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Igin Andras Ormis Arbas Quimas Caltis Zenis Trmenias Calentis

Ces noms sont donnés par Gerbert, mais il ne s’en sert pas, tandis que Gerland et Radulphe de Laon les introduisent dans leurs explications de l'abacus.

Un dixième signe (A) appelé sipos figure dans les ma-

nuscrits de Boèce (seulement dans le tableau) et dans le texte postérieur relatif à l'abacus. Nous reviendrons tout à l'heure sur ce signe.

M. Vincent, dans un travail ® qui complète les recherches de M. Chasles, attribue aux noms qui accompasnent les apices de Boèce des étymologies très-plausibles qu'il emprunte au grec et à l’hébreu (aucune à l'arabe), et dont le caractère néopythagoricien ct gnostique fait bien voir que le 1°" ou le 11° siècle après notre ère cest l'époque où ces dénominations furent introduites dans l'arithmétique.

Boèce expose en quelques lignes la manière d'employer l'abacus S. Le chiffre des unités (singularis), multiplicateur d’un chiffre de dizaines (decent), placera les unités de son produit (digiti, ruôueves) dans la colonne des dizaines et les dizaines de son produit dvæloyor (articuli}, dans la colonne des centaines. Tel est, on le voit, le principe de la numération écrite chez les modernes. Il faut remarquer en passant, la signification toute spéciale que reçoivent ici les mots digiti et articuk.

Prenons dans les textes du moyen âge un exemple de la manière d'employer l'abacus. Nous l’empruntons à un anonyme découvert, publié, traduit et commenté par M. Chasles ®, Soit 4,600 à multiplier par 93.

& Des nolations scientifiques à l'école d'Alexandrie, dans la Rev. arch. t. I, 1845-46. Voir aussi Notices et Extr. des manuscrits, t. XVI, 2 part. p. 143. — 5 Ars geometrica, éd. Fricdlcin, Lips. 1867, p. 393.— Cette édition se recommande par les variantes des neuf plus anciens mss. de Buëce. Cp. sur les signes numériques au moyen ägc la fig. { de ma notice sur Deux morceaux inédits de Gecrges l'achymère sur l'arc en ciel, Lurand, 1873. — 68 Ærplic. des traités de l'Abacus, dau: les

Muiltiplicande 4600.

1800, produit de 600 par 3.

12,000, produit de 4,090 par 5.

12,000, produit de 600 par ‘0.

80,000, produit de 4,007) par 20.

105,800, total des produits.

Multiplicateur 23,

La division se faisait également, avec la mème table, en observant toujours la précaution de maintenir chaque ordre d'unités dans la colonne qui lui est affectée. 11 en est de même de l'addition et de la soustraction.

Le zéro était en usage dans l'arithmétique grecque ct romaine sous la forme de l’omicron pour marquer la place des degrés, minutes et secondes qui manquent dans l'expression d’un nombre astronomique. Il a été introduit sous le nom de sipos, selon M. Chasles, par quelques disciples de Gerbert, au x° ou au xi° siècle, puis sous celui de cefra (rtizpx dans Planude), en hébreu 93%, couronne, enfin sous celui de zéro, en hébreu "T7, petit rond, en latin rotula. Mais nous dirons avec M. Vincent que l'introduction du zéro dut coïncider avec l'emploi du mot algorisme et que par conséquent ce signe n'apparut sans doute que vers le milieu du xrr° siècle, époque où les colonnes verticales sont supprimées ainsi que la table couverte de poudre, laquelle est remplacée par le papier ou la membrane de parchemin en arabe gokr et, avec l’article, al-gokr.

Au premier abord on pourrait s'étonner de voir le passage de Boèce relatif à l’abacus, placé dans son traité De geumetria dont il termine le premier livre. M. Chasles * a justifié cette apparente anomalie en faisant la remarque que le second livre de ce traité a pour sujet la géométrie pratique, l’art des gromatici ou arpenteurs romains. Il ajoute que son traité De arithmetica ne présente aucune méthode pratique et qu’il ne roule que sur l’arithmétique spéculative, comprenant, comme l'arithmétique de Nicomaque dont il est une sorte de traduction-paraphrase, les propriétés des nombres avec la théorie des diverses espèces de proportions.

Dans les écrivains latins des x1° et x11° siècles, on rencontre le verbe abacizare .

