célèbre traité intitulé Système de logique, le philosophe anglais Smart Mill donne, au contraire, une définition qui a le défaut opposé : « La logique , dit-il, est la science des opérations de l'esprit qui concernent Y estimation de la preuve. » C'est oublier que la logique a aussi pour but de suggérer les procédés de la découverte, les moyens destinés à atteindre des conceptions qui seront ensuite vérifiées par les règles de la logique. Stuart Mill se rapprochait davantage de la vérité quand, dans le sous-titre de son livre, il annonce qu'il va exposer a les principes de la preuve et les méthodes de l'investigation scientifique. »

Peut-être est-il impossible de définir brièvement la logique ; et faut-il se contenter de caractériser cette science, comme le fait le logicien anglais, M. Bain, en disant qu'elle est : 1° la science théorique et abstraite qui expose les lois fondamentales de toute affirmation, de tout jugement ; 2° la science pratique de toutes les formes de la preuve; 3° enfin, un système de méthodes appropriées à la recherche et à la découverte de la vérité. Sous ces trois aspects la logique n'a en définitive qu'un seul et même objet : la preuve de la vérité. Mais cette preuve suppose, soit des principes que l'analyse intellectuelle nous découvre, la théorie du syllogisme, la théorie de l'induction, soit des formes spéciales et un mécanisme compliqué d'opérations et de raisonnements, soit enfin, des combinaisons de moyens et de procédés, en un mot des méthodes.

En résumé, la logique est la science à la fois théorique etpratique qui enseigne les conditions de la vérité et les moyens d'y arriver. Elle ne sert pas uniquementà vérifier des vérités déjà trouvées : elle apprend à découvrir des vérités encore inconnues. Sans doute, les découvertes scientifiques sont plus d'une fois l'œuvre d'un hasard heureux, d'une inspiration soudaine, mais il arrive aussi qu'elles résultent d'une application studieuse des règles de la logique.

2° Histoire de la logique. — Il est intéressant de rechercher comment la logique s'est constituée peu à peu, comment elle est devenue ce qu'elle est aujourd'hui, un corps de règles générales, applicables, soit à l'exercice journalier de l'intelligence, soit à la recherche scientifique de la vérité, le code de la pensée en un mot.

Ce qu'il faut noter tout d'abord, c'est que la logique dépend de la psychologie. Elle n'est, à certains points de vue, qu'une psychologie abstraite. Au fond de toute logique, il y a un système de psychologie : dans la Logique de Port- Ho// al. vous trouvez, comme point de départ, la théorie, classique au xvne siècle, qui distinguait dans l'esprit trois opérations essentielles, la conception, le jugement, le raisonnement. De plus, la Logique de Port-Koyal, admirable par tant d'autres parties, est incomplète et surannée aujourd'hui, parce que ses autours n'ont pas fait à l'induction, dans leur théorie p-vcliologique du raisonnement, la même part

LOGIQUE

qu'à la déduction. De même, dans Lee Logiques modernes, celles de Stuart Mil! et de M liain, par exemple, il est facile de reconnaître tout un système de psychologie empirique, qui n'admet guère, plus les principes rationnels et innés de l'intelli-

" La logique n'est donc en premier lieu qu'une application de la psychologie. A mesure que le psychologue avance dans l'étude théorique des phénomènes de l'esprit, le logicien progresse et devient plus capable de déterminer les lois générales de la pensée. A coup sûr, il ne faut pas que la logique soit le tableau réel des tâtonnements, des incertitudes, des erreurs de l'esprit, pas plus que la morale proprement dite ne peut être l'image fidèle des mœurs des hommes, esquissée à la façon des La Bruyère ou des La Rochefoucauld. Mais la logique ne perdra pas son caractère idéal et absolu, parce qu'elle aura appris à l'école de la psychologie de quelle manière la pensée se manifeste et se produit. Y a t-il même pour elle un autre moyen d'acquérir cette connaissance de l'entendement, qui est son principal objet ? L'exercice réel des opérations intellectuelles convenablement dirigées n'est-il donc pas précisément la même chose que leur exercice nécessaire ? La logique a-t-elle autre chose à faire qu'à transcrire, comme règles et lois formelles, les applications concrètes que fait sans cesse de son entendement, non pas seulement l'homme de science, mais le vulgaire lui-même?

