laquelle dépasse le premier extrême et est

dépassée par le dernier d’une même portion, qui dans notre exemple est le tiers, ou, pour employer le langage de l'algèbre, moyenne dans laquelle, étant donnée la proportion A:B::B:Cona B—A+*—C—°".

A ces trois moyennes dont Jamblique * attribue la pratique à Pythagore et à ses disciples, Eudoxe de Cnide, contemporain de Platon, et les mathématiciens de la même époque ajoutèrent trois autres moyennes dont M. Nesselmann a rapporté le détail avec celui de quatre autres subséquentes *. En voici la simple nomenclature :

Cette grande variété de moyennes numériques servail principalement à définir les rapports des sons dans la musique mathématique [HARMONIQUE|].

Les Grecs calculaient le carré des nombres, ce qui s’appelait rerparyoviteu et leur cube xu6tYeiwv. Quant à l’extraction de la racine carrée, on a lieu de croire qu’elle se CE de la même manière qu'aujourd'hui.

Il paraît * que le second livre de Pappus était en entier consacré à l'explication de ce qu’Apollonius de Perge avait fait de nouveau en arithmétique : peut-être le premier contenait-il les règles de l’arithmétique vulgaire.

Voyons comment les Grecs anciens expriment, soit par des mots, soit par des chiffres alphabétiques, les principales fractions.

I. Commençons par les sous-multiples, xo)}ootnuopex, multesima, c’est-à-dire par les fractions plus petites que l'unité et qui ont 4 pour numérateur. Voici les noms

# L. c. p. 30. — 17 Les facteurs : +à #hpé, le produit : — 18 Diviser, se disait encore pupisuv, parpuiv ; diviser par deux, &êiya oyisev. — 19 Theon. Smyrn., ed. Boulliaud, p. 180. — 20 Édit. Teunulius, p. 141. — 31 A/gebra der Griechen, p. 215. — 2? belambre, L. c. p. 33. — 33 C'est abusivement que la typographie grecque affecte cct accent à la représcnation des nombres cutiers.

TO 7LvOpEVIVe

— 427 — ARI

grecs ct latins de quelques-unes de ces fractions, de celles qui ont les plus petits dénominateurs.

L 2 L2 L2 | #uov, démidium, 7?

La ’ 0 { tpitov (SC. mépoc) OÙ Tprrnuoptov, ér'iens, -, , / Ù TÉTApTOV OÙ TETapTNUIpLov, QUAGrANS, :, ExTOv OU ÉxTUOpOV, SCTLANS, + ; ; { REMTTOV OÙ REUMTTAUOPIOV, QUENÉA pars, —, )

. : | E3opnv OU Értauoctov, seplima pars, =,

i i 8y3oov, octans, = et de mème, ÉvvuTo”, 9°

SEX ATOV, ms Ctc.

À l'exception de la fraction . dont le signe grec est Z,

ou Z, les fractions dont le numérateur est 1 sont représentces par le chiffre alphabétique grec du dénominateur,

mais surmonté d’un accent à droite. Par exemple : est

représenté par &’ et : par &’ *. Quand le numérateur, in-

férieur au dénominateur, est supérieur à l’unité, on exprime ce numérateur devant le sous-multiple : ào pcrnpogea, deux tiers, rplax érrauopta, trois seplièmes.

Pour représenter ces fractions, le chiffre du dénominateur avec un accent à droite s'écrit au-dessus de celui du numérateur surmonté d’une barre, ou bien le chiffre du dénominateur s'écrit simplement au-dessus de celui du

ta

e. L 3 t L e e 9 LU numérateur. Ainsi s ou bien $ signifient s-. Mais plus

souvent on décompose la fraction en deux ou plusieurs fractions dont chacune a pour numérateur 1 : par exemple,

et à représentés par Z,, E. Quelquefois on arrive à cette décomposition au prix d’une

33 { on décompose = en =

petite inexactitude; par exemple, Eutocius décompose .

