DISCOURS

LIVISEUaS

discours, il y a généralement une question de fait à cclaircir d'abord; l'auditeur ne s'intéressera à vos prétentions, ne les comprendra même, que quand vous lui aurez raconté les faits en les lui présentant habilement sous le jour que vous croyez Otre le vrai. Cette narration oratoire ne ressemble pas à la narration liistorique ou à la simple relation des événements; celle-ci peut être froide, impartiale, neutre, et laisser l'esprit indifférent ou hésitant; l'autre est nécessairement colorée, vive, courte, passionnée, faite surtout pour servir la cause qu'on soutient : en admettant même qu'elle reste dans le vrai, elle insiste natu-elloment sur les côtés les plus avantageux à l'intérêt de celui qui parle.

4° La confirmation, la preuve ou le corps d'/irijumentation. — La cause eiposée, les faits racontés, il faut en faire sortir les conséquences logiques : le moment est venu de faire appel à toutes les ressources d'un raisonnement serré, vigoureux, qui s'impose à l'auditeur et se grave malgré lui dans son esprit. Quelquefois, le plus souvent même, ce n'est pas une seule preuve qu'on invoque, on en a de plusieurs degrés : on commence par les plus faibles, et graduellement on y en ajoute d'autres qui soient de nature à amener l'évidence complète et irrésistible.

5° La réfutation ou réponse aux objections. — Quand l'auditeur est bien convaincu par vos démonstrations, bien gagné à votre cause, bien d'accord avec vous, il n'y a plus d'inconvénients à lui signaler, pour les mettre en pièces,, les arguments de votre adversaire, les objections qu'il vous oppose ou va vous opposer. L'art de l'orateur est d'atténuer autant que possible les raisons de la partie adverse, de résoudre les sopliismes, les paralogismes (faux raisonnements), de dissiper toute confusion, tout malentendu, de rétorquer les arguments spécieux et superficiels, qui ne résistent pas à un examen approfondi. C'est ici que l'orateur peut être le plus vif à l'attaque et avoir les plus beaux mouvements oratoires : tantôt l'ironie, tantôt l'indignation, lui servent d'arme vengeresse pour confondre l'erreur et faire triompher la justice.

6° La péroraison ou fin du discours. — L'orateur a fini la discussion des faits et des idées, il a fait la lumière dans les esprits, il se recueille maintenant et s'efforce de laisser en quelques graves et éloquentes paroles la trace de son passage; ému lui-même en se sentant arrivé au terme de sa tâche et au moment décisif, il communique à son auditoire les sentiments dont il est plein. A ce moment seulement, sa tâche achevée, il semble faire un retour sur lui-même, et termine par quelques mots, soit de modestie, soit de confiance, qui complètent ce qu'avait commencé l'exorde, qui doivent provoquer dans l'auditoire, outre la persuasion, un sentiment de sympathie, d'estime et de respect pour l'orateur qu'on vient d'entendre.

Différents genres de discours. — Cette esquisse générale et théorique de la structure d'un discours s'applique aux différents genres oratoires. On peut distinguer : le discours politique (éloquence de la tribune), le discours académique (éloquence académique), le plaidoyer (éloquence du barreau), le discours tumulaire ou oraison funèbre (éloquence funèbre), le sermon ou l'homélie (éloquence de la chaire), la conférence (éloquence familière), les harangues ou proclamations militaires (éloquence militaire].

On a donné le nom de (Hscours à certains ouvrages qui ne sont pas même pour la forme des œuvres oratoires : c'est dans le sens étymologique ancien du mot discours, qui signifiait ensemble de raisonnements, de déductions, de réflexions, comme dans la fameuse strophe de Malherbe :

Ta douleur, Du Perler, sera donc éternelle. Et les tristes discours

Que te met en l'esprit l'amitié paternelle L'augmenteront toujours !

C'est en cette acception que s'est pris le mot discours dans les titres suivants : Discours sur la méthode, de Dcscartes^ Discours sur C histoire universelle, de Bossuet, etc.

DISPOSITION. — V. Composition.

DISTILLATION. — V. Elnillition.