Mais si la logique a beaucoup à gagner à se rapprocher de la psychologie, si elle s'est accrue sans cesse grâce aux progrès des études psychologiques , ce n'est pas seulement à cette source qu'elle s'alimente et s'enrichit; elle progresse, avec les sciences elles-mêmes. En d'autres termes, ce n'est pas seulement l'esprit considéré dans son fonds éternel et immuable, c'est aussi l'esprit appliqué aux diverses recherches particulières de la science, qui inspire et qui guide le logicien. Il en ' est de la logique comme de la rhétorique et de la poétique. On peut sans doute déterminer en partie les lois de la rhétorique et de la poétique, par une considération abstraite de la nature humaine : on ne peut cependant compléter ces arts et les mener à leur point de perfection, sans étudier les œuvres des orateurs et des poètes les pins distingués. De même la logique se perfectionne et se développe tous les jours par l'examen attentif de l'œuvre des grands savants. Il ne peut y avoir de nouvelle science fondée, ni de nouvelle méthode employée, sans qu'aussitôt il n'y ait lieu d'ajouter un chapitre nouveau à la logique, et de décrire de nouvelles formes de la pensée. Quelquefois, et grâce à la divination pénétrante d'un Bacon, la logique devancera le travail de la science. D'autres fois et le plus souvent, comme par exemple pour la méthode expérimentale appliquée par Claude Bernard à la physiologie, ce sont les découvertes des savants qui précéderont et inspireront les réflexions du logicien. Descartes n'a écrit son DiiCOUrs de la méthode, qu'après avoir appliqué lui-même dans ses travaux scientifiques les principes logiques qu'il y recommande; les Règles philosophiques Hegulse philosophandi) de Newton ne sont que le résumé de ce que ce grand mathématicien avait fait pour découvrir et établir la loi de la gravitation universelle : l'illustre astronome HerEchel a consacré une partie considérable de ton Discours sur l étude de la philosophie naturelle à exposer les règles d'après lesquelles il avait CÏrigé ses propres études. Enfin la logique indue '►rre, telle que t'ont organisée de nos jours les écriiAm anglais Whewell, Btuart Mill, M. Bain, n'a -,\ê possible que puce que de grandes découvertes cuïtive» ont signalé le travail scientifique des en siècles. La logiqne n'est donc pas seule-

ment une quintessence de la psychologie, elle est aussi la synthèse de la science.

La logique est donc éminemment perfectible, et l'on s'étonne que Kant ait écrit : « Depuis VristOte la logique n'a pas beaucoup gagné quant au fond, et même elle ne peut gagner beaucoup à cet égard.» Il est vrai qu'il ajoutait : « Mais elle peut très bien acquérir en exactitude, en précision et en clarté. <■ Il faut aller plus loin que Kant, et reconnaître que depuis les Analytiques d'Aristote, ou, ce qui revient au même, depuis la fin de la scolastiqu . la logique a singulièrement agrandi son domaine et renouvelé Bee théories.

Même le syllogisme a été en quelque sorte rajeuni et sa théorie renouvelée. On a appliqué des symboles numériques et des signes algébriques (voir les travaux des logiciens anglais De Morgan et Boole) à l'expression des notions et des pro tions. La Logique de Port-Royal ne comptait que dix-neuf modes concluants de syllogismes ; Hainilton, le philosophe anglais, en exigeant que dans les propositions la quantité du prédicat fût déterminée aussi exactement que celle du sujet, a accru le nombre des formes fondamentales et 'les modes possibles au point que. dans une de ses listes, il les énumère au nombre de cent huit. Certes nous sommes loin de nous figurer qu'on ait reculé les bornes de l'esprit humain en doublant ou en triplant le nombre des syllogismes concluants ; mais nous croyons qu'il y a quelque procès spéculatif, sinon quelque profit pratique, à déterminer avec plus d'exactitude les conditions de la pensée et du raisonnement déductif.