en =. et =, représentés par ç,4, en négligeant en moins *,

IT. Passons aux nombres fractionnaires plus grands que l'unité. Ces fractions, dont le numérateur surpasse le dénominateur, se représentent en grec soit comme les autres fractions, en mettant le chiffre du dénominateur au-dessus de celui du numérateur, soit en mettant à la suite du chiffre représentant l’unité ou les unités comprises dans le nombre fractionnaire, le chiffre de la fraction qui

existe en plus. Ainsi : sont représentés par $ ou bien

par «y, et = par t ou bien par y Z,. Mais, dans le langage, il y a/pour certains nombres fractionnaires plus grands que l’unité des expressions spéciales qu’il est bon d’indiquer.

1° Nicomaque * et Boèce * nomment nombres superpartients (érmepeis d&sfuot, superpartientes numeri), les numérateurs dans lesquels les dénominateurs sont contenus une fois plus une fraction quelconque. Quand cette fraction excédante a pour numérateur 14, ils nomment énuuopto, superparliculares, les numérateurs des fractions primitives, et alors il y a des mots spéciaux pour désigner

{ 1 15 at 7 45 7 fr + + = ‘: D es Le RE s 745. TT Re «(à 5)= (a 5) = QU — 30? "6 cu ï 450 ASS ? | Y60 LE mm 22 5 Se 2 2 + . En efet (5 " nn) D ua = 1920 vu Arithm. 1, 19-20.

— 1 Do 1, 24 23.

ARI

dans ces fractions les rapports des numérateurs aux dénominateurs. Ces mots sont par exemple :

Aokos (de Âge, SXov, un demi, un entier), sesquialter, À : = ï,

énitprros (tpivov, fiers, èni, en plus), sesquitertius, 1 =, éncyô00ç (éySoov, huitième, ért, en plus), sesquioctavus, 1 à =;, éntôéxutos (Ôéxatov, dérième, ëni, en plus), 4 — Lun,

{au Les neutres de ces adjectifs désignent la valeur du nom-

bre fractionnaire : +ù fdAuov, Æ Tù niTpitov, D; rù ËrOY- 60ov, D; TÔ ÉTÔEXATOV, D.

2° Quant aux nombres fractionnaires qui contiennent plusieurs entiers, plus une fraction dont le numérateur est 4, les Grecs ont aussi des expressions spéciales pour quelques-uns d’entre eux. Par exemple, ils disent : f#uou

TpitTov, OU utoutprov (un demi, 3°, après deux entiers),

1+1+ = 3 fpuou téraproy Où fuerutétaprov (un demi,

4°,aprèstroisentiers),1 +4 + 4 + . = - ®, é60opov hpra-

Acvrov (un demi-talent, 7°, après 6 talents), 6 talents . Le

Quant aux puissances des nombres, les Grecs nommaient tetpæyuvos (éptôuds), carré, ce que nous nommons 2° puissance où carré d’un nombre, et ils nommaient x66o+, la 3° puissance ou cube. Mais quelquefois ils donnaient aussi à la 2° puissance le nom de &éveus, et le verbe Süvacûœ, avec un nom de nombre pour complément direct, signifiait avorr pour carré ce nombre, comme on le voit dans Platon *. Ainsi, pour dire que 2° — 4, au lieu d’employer le mot rerpéyuvos, on disait quelquefois, soit : rù êvo Guvaper dort tétrapæ, Où bien : xurà Güvaulv are térrapa, soit : ta OUo Éuvatar TÉtræpa ; et de même, pour dire que 3° + 4 — 5°, l'on pouvait dire : tà mévre ioov Oüvarur roïg Tpiot xai <oïs térrapot. C’est pourquoi, appliquant à la géométrie ces expressions arithmétiques, on disait, en parlant de l’angle droit d'un triangle rectangle, par exemple du triangle dont les côtés sont entre eux comme les nombres 3, 4 et 5, que l’hypoténuse de cet angle loov düvatar vais tepre- {ovoats, d’un carré égal à ceux des deux côtés qui le comprennent #.

