C. S. — Un môme diviseur peut être corn

DIVISEURS

niun à plusieurs nombres. Ainsi 15 est un diviseur commun à 45 et à 60.

Le plus grand commun diviseur de deux nombres est le plus grand nombre qui les divise exactement tous les deux. Supposons que l'on demande le plus grand commun diviseur des deux nombres G'21 et 184. On commence par remarquer que le plus grand commun diviseur cherché ne' peut pas surpasser le plus petit nombre 18 i ; mais il pourrait bien lui être égal si celui-ci divisait le plus grand. Essaj'ons donc la division. En divisant 6;'l par 184 on trouve pour quotient 3 et pour reste 69 ; on en conclut que le plus petit nombre 184 n'est pas le plus grand commun diviseur cherché. Mais il est aise de faire voir que ce plus grand commun diviseur est le même que celui qui existe entre le plus petit 184 des deux nombres donnés et le reste 69 de leur division. En efifet, la division efifectuée donne l'égalité

Tout nombre qui divise à la fois 621 et 184, divisant aussi I8i X 3, divise une somme et l'une de ses parties, il faut qu'il divise l'autre 69. Réciproquement : tout nombre qui divise 184 et 69, divisant 184 x 3, divise les deux parties d'une somme, donc il faut qu'il divise la somme 621. Il en résulte que, si l'on formait d'une part le tableau de tous les diviseurs communs à 6'.il et à 184, et de l'autre le tableau de tous les diviseurs communs à 184 et à 69, ces deux tableaux seraient identiques. Donc, le plus grand de ces diviseurs serait le môme dans les deux tableaux. — Ceci démontre que le plus grand commun diviseur de deux nombres est le même que celui qui existe entre le plus petit d'entre eux et le reste de leur division.

La question étant ramenée à chercher le plus pi-and commun diviseur entre 184 et 69, on devra, d'apiès les mêmes considérations que ci-dessus, chercher si 69 ne divise pas 18 i; on trouve pour quotient 2 et pour reste 46. On en conclura comme plus haut que le plus grand commun diviseur entre 184 et 69 est le même qu'entre 69 et 46.

Divisant 69 par 46, on trouve pour quotient 1 et pour reste 23. On divise 46 par 23, ce qui donne pour quotient 2 sans reste ; le nombre 23 est donc le plus grand commun diviseur entre 46 et 23, par suite entre 69 et 46, par suite entre 184 et 69, par suite enfin entre les deux nombres donnés 621 et

On dispose l'opération comme ci -dessous :

138 iC

en mettant les quotients au-dessus des diviseurs correspondants pour ne pas gêner les calculs.

On voit que la règle consiste à diviser le plus grand nombre par le plus petit, celui-ci par le reste de la division, ce premier reste par le second, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne un reste qui divise exactement le reste précédent ; ce dernier diviseur sera le plus grand commun diviseur cherché.

On trouvera ainsi que

Le plus graud commun diviseur des nombres....

455 et 175 est 35

21. G. S. — On peut remarquer qu'en faisant ces opérations, on parviendra toujours à un reste qui divise exactement le reste précédent; car les restes allant toujours en diminuant, on finira tou-

jours par le reste 0. Si le reste précédent était 1| le plus grand commun diviseur des nombres proposés serait 1 , ce qui revient à dire qu'ils n'auraient pas de diviseur commun. On dit dans ce cas que les deux nombres sont premiers entre eux. Ainsi 35 et 4S (qui ne sont pas des nombres premiers) sont premiers entre eux.

On peut remarquer encore que tout nombre qui en divise deux autres divise le reste de leur division, et tous les restes successifs obtenus en appliquant la règle pour la recherche du plus grand commun diviseur, et par conséquent le plus grand commun diviseur lui-même qui est le dernier des restes obtenus.

Enfin, il est important de remarquer que si l'on multiplie deux nombres par un troisième, leur plus grand commun diviseur est multiplié par ce troisième. On sait, en efi'et, que si l'on multiplie par un même nombre le dividende et le diviseur, dans une division quelconque, le quotient ne change pas, mais le reste se trouve multiplié par ce même nombre. Il en résulte que si l'on multiplie deux nombres par un troisième, l'application du procédé employé dans la recherche du plus grand commun diviseur conduira à des restes successifs qui seront tous multipliés par ce môme nombre ; il en sera donc ainsi du plus grand commun diviseur qui est le dernier de ces restes. — Ainsi, les nombres 621 et 184, ayant pour plus grand commun diviseur 23, les nombres 3 105 et 920, qui sont les produits des deux premiers par 5, auront pour plus grand commun diviseur ll5 qui est le produit de 23 par 5.