D autre part la logique inductive a été créée de toutes pièces, non pas seulement par Bacon, dont les intuitions pourtant si clairvoyantes ont aujourd'hui un peu vieilli, mais par dis savants qui, tels que Newton et Herschell, ont éprouvé par leurs découvertes les méthodes expérimentales ; et aussi par des généralisateurs comme Stuart Mill, qui, venus après les grands progrès de la science, n'ont eu qu'à résumer, à formuler en lois le travail scientifique des derniers siècles. Comment nier après cela la possibilité du renouvellement et du progrès des études logiques? Ce.n'cst pas qu'en reconnaissant les accroissements de la logique on veuille lui contester la fixité immuable de ses principes, pas plus qu'on ne songe à nier l'éternelle vérité de la géométrie, en refusant de l'étudier dans Euclide. Mais que dirait-on, puexemple, d'une poétique qui. composée du temps d'Homère, ne traiterait que de la poésie épique et ignorerait les autres formes de la poésie ? Me faudrait-il pas juger de même une logique, qui. après les grands efforts et les grands succès de la méthode inductive, telle que la science la pratique depuis Bacon et son Novum Organun, voudrait en demeurer à l'étude du syllogisme et à VOrgauon d'Aristote?

3° Division de la logique. — Aristote et après lui la Logique de Port-Royal divisaient la logique en quatre parties : d'abord la théorie des éléments de la proposition, c'est-à-dire des idées; puis la théorie de la proposition elle-même; en troisième lieu l'étude du raisonnement que forment des propositions unies entre elles par certaines lois : enfin l'étude de la démonstration ou de la méthode en général. Aujourd'hui cet ordre n'est plus respecté, (iliaque logicien dispose à son gré et avec la plus entière indépendance les matières de la logique. Ain-i Stuart Mill divise son ouvrage eii six livres: 1° les noms et les propositions ; ï° le raisonnement; 3* l'induction; 4° les opération* auxiliaires de f induction; 5° les sophismes : K" la logique des sciences morales. Il y aurait beaucoup à dire contre cette distribution des parties de logique, comme aussi contre la division ad<>p e par M. Hai! !ss su? certains points analu-

LOGIQUE

gue à la précédente. La logique de M. Bain comprend six livres : 1° Les mots, les idées, les propositions ; 2° la déduction: :i° Y induction; 4° la définition; 5° la logique des sciences; G" les soukismes. Ce qu'il faut retenir de ces essais remarquables, c'est que la logique doit être désormais divisée en deux grandes parties, la logique imluctive et la logique déductne, — celle où l'on traite des divers procédés qui conduisent l'esprit des faits particuliers aux vérités générales, et celle où sont étudiées les lois du raisonnement inverse qui nous mène des vérités générales précédemment établies aux cas particuliers. Sans doute on peut croire que la diversité apparente de l'induction et de la déduction ne détruit pas l'unité des opérations logiques, et qu'il est permis de résoudre cette antinomie créée par l'opposition des deux formes du raisonnement; mais malgré tous les efforts qu'on pourra faire pour ramener l'induction à la déduction, ou la déduction à l'induction, il n'en restera pas moins nécessaire d'étudier à part, dans leurs caractères spéciaux et distinciifs, ces deux grandes formes de la pensée, ces deux mouvements inverses du raisonnement humain.

Cette division fondamentale une fois indiquée, il faut en signaler une autre, celle de la logique générale, qui étudiera en eux-mômes les procédés du raisonnement, et la logique appliquée, qui suivra dans les sciences le développement pratique de ces procédés.

Enfin on pourrait encore distinguer la logique positive, qui donne des lois pour la recherche de la vérité, de la logique négative, qui démasque l'erreur. Les formes régulières du raisonnement une fois connues, il est nécessaire d'étudier les lormes incorrectes, les paralogismes et les sophismes.

Ajoutons que le postulat de la logique étant l'existence de la vérité et la possibilité de la connaître, il ne sera pas inutile, au début des études logiques, de consacrer quelques chapitres préliminaires à ces questions : Y a-t-il de la certitude? Pou- quoi doit-on repousser les arguments du scepticisme? La réfutation du scepticisme est comme la préface de toute logique complète.

D'après cela, on peut juger des imperfections de la Logique de Port-Poyal, le seul texte français que nous ayons encore à mettre entre les mains des élèves. Sans doute, il y a dans l'œuvre de Nicole et d'Amauld des parties durables, de fines réflexions morales sur les égarements de l'amourpropre, sur les sophismes, etc. ; mais il y a aussi des parties vieillies, et surtout des lacunes considérables. Ainsi, le mot induction n'est prononcé qu'une fois dans la Logique de Port-Royal, et seulement par une étrange distraction à propos des sophismes ou des faux raisonnements. On ne s'explique pas que l'induction, sur laquelle Arnauld garde un silence absolu quand il s'agit d'analyser les procédés réguliers et légitimes du raisonnement, apparaisse inopinément parmi les sources d'erreurs. Le plus étrange, c'est que Port-Royal savait parfaitement que « toutes nos connaissances commencent par l'induction, parce <iue les choses singulières se présentent avant les universelles. » Mais la force de l'habitude et l'autorité de la tradition condamnaient encore les esprits les plus pénétrants du dix-septième siècle à respecter les limites étroites de la logique déductive