Les Grecs connaissaient-ils l'algèbre? Ils ignoraient celle dans laquelle les quantités connues elles-mêmes sont représentées par des lettres choisies arbitrairement. Mais ils n'ignoraient pas une algèbre dans laquelle les inconnues seules étaient ainsi représentées. Ils n'avaient pas de mot spécial pour désigner cette partie de l’arithmétique ; mais Diophante, mathéimaticien d’Alexandrie, avait composé une arithmétique en treize livres, dont il nous reste les six premiers et dans laquelle figure un véritable système de méthodes algébriques, notamment la résolution des équations. À ce point de vue, la logistique faisait le sujet de son ouvrage, ainsi que l’a remarqué Nesselmann *. De plus, comme Diophante enseigne particulièrement la résolution des équations indéterminées, ses démonstrations se rattachent plutôt à la théorie des nombres, et l’auteur

#7 Voyez + imôlxaroy dans Arist, Oeconom. 11, p. 1346 B, 33. — 28 De même en latin, sestertius est pour semistertius (%yiou reitov), 2 as à, valeur primitive du sesterce, voy. Varro, De ling. lat. V, 173 (AI. IV, 36), p. 48, éd. Egger, Paris, 1837, et Priscian, De ponder. p. 1347; Cf. Facciolati, Latinitatis lexicon, s. v.

Semistertius, éd. allemande, 1835. — 29 Voyez Semis quartus () dans Varron, L. c.

= # Pour toutes ces capressions, voy. le passage grec de Priscien, II, p. 395, éd.

ARI

lui-même a pu, à bon droit, employer le mot grec qui désigne cette théorie, &pôunttxr. |

Peut-être ne sera-t-il pas sans intérêt de faire connaître ici la terminologie employée par Diophante dans la partie de son ouvrage consacrée à l’analyse *. Il désigne l’inconnue par le stigma surmonté d’un accent &' ou 6”, et la nomme en toutes lettres le nombre, 6 äpôuos % ; le signe & est redoublé 65, si le coefficient de l’inconnue est supérieur à l'unité. Le carré de l’inconnue est appelé puissance, Guvaus, terme qui, dans Euclide, désignait déjà le carré numérique et dont le signe est ; le cube de l’inconnue est appelé cube, xv6s; il a pour signe x ; la 4° puissance de l’inconnue est appelée SuvauoSüvauts, comme qui dirait, carré du carré, et représentée par le signe ô® ; la 5° puissance, Ouvauoxu6os, Comme qui dirait, cube du carré, ôx; la 6°, xv66xu60, cube du cube, xx5. Diophante n’a pas besoin d’aller plus loin; ainsi le mot ôtveus désigne plus spécialement le carré de l’inconnue : le carré d’un nombre connu garde habituellement le nom de setptyuvos.

La multiplication n’a pas de signe particulier : l’opération se fait quand elle est praticable; dans le cas contraire, le coefficient de l’inconnue se place immédiatement après le signe ç ou çç; par exemple <ë & signifie 7x ; 656, 9x3, etc. La division est dans le même cas; si elle ne donne pas un résultat exact, on obtient nécessairement et l’on exprime un nombre fractionnaire. L'addition s’énonce par la simple succession des nombres qui doivent former une somme ; seulement le nombre d'unités connues est toujours précédé du signe m5, abréviation du mot movas, unrfé. Enfin la soustraction a pour signe le $ retourné ou À, qui est une abréviation de }eibe, datif de ksïbu, auquel est affectée la signification de notre moëns. La Àeïkuw marque donc le plus petit des deux termes d’une soustraction. Voici un spécimen du langage numérique employé par Diophante *, avec la traduction en signes modernes :

555 0.%e wo à À xÿô <eB Ori Gr?+ 1 — Ars — 127.

On voit que tous les termes formant la partie positive (Ürapäts) sont réunis dans la première portion de l'équation ; par suite, les termes négatifs forment un second groupe, Mb, séparé du premier par le ÿ retourné, et dont par suite les différents membres n’ont pas besoin de recourir à ce même signe pour être déduits les uns des autres.