DIVISEURS. — Arithmétique, XI, XIII. — 1. On nomme diviseur d'un nombre tout nombre qui le divise exactement, c'est-à-dire sans reste. Ainsi 7 est un diviseur de 35, parce que, si l'on divise 35 par 7, on obtient un quotient exact, 5. Par une raison analogue, 13 est un diviseur de 78, etc. Tout nombre admet au moins deux diviseurs, car il est divisible par lui-môme et par l'unité: ainsi 37 divisé par 37 donne pour quotient exact 1, et 37 divisé par I donne pour quotient exact 37. Il y a des nombres qui admettent un grand nombre de diviseurs ; ainsi on peut vérifier que 60 est divisible par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 1'-', 15, 20, -30, 60. Un même nombre peut être à la fois diviseur de plusieurs autres ; ainsi 13 est un diviseur de 52, de 78, de 91, etc. On dit alors que c'est un diviseur commun à ces nombres.

2. — Tout nombre qui en divise deux aidi-es divise leur somme. Sachant, par exemple, que 13 divise 52 et 78, on en conclut qu'il divise la somme de 52 et de 7k, c'est-à-dire 130. Dire, en effet, que 52 est divisible par 13, c'est dire qu'il se compose d'un nombre exact de fois 13 ; il en est de même pour 78 ; or si à un nombre exact de fois 13 on ajoute un nombre exact de fois 13, la somme se composera évidemment d'un nombre exact de fois 13, c'est-à-dire qu'elle sera divisible par 13. Le même raisonnement montrerait que tout nombre qui en divise plusieurs aidres divise leur somme. Ainsi 7 divisant les nombres 35, 63, 84, 105, divise leur somme 287.

3. — Tout nombre qui en divise un autre divise ses multiples. Ainsi 8 divisant 24 divisera tous les multiples de 24, par exemple 5 fois 24, ou U'O. Car 120 est la somme de 5 nombres divisibles par 8, il est donc lui-même divisible par 8, d'après ce qui a été dit ci-dessus.

4. — Toid nombre qui en divise deux aidres divise leur différeiice. Sachant, par exemple, que 13 divise 91 et 52, on en conclu^'a qu'il divise leur différence ;i9; car si de 91 qui se compose d'un nombre exact de fois 13, on retranche 52, qui se compose aussi d'un nombre exact de fois 13, on obtiendra pour reste un nombre exact de fois 13, c'est-à-dire un nombre divisible par 13.

On en conclut que tout nombre qui divise une somme de deux parties et l'une d'elles, divise nécessairement l'autre, qui est la différence entre la somme des deux parties et l'une d'elles.

5. Caractères de divisibilité. — Il arrive quelquefois qu'on peut reconnaître à certains caractères qu'un nombre est divisible par un autre ; ces caractères de divisibilité trouvent leur application dans les calculs.

Un nombre est divisible par 2 quand le dernier chiffre à droite est 0 ou u/c det chiffres pairs 2, 4, 6, 8. En effet, tout nombre peut être considéré comme partagé en dizaines et en unités ; or, 10 étant divisible par 2, tout nombre de dizaines, qui est un multiple de 10, est aussi divisible par 2. Pour que le nombre total soit lui-même divisible par 2, il faut donc, et il suffit, que le chiffre des unités soit 0, ou un chiffre divisible par 2. Ainsi 24, 36, 78, 382, 490 sont des nombres divisibles par 2.

Un nombre terminé par l'un des chiffres impairs 1, 3, 5, 7, 9 n'est point divisible par 2, et, en faisant la division, on obtiendrait pour reste 1.

6. — Un nombre est divisible par 5 quand le chiffre de ses unités est un 0 ou un 5. Tout nom-

DIVISEURS

bre peut être considéré comme composé de dizaines et d'unités ; or, 10 étant divisible par 5, les dizaines, qui sont un multiple de 10, sont divisibles par 5. Pour que le nombre total soit divisible par 5 il faut donc, et il suffit, que le cbiffrc des unités soit divisible par 5, ce qui exige que ce chiffre soit 0 ou 5. Ainsi 35, 60, 75, 90, 105, etc., sont des nombres divisibles par 5.