Aujourd'hui, ce défaut n'est plus à craindre : ce serait plutôt le défaut opposé. Le syllogisme, qui était le tout de la vieille logique, semble n'être plus rien dans certaines logiques im dénies, qui le traitent de solennelle futilité. Il ne faudrait pas oublier cependant que le syllogisme est l'expression parfaite du raisonnement déductif. Pour

2e PARTIE.

avoir embrassé dans son domaine plus vaste et plus compréhensif l'étude des règles de l'induction, la logique ne doit pas oublier cette autre partie de sa tâche, la déduction. Ne partageons pas le dédain trop répandu de nos jours pour l'art syllogistique, dédain qui veut se donner les airs d'une plus grande force d'esprit, mais qui n'est au fond qu'une paresse, une vaine délicatesse intellectuelle. Sans doute, on comprend qu'au dix-septième siècle, au sortir de cette longue période où des logiciens formalistes excluaient de leur science tout ce qui ne se rapportait pas directement à la théorie du syllogisme, Bacon, le logicien de linduction, se soit laissé aller à répéter le cri d'impatience qui échappait déjà à saint Ambroise : A dialectica Aristoitlis libéra nos, Domine, « Délivrenous, Seigneur, de la dialectique d'Aristote. » Mais aujourd'hui que la pensée est affranchie de la tyrannie du syllogisme et qu'on n'a plus à craindre l'abus de cette forme de raisonnement, il importe que le logicien analyse avec soin les diverses formes syllogistiques. Alors même qu'il serait vrai de dire avec un ancien que « ceux qui s'enferment dans la dialectique peuvent être comparés aux mangeurs d'écrevisses qui, pour uue bouchée de chair, perdent leur temps sur un monceau d'écaillés, » nous estimerions encore que cette substance excellente, contenue au fond de la dialectique, mérite que, pour arriver jusqu'à elle, on passe par-dessus les difficultés qui la hérissent. En résumé, le logicien moderne doit se proposer pour but de réconcilier et d'associer la logique déductive d'Aristote et la logique inductivede Bacon.

Ce qui n'est pas moins important, c'est de considérer que la logique reste incomplète si elle se contente de se tenir sur les hauteurs de la philosophie générale, si elle ne se préoccupe pas de descendre aux applications, d'être enfin une logique élémentaire et pratique.

C'-est pour cette raison que la logique doit élargir de plus en plus la place qu'elle a toujours accordée à l'étude des diverses méthodes scientifiques. Dans les traités modernes cette partie est très développée. Ainsi la Logique de M. Bain consacre plus de trois cents pages à la logique des diverses sciences : mathématiques, physique, chimie, biologie, psychologie, sciences de classification, sciences pratiques, telles que la politique et la médecine. Nous trouvons là une logique réelle et technique qui suit pied à pied les sciences dans leurs démarches, s'ajustant à tous leurs contours, serrant de près tous leurs progrès, afin d'en extraire la substance et de nous présenter, dans une série de tableaux, les moyens dont dispose l'esprit humain pour faire face à la diversité des problèmes scientifiques. Ces études de logique appliquée, outre qu'elles peuvent fournir aux savants de profession des indications utiles, ont encore pour résultat de contribuer à cette culture générale de l'esprit, qui est le but principal de l'éducation.

4° Utilité de la logique. — L'utilité de la logique ne saurait être contestée. Sans doute, on devient souvent un savant sans le secours de la logique, mais avec l'aide de la logique on le deviendrait plus commodément et plus fréquemment. Un auteur anglais, M. Galton, qui applique ingénieusement la statistique aux questions morales, a ouvert dans ces derniers temps une enquête sur les conditions du génie scientifique, sur l'éducation et le régime intellectuel qui conviennent à la jeunesse des futurs savants : parmi les témoignages qu'il a recueillis, il y en a un grand nombre donc les auteurs reconnaissent ce qu'ils ont dû à l'étude de la log que.

Mais ce n'est pas seulement le saant, c'est l'homme le plus humble et le plus modeste qui, pour bien conduire ses jugements dans la vie pratique, a besoin de s'être exercé à la dialectique,