Avec les mots énumérés plus haut, ôtvams, xü6oç. etc., on a formé des adjectifs ordinaux employés substantivement à titre de dénominateurs : tels sont les mots : vo ôuvaootov, Tù xubootov, Tù Ouvaouvauootév, td Guvauoxubostov et enfin vo xu6oxv6oatov. L'inconnue ainsi désignée est le dénominateur d’une fraction qui a pour numérateur les nom-

Le A: = = 1 1, bres connus placés à sa suite; exemple : éptôpoorov à.aP -2! CA

Diophante abrége encore de la manière suivante :

pe 0 À ç°5 asia 7 |

Lorsque les calculs se compliquent, il ne place pas le

Krchl, cité dans la nouvelle édition française du Thesaurus graerae linguae,aux

"mots pions, fpiou toitov ct Sue récapgtor. — 31 Theael. p. 147 D, 148 B. Voir aussi

les jeux de mots de Platon, Polit., p. 2668. — 3% Dans Euclide (passim) une ligne peut un carré lorsqu'elle est prise pour côté de ce carré. — 5 A!gebra der Griechen, p. 44. — 3% Pour les développements, voir Nesselmann, Algebra der Griechen, p. 294 et suiv., bon guide en ces matières. — 35 Ne faut-il pas voir dans ce Ç une altération de la lettre &, initiale du mot Enrobpevos [àp:hué;] le nombre en queslion? — 96 IV, 29,

2 —— st —= ———

dénominateur un peu au-dessus du numérateur, mais simplement à la suite, en les séparant l’un de l’autre par les mots & uoplu ou poptor. Exemple :

ai+r+s8

è ai +z°

Quant à notre signe d'égalité — qui sépare les deux termes (mépn, icwæe) d’une équation, il n’a pas son équivalent chez les Grecs, qui rendent l’idée par l’emploi pur et simple du mot ic.

Avant de quitter l’arithmétique des Grecs et sans attendre le moment de nous arrêter sur la question de l’abacus numéral, rappelons que M. Rangabé a signalé, en 1846, la découverte, dans l’île de Salamine, d’une table de marbre longuc de 1",05, large de 0,75, dont il a été donné ailleurs * une description détaillée et une représentation, et à laquelle on a cru pouvoir assigner le double rôle d’une table à calcul et d’un échiquier comparable à notre jeu de trictrac. Voy. à l’article ABACUS, p. 2, fig. 3.

Arithmétique chez les Romains. — Leur système de numération n'avait rien de particulier. Cependant il y a lieu de croire, d’après les recherches de M. Chasles*, qu’ils procédaient par séries ternaires et non quaternaires comme les Grecs. « La nomenclature, dit-il, dans le système de l’abacus, dès le temps de Boëèce, se réduisait aux termes unités, dizaines, centaines et mille qu'on répétait indéfiniment. » Par conséquent, mille devenait l’unité d’une nouvelle classe comprenant mille, dix mille, cent mille, et ainsi de suite.

La numération écrite n’avait que cinq signes dont quelques-uns représentaient, suivant une remarque faite seulement de nos jours *, les diverses dispositions des doigts; tels sont les chiffres 1 (1), v (5), x (10), formés de 2 v réunis par leurs pointes ; venaient ensuite L (50), € (400), 19 (500) devenu depuis p et c19 (4,000) ou M.

On voit que dans ce système, pas plus que dans celui des Grecs, aucune part n'est faite à la position relative des chiffres entre eux, à part cette circonstance que tel chiffre placé devant un chiffre supérieur ôte à celui-ci la valeur du premier. Exemple : 1v=— v moins 1.

Les fractions, dans l’arithmétique commerciale des Romains, étaient toujours rapportées à l’asqui donnait son nom à l'entier quel qu'il fût, et se divisait en douze parties égales appelées onces, unciæ ; 16 as formaient un denter, denarius.

Da. go &. pô n proplou à & EŸ à