7. — On peut remarquer que si l'on divise par 2 ou par 5 un nombre quelconque, et que la division ne se fasse pas exactement, on obtient le môme reste qu'en divisant par 'i ou par 5 le chiffre des unités. Car les dizaines étant un multiple de 2 et de 5, le reste de la division ne peut provenir que du chiffre des unités.

8. — Un hombre est divisible par 4 quand le nombre formé par ses deux derniers chiffres à droite est divisible par 4. En effet, tout nombre peut être considéré comme composé de centaines et d'un nombre moindre que 100. Or 100 étant un multiple de 4, les centaines, qui sont un multiple de 100, forment un nombre divisible par 4. Pour que le nombre total soit divisible par 4, il suffit donc que le nombre formé par les deux derniers chiffres à droite soit divisible par 4. Ainsi les nombres 528, 2 940, 15 684, 23 796, etc., sont divisibles par 4, parce que 28, 40, 84, 96, etc., sont des multiples de 4.

9. — Tout nombre est divisible par 25 quand le nombre formé par ses deux derniers chiffres à droite est divisible par 25. Même démonstration qu'au n" 8. Les nombres divisibles par 25 sont donc ceux qui se terminent à droite par 00,25, 50 ou 75. Ainsi les nombres 1 800, 725, 4 750, 16 375, etc., sont divisibles par 25.

10. — On peut remarquer que si l'on divise un nombre par 4 ou par 25, et que la division ne se fasse pas exactement, on obtient le même reste qu'en divisant par 4 ou par 25 le nombre formé par les deux derniers chiffres à droite. Car les centaines étant un multiple de 4 et de 25, le reste ne peut provenir que de la division dunombre formé par les chiffres des dizaines et dos unités.

11. — Toid nombre est divisible par 9 quand la somme de ses chiffres, pris en valeur absolue, est divisible jiar 0. Remarquons d'abord que tout nombre formé de l'unité suivie d'un nombre quelconque de zéros est un multiple de 9, augmenté de l'unité. Ainsi 10 000 est égal à 9990, qui est un multiple de 9, plus 1. En second lieu, tout nombre formé d'un chiffre significatif suivi d'un nombre quelconque de zéros, est égal à un multiple de 9, augmenté de ce chiffre significatif. Ainsi 70 0;.'0. ou 7 fois 10 000, équivaut à 7 fois 9 SJU9, c'est à-dire à un multiple de 9, plus 7 fois l, ou 7. Soit maintenant un nombre quelconque 78 345; on pourra le décomposer de la manière suivante :

70000, qui est un multiple de 9, plus 7

5, qui est égal h, zéro, — 5

En faisant la somme, on voit donc que le nombre proposé 78 435 se compose d'une somme de multiples de 9, qui est un multiple de 9, plus la somme

qui est la somme de ses chiffres pris en valeur absolue. Pour que le nombre donné soit divisible par 9, il faut donc, et il suffit, que la somme de ses chiffres soit elle-même divisible par 9. — C'est ce (ini a lieu dans cet exemple, puisque la somme des chiffres est 27 qui est un multiple de 9. On peut remarquer qu'en faisant la somme des

chiffres on peat passer les 9, et môme les couples de chiffres dont la somme fait 9.

12. — Tout nombre est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres, prl's en valeur absolue, est divisible par 3. Car tout nombre étant égal à un multiple de 9, qui est en même temps un multiple de 3, augmente de la somme de ses chiffres, il suffit, pour qu'il soit divisible par 3. que la somme de ses chiffres soit un multiple de 3. Ainsi le nombre 19 687 est divisible par 3 ; car si l'on fait la somme de ses chiffres en passant le chiffre 9 et le couple de chiffres 1 et 8, qui font 9, «n trouve 12 qui est un multiple de 3.

13. — Si l'on divise un nombre par 9 ou par 3, et que la division ne se fasse pas exactement, on obtient le même reste qu'en divisant par 9 ou par 3 la somme des chiffres de ce nombre. Car le nombre donné se composant d'un multiple de 9 plus la somme de ses chiffres, le reste, s'il y en a un, ne peut provenir que de la division de la somme des chiffres. Ainsi 1578 472 divisé par 9 donnerait pour reste 7, car la somme de ses chiffres est un multiple de 9 augmenté de 7. Le même nombre, divisé par 3, donnerait pour reste 1, qui est le reste de la division de 7 par 3.