22. G. S. — On peut avoir à chercher le plus grand commun diviseur de trois nombres, par exemple 1440, 960 et 600. Pour cela, on cherchera d'abord le plus grand commun diviseur des deux premiers, qui est 480 ; puis le plus grand commun diviseur de 480 et du troisième nombre 600; on trouvera 120, qui sera le plus grand commun diviseur des trois nombres donn?s. Gar 1° tout nombre qui divise les trois nomhre- donnés divise 480 qui est le plus grand commun diviseur des deux premiers ; divisant 480 et 600, il divise leur plus grand commun diviseur 120. Réciproquement 2° le nombre qui divise 120 divise 480 et 600 qui en sont des multiples, et par suite 1 440 et 960 qui sont des multiples de 480. Ainsi, en vertu du 2», le nombre 120 est un diviseur commun aux trois nombres donnés ; et il résulte du 1° qu'ils n'en peuvent pas avoir de plus grand, puisqu'il doit diviser 120; donc 120 est bien le plus grand diviseur commun des trois nombres donnés.

On verrait de même que pour obtenir le plus grand commun diviseur de quatre nombres, il faut chercher le plus grand commun diviseur des trois premiers, puis le plus grand commun diviseur de celui-ci et du quatrième nombre.

Il serait facile d'étendre la même opération à plus de quatre nombres.

Exercices. — On trouve que :

Lepiu^ grand.des 3 nombres 2S6, 264 et 110 est 22 commun di-'— 3 — 1104. 690 — 460 — 46 "■«"■^ (— 4 — 340,510, 595 et 935 — 85

23. G. S. — Propriétés des nombres premiers ENTRE eux. — Si uti lombrc divise un produit de deux facteuj-s et qu'il soit premier avec l'un d'eux, il divise nécessairement l'autre. — Par exemple, le nombre 840 étant le produit des deux facteurs 35 et 24, le nombre 12, qui divise le produit et qui est premier avec 35, divise nécessairement 24. En effet, le plus grand commun diviseur des nombres 12 et 35, qui sont premiers entre eux, est 1 ; le plus grand commun diviseur des nombres 12 X 24 et 35 X 24 est donc 24. Or 12 divise évidemment le produit 12 X 24 ; il divise aussi

DIVISEURS

DIVISION

par hypothèse le produit de 3S X 24, ou 840; donc il divise leur plus grand commun diviseur 2i.

On déduit de ce principe que tout nombre pi'ernier qui divise un produit divise au moins l un de ses facteurs; et que tout nombre premier qui divise une puissance d'unnombre divise ce nombre.

On en déduit encore que si deux nombres sont premiers entre eux, leurs puissances sont premières entre elle->. Ainsi 8 et 9 étant premiers entre eux, 83 et 9* le sont aussi ; car, s'ils avaient un facteur premier commun, ce facteur divisant une puissance de 8 et une puissance de 9 diviserait 8 et 9 ; ces deux nombres ne seraient donc pas premiers entre eux. .

24. C. S. — Quand un nombre est divisible par deux autres nombres premiers entre eux, il est divisible par leur produit. — Ainsi 360, qui est divisible par 8 et par 9, est divisible par 8 fois 9 ou 72. En effet, soit q le quotient de 360 par 8, on aura

Le nombre 9 divisant 360, et étant premier avec le facteur 8, divise nécessairement l'autre facteur 5'; on a donc

en désignant par q' le quotient de q par 9. Par suite, on peut écrire

Le nombre 360 est donc divisible par le produit 8x9.

Pour qu'un nombre soit divisible par U7i autre, il faut et il suffit qu'il contienne tous les facteurs premiers de cet autre, affectés des lyiêmes exposants. — Ce principe, évident pour deux facteurs d'après ce qui précède, s'étend sans peine à un nombre quelconque de facteurs.

25. — Un n^ûnbre ne peut être décomposé que d'une seule manière eu facteurs premiers. — Supposons qu'un nombre décomposé en ses facteurs premiers ait donné pour résultat

3 X 5X 7 Xll

et que, décomposé d'une autre manière, il ait donne

«XôXcXû;..

a, b, c, d représentant des facteurs premiers que nous ne désignons pas ; on devra avoir

Le premier membre étant divisible par 3, il faut que le second le soit, 3 divise donc un des facteurs de ce second membre ; mais ces facteurs sont premiers, il faut donc que 3 soit égal à l'un d'eux. Supposons « = 3 ; on pourra diviser les de uxmembres par 3, et il en résultera l'égalité :

S.lAl = b.c.d...

Le premier membre étant divisible par5, il en est de même du second; 5 divise donc un des facteurs de ce second membre; mais ces facteurs sont premiers ; il faut donc que 5 soit égal à l'un d'eux. Supposons A= 5 ; on pourra diviser les deux membres par 5, et on aura l'égalité

En continuant ainsi on verra que tout facteur du premier membre est égal à un facteur du second, et que les deux membres sont identiques.

Nous avons supposé, pour plus de clarté, les facteurs premiers diflfcrents, mais le môme raisonnement s'appliquerait à des facteurs égaux.

26. — Quand deux ou plusieurs nombres sont décomposés en leurs facteurs premiers, on peut former à vue leur plus grand commun diviseur. Il suffit pour cela de faire le produit de tous les facteurs premiers communs à ces nombres, en affectant chacun de son plus petit exposant. Soient donnés, par exemple, le nombre

leur plus grand commun diviseur sera 23.5 ou 40. D'abord ce sera un diviseur commun; et ce sera le plus grand; car on ne pourrait y introduire un facteur de plus sans rendre impossible la division de l'un au moins des nombres donnés par le produit ainsi formé.

On pourra exercer les élèves à trouver par ce procédé le plus grand commun diviseur des nombres

ou ou

27. — On nomme plus petit multiple commun de plusieurs nombres, le plus petit nombre qui soit divisible par chacun d'eux. — Quand les nombres donnés sont décomposés en leurs facteurs premiers, on forme leur plus petit multiple commun en faisant le produit de tous leurs facteurs premiers, affectés chaam de son plus haut exposant.

Soient donnés comme ci-dessus les nombres

350 = 23.32.5 240=21.3.5 200 = 23.5* Ijur plus petit commun multiple sera 2*. 32.52 ou 3600.

D'abord ce sera un multiple commun des nombres donnés puisqu'il contient tous leurs facteurs ; et ce sera le plus petit, car on ne pourrait y supprimer un facteur sans rendre impossible la division de ce nombre par l'un au moins des nombres donnés.

On pourra exercer les élèves à former le plus petit multiple des nombres donnés comme exemple à la fin de l'article précédent. [H. Sonnet.]

DIVISION. — Arithmétique, IX et X. — 1. La division est une opération qui a pour but de partager un nombre donné en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans un autre nombre donné. Le nombre à partager s'appelle le divide7ide ; celui qui indique le nombre des parties à obtenir s'appelle le diviseur; et le résultat de l'opération, c'est-à-dire l'une des parties demandées, porte le nom de quotient. Si, par exemple, on demande de partager 40 en 5 parties égales, auquel cas chacune des parties demandées sera 8, le nombre 40 sera le dividende, 5 le diviseur et 8 le quotient. On peut remarquer que si l'on répète l'une des parties trouvées, autant de fois qu'il y a de parties, on doit obtenii^ le nombre à partager ; ainsi, dans l'exemple cidessus, 5 fois 8 font bien 40. C'est ce qu'on exprime généralement en disant que le dividende est le produit du quotie?it par le diviseur.

Mais la même opération peut être présentée sous un autre pointde vue. Puisque 40 contient 5 parties égales chacune à 8, et que 5 fois 8 est la même chose que 8 fois 5, on peut dire que l'opération a pour but de chercher combien de fois 5 est contenu dans 40, ou, en général combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende ; le résultat, 8, exprimant ce nombre de fois, s'appelle quoti-^nt (du latin quoties, combien de fois). Sous ce point de vue, le dividende est regardé comme le produit du diviseur par le quotient.

Enfin, comme dans ces deux manières d'envisager la division, le dividende est un produit dont les

DIVISION

deux facteurs sont le diviseur et le quotient, on peut dire que la division a pour but, étant donné un produit de deux facteurs, appelé dividende, ft l'un de ses facteurs, appelé diviseur, de trouver l'autre facteur, appelé quotient.

Ces divers points de vue peuvent être emp1o\-és tour à tour dans la théorie de la division. iDans le cours élémentaire on pourra introduire l'idée de division en supposant qu'on ait à partager également entre des écoliers un certain nombre de billes, un certain nombre de noix, etc.)

Il n'arrive pas toujours que le dividende contienne un nombre exact de fois le diviseur; le but de l'opération est alors de chercher le plus grand nombre de fois que le diviseur est contenu dans le dividende. Celui-ci n'est plus alors le produit exact du diviseur par le quotient; mais il est égal à ce produit ausmenté d'un certain reste, nécessairement moindre que le diviseur. Ainsi 43 étant le dividende et 5 le diviseur, le premier nombre contient le second S fois, plus un reste, qui est 3 ; et 43 est égal à 5 fois 8 augmenté de 3.