Indépendamment des représentations de l'abacus insérées dans la géométrie pratique de Boèce, on connaît quatre exemplaires en nature de cet appareil : 4° Abacus métallique, ayant appartenu à Velser * ; 2° abacus romain ayant appartenu à Ursinus ‘; 3° abacus romain aujourd'hui au musée Kircher # (V. ci-dessus p. 2, fig. 2, au mot ABACUS) ; 4° abacus romain aujourd'hui au cabinet des médailles de Paris ®. Pour l'emploi mécanique et les variétés de l'instrument, nous renvoyons à l'article ABAcuSs. Nous nous bornerons ici à expliquer sommairement la figure de l'abacus que nous reproduisons (fig. 521) d'après Gruter, en renvoyant, pour plus de développements, à un travail

Compt. rend. de l'Acad. des sciences, janvier et février, 1843. — 57 Système de l'Abacus, p. 24.— 18 L. c. p. 25. — 59 Marquardt, Æôm. Privatalterth. 1. 1, p. 100. — (0 Publié dans ses œuvres {Norimberg. 1682, p. 819), et reproduit par Gruter, p. 224, ct par Piguorius, De servis, Amstel. 1674, p. 165 ct p. 340. — 61 Mal dessiné dans Pignorius, /. ce. p. 339. — 64 Garucci, Bull. napolit. N.3, 1, 1553, p. 93, tax. ve. — 6% Décrit dans du Moliuct, Cabinet de Saintc-Genrviive, Paris, 1602, p. 23, pl. ss

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spécial de M. Vincent *, accompagné de la même représentation. L’abacus en question consiste en une plaque

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de métal percée de rainures oblongues dans lesquelles glissent à frottement des boutons ou clous à deux têtes, Toutes les rainures inférieures, excepté la première à droite sur laquelle nous allons revenir, portent quatre boutons qui, éloignés de la rainure supérieure, sont au repos et, rapprochés de celle-ci, valent chacun une unité de l'ordre déterminé par le rang de la rainure. Le signe I indique la rainure affectée à l’ordre des unités, X, celle des dizaines, et ainsi de suite. Quant à la rainure notée O, ses boutons, qui sont au nombre de six, valent chacun un douzième d'unité ou d’as, c’est-à-dire une once. Les rainures supérieures portent chacune un bouton qui, éloigné de la rainure inférieure correspondante, est au repos, mais, rapproché de celle-ci, vaut cinq fois chacune des unités qu’elle exprime. Toutefois le bouton de la dernière rainure supérieure a une valeur sextuple de l’once représentée par chacun des boutons de la rainure correspondante. Les trois petites rainures servent à l’expression de la demi-once, du quart d'once et du tiers d'once.

M. Th. H. Martin % croit que l'abacus fut inventé par des Grecs d'Alexandrie, qui trouvèrent dans le système numératif de l'Égypte les chiffres tels qu'ils sont reproduits par Boèce, et sans valeur de position, mais «surtout au profit des peuples latins, qui en avaient grand besoin à cause de l’incommodité de leur numération. » D'autre part, les Arabes empruntèrent aux Indiens un système de numération semblable au nôtre quant à la valeur de position donnée aux chiffres et à l'emploi d’un

Fig. 521. Abaque a calcul romain,

6 Rev. archéol. 1846, t. III, p. 401 : Lettre à M. Letronne sur un abacus athénien. Notre figure représente une application de l’abacus de Gruter, d'après l'exemple donné par M. Vincent. — 65 JZis{. de l'arithm. dans la Rev. arch. t. Il, p.597. — 6 Z. c. p. 603. — 67 Notices et extr. des manuscrits, t. XVI, 2° part. p. 360. — Bisiocnarsie. Fuclidis £lementa ex oplimis libris in usum tironum graece edila ab E. F. August. Berol. 1826 (l'éd. princeps est de Bâle, 1533, in-folio). Les livres VII, VII et 1X sont consacrés à l’arithmétique : Boethii Liber qui fertur de geumrtria, éd. Friedlein, 1867 in-12; Gerbert Constantino suo epistola (Bedae opera), Bail, 1563, p. 159 ; cf. Oeuvres de Gerbert, éd. Olleris, 1867; Max. Planudi, Ynçozçia xaz' ‘Ivôcrç, Calcul indien (c'est-a-dire traité grec d'arithmétique pratique avec la valeur de position, les neuf chiffres dits indiens et le zéro), éd. de M. Gerhardt, Halle, 1865; J. Fr. Weidler, Dissert. de characteribus numerorum vulgaribus et eorum aetatibus, Viteb. 1827 ; Spicilegium observationum ad historiam notarum numeraliunm pertinentium, Viteb. 1775; Delambre, Arifhmétique des Grecs, dans son Histoire de l'astronomie ancienne, t. 11, p. 13-31; J. von Dricberg, Die Arithmelik der Griechen, Leipz. 1819, 1821 ; Aug. Bæœckh, Philolaus des Pythagoreers Lehren, Berol. 1819; voir aussi du mème auteur, l’Zndex lectionum pour 1841 ; Chasles, Aperçu hist. sur l'orig. et les développ. des méthodes en géométrie, Bruxelles, 1837, p. 465 ; et Communication