14. es. — Tout 7iombre est divisible par 11 quand la différence entre la somme de ses chiffres de rang impair et la somme de ses chiffres de ranq pair est nulle ou égale à un multiple de 11.

On remarque d'abord que l'on a :

d'où 10X10=(11 — l)Xl0 = m.ll — 10

ou 100 = ?w.ll — m-l = m.lH-l

(en désignant par m. 11 un multiple quelconque de 11).

Multiplions par 10, nous aurons :

100X10=(w.)l-hl)X10 = ?».H-f 10=w.ll — 1

ou 1000 = »i.ll— 1.

Multiplions encore par 10, il viendra :

1000xlO=(w.ll— l)X10=>n.ll— lC=m.ll— 11-fl

ou 10000 = »i. 11-1-1.

En continuant ainsi on reconnaît que l'unité suivie d'un nombre impair de zéros équivaut à un multiple de 1 1 diminué de l'unité, et que l'unité suivie d'un nombre pair de zéros équivaut à un multiple de il augmenté à& l'unité.

Par un raisonnement pareil à celui qui a été fait plus haut h. propos de la divisibilité par 9, on en déduit que tout nombre composé d'un chiffre significatif suivi de zér»-; équivaut à un multiple àc 11, augmenté ou diminué de ce chiffre significatif suivant que ce chiffre est de rang impair ou pair, h partir de la droite.

Cela posé, soit à considérer le nombre 659 318, on pourra le décomposer de la manière suivante :

eooooo = m.W — 6

50000 = w.ll -f- 5

9000 = w.ll — 9

300 = w.ll -f 3

d'où, en faisant la somme:

C5931S = ?n.ll-f (8-f3-|-5) — (l-i-9-fG).

Ce qui montre que tout nombre est égal à un multiple de 11 auqmrnté de la différence eiitrela somme de ses chiffres de rang impair et la somme de SCS chiffres de rang pair. Û en résulte que, pour qu'un nombre soit divisible par 11 il suffit que

DIVISEURS

cette différence soit elle-même ou nulle ou divisible par 11.

iSi la somme des chiffres de rang impair était moindre que la somme des chiffres de rang pair, on pourrait ajouter à la première 11 ou un multiple de It sans changer la conclusion).

Dans l'exemple actuel on voit que 659 318 est divisible par 11, car les deux sommes de chiffres considérées sont toutes deux égales à 16.

16. C. S. — Si l'on divise par 11 un nombre quelconque, et que la division ne se fasse pas exactement, le reste obtenu est le même que si l'on divisait par 11 la différence entre la ^omme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair (la première de ces deux sommes étant, s'il est nécessaire, augmentée de II ou d'un multiple de 11). Si, par exemple, on divise par 11 le nombre GÔ9 348, on obtiendra pour reste 8 ; car la somme des chiffres de rang impair 8-l-3-f-5 est 16; la somme des chiffres de rang impair 4-)- i) -h G est 19 ; si l'on augmente la première somme de 11 ce qui donne 27, et qu'on en retranche 19. il reste 8.

Exercice. Parmi les nombres :

reconnaître ceux qui sont divisibles par 2, 3, 4, 5, 9, 11 ou 25.

16. — Preuve par 9 de la multiplication. — Soit à multiplier les deux nombres 53 et 34. Le nombre 53 équivaut à un multiple de 9, plus 8 ; et le nombre ;54 équivaut à un multiple de 9 plus 7, si l'on multiplie la première somme par la seconde; le produit se composera évidemment du produit de chacune des deux parties du multiplicande par chacune des deux parties du multiplicateur; c'està-dire qu'il contiendra quatre parties, dont trois seront des multiples de 9 ; la quatrième sera le produit des deux restes 8 et 7, c'est-à-dire 56. Or ce nombre équivaut lui-même à un multiple de 9 plus 2. Le reste de la division du produit 53 X 34, ou 1 802, par 9 doit donc être égal à 2.