2. — Lorsque le diviseur n'a qu'un chiffre et que le dividende est moindre que lO fois le diviseur, la table de multiplication fait connaître immédiatement le quotient. Soit, par exemple, à diviser 61 par 7. On sui\Ta, dans la table, la colonne verticale qui commence par 7 ; on n'j- trouvera pas le nombre 61, mais on verra que 61 est compris entre deux multiples consécutifs de 7, savoir 56 et 63. Or ôG est dans la colonne horizontale qui commence par 8 ; c'est donc le produit de 7 par 8. On en conclut que 61 contient 8 fois 7, plus un reste qui est la différence entre 56 et 61, c'est-à-dire 5. Le quotient est donc 8 et le reste h ; et le dividende 61 est bien égal au produit du diviseur 7 par le quotient 8, augmenté du reste 3.

, . 57 par 9 on obtient 6 . Onverradememe >-c a .^..m- r> et qu ea divisant: '^

n Cl pour , .

reste • '

53 — 6 quotieut: 8 ' 5; etc.

3. — Supposons maintenant que le diviseur n'ait qu'un chiffre, mais que le dividende en ait plusieurs, et soit à diviser 3215 par 7. Le quotient aura plusieurs chiffres ; mais ses plus hautes unités seront des centaines, car un seul mille répété 7 fois donnerait un produit plus grand que le dividende. On aura donc les centaines du quotient en prenant la 7' partie des 32 centaines du dividende, ce qui rentre dans le cas ci-dessus. On trouvera pour quotient 4 centaines, et il restera 4 centaines, qui, jointes aux dizaines du dividende, donneront 41 dizaines. On aura les dizaines du quotient en prenant la 7' partie de ces 41 dizaines. On trouve pour quotient 5 dizaines ; et il reste 6 dizaines, qui. jointes aux 5 unités du dividende, donnent 65 unités. On prendra la 7* partie de ces 65 unités, ce qui donne 9 unités; et il reste 2 unités. Le quotient total est donc 459, et le reste de l'opération est 2. — Dans la pratique, on dispose l'opération comme ci-dessous :

Les nombres 32 centaines, 41 dizaines, 63 unités sont les dicidend^s jmrtiels successivement employés; les nombres 28 centaines, 35 dizaines, 63 unités sont les produits du diviseur 7 par les centaines, par les dizaines, et par les unités obtenus successivement au quotient. Le second dividende partiel 41 a été obtenu en retranchant 28 de 32 et

écrivant à côté du reste 4 centaines le chiffre 1 des dizaines du dividende. Le troisième dividende partiel 65 a été obtenu en retranchant 35 de 41, et en écrivant à côté du reste 6 dizaines le chiffre 5 des unités du dividende. Enfin le reste 2 de l'opération a été obtenu en retranchant 63 de 65.

Pour abréger l'écriture on se dispense ordinairement d'écrire les produits 28, 35, 63, et l'on opère les soustractions de tête. L'opération est alors disposée comme ci-dessous:

et elle s'énonce comme il suit: le 7* de 32 est 4, que j'écris au quotient; 7 fois 4 font 28; de Zi reste 4; et je descends le chiffre 1 du dividende. Le 1" de 41 est 5, que j'écris au quotient à la suite du 4 ; 7 fois 5 font 35 ; de 41 reste 6 ; et je__ descends le chiffre suivant 5 du dividende. Le 7» de 65 est 9, que j'écris au quotient à la suite de 5; 7 fois 9 font 63 ; de 65 reste 2.

4. — Il peut arriver que l'un des dividendes partiels ainsi obtenus soit plus petit que le diviseur ; cela indique que le quotient n'a pas d'unités de l'ordre de ce dividende partiel ; on met un zéro au quotient pour en tenir la place, et Ion abaisse le chiffre suivant du dividende pour former un nouveau dividende partiel de l'ordre immédiatement inférieur. Soit, par exemple, à diviser 3562 par 7.

3562 I 7 ou 3562 1 7

Le 7^ des 35 centaines du dividende est 5 centaines, et il reste 0; à coté de ce zéro on descend le chiffre 6 du dividende, ce qui donne pour dividende partiel 6 dizaines; ce dividende partiel étant moindre que le diviseur 7, cela indique que le quotient ne contient pas de dizaine ; on écrit 0 au quotient pour en tenir la place, et l'on abaisse le chiffre 2 du dividende, ce qui donne pour nouveau dividende pirtiel 62 unités. Le 7= de 62 est 8, que l'on écrit au quotient ; et il reste 6 unités. On a figuré l'opération, d'abord en écrivant les produits des divers chiffres du quotient par le diviseur, et secondement en ne les écrivant pas.