De là cotte règle: ;joMr faire la preuve d'une multiidication par 9, on cherche les restes de la division par i! du midtiplicande et du multiplicateur ; on fait le produit de ces deux restes, et l'o7i cherche le reste de la divisioiide ce produit par S); ce reste doit être le même que celui de la division par 9 du produit des deux nombres donnés.

On ferait de la môme manière la preuve de la multiplication par 1 1 .

On peut aussi faire par le même procédé la preuve d'une division, attendu que le dividende, diminué du reste s'il y en a un, est le produit du diviseur par le quotient.

17. es. — Nombres premiers. Tout nombre qui n'est divisible que par lui-même et par l'unité, est ce qu'on appelle un yiombre premier ; tels sont les nombres 2, 3, 5, 7, 11. La considération des nombres premiers a une grande utilité en arithmétique.

Pour reconnaître si un nombre donné est un nombre premier, le moyen naturel est d'essayer la division de ce nombre successivement par 2, par 3, par 4, par 5, etc., jusqu'à ce qu'on soit parvenu aune division qui donne un quotient plus petit qi\e le diviseur ; si aucune des divisions essayées n'a donné un quotient exact, on peut affirmer que le nombre proposé est premier. Soit, par exemple, le nombre 461 ; eu opérant comme il vient d'être dit, on parvient jusqu'au diviseur 23, qui donne pour quotient 20 et pour reste 1. Le quotient 2 i étant moindre que le diviseur 23, on en conclut que 461 est premier. Car si un diviseur plus grand que 23 donnait un quotient exact, ce quotient serait moindre que 20 ; mais, dans une division

qui se fait exactement. le qtiotient est contenu un nombre exact de fois dans le dividende ; le nombre 401 admettrait donc un diviseur moindre que 23, ce qui est contraire à l'hypothèse qui a été faite.

Il faut bien remarquer que dans ces essais il n'est nécessaire d'essayer, comme diviseur, que les nombres qui sont premiers. Si l'on a reconnu, par exemple, que 3 n'est pas un diviseur du nombre proposé, il est inutile d'essayer 6 ou tout autre multiple de 3. Car si le nombre proposé se composait d'un nombre exact de fois 6, il se composerait par cela même d'un nombre exact de fois 3, et serait divisible par 3. De môme, si 5 ne divise pas le nombre proposé, il est inutile d'essayer comme diviseur un multiple quelconque de 5 ; et ainsi pour tous les nombres premiers.

On peut remarquer encore qu'il résulte de ce qui précède que tout nombre qui n'est pas premier admet au moins un diviseur premier; car si, en opérant comme il vient d'être dit, aucune division ne se faisait exactement, le nombre dont il s'agit serait premier.

IH. es. — La suite des nombres premiers est illimitée ; car si l'on considère un nombre premier quelconque, 1 1 par exemple, il est facile de démontrer qu'il doit exister un nombre premier plus grand. Considérons, en effet, la somme

qui est évidemment plus grande que 11. Ou bien cette somme est un nombre premier; ou, si elle admet un diviseur premier, ce diviseur doit être plus grand que 11 ; car les nombres premiers jusqu'à 11, divisant la première partie de la somme ci-dessus, sans diviser la seconde qui est 1, ne peuvent diviser la somme. Dans les deux cas, il existe un nombre premier plus grand que 1 1 .

Voici la liste des nombres premiers moindres que 100 :

19. C. s. — Un nombre peut toujours être décomposé en facteurs premiers. Pour cela, on le divise par 2 si cela est possible, puis le quotient par 2, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on parvienne à un quotient qui ne soit plus divisible par 2. On épuise alors le diviseur 3 comme on a épuisé le diviseur 2 ; on opère de même pour les diviseurs premiers 5, 7, 11, etc., jusqu'à ce qu'on obtienne pour quotient l'unité. 'Tous les diviseurs emploj'és sont les facteurs premiers du nombre proposé. S'il s'agit, par exemple, du nombre 2 520, on formera comme il suit le tableau des opérations.

en écrivant chaque quotient au-dessous du précédent. L'opération montre que l'on a

Exercices. — En appliquant cette méthode on arrivera de môme aux résultats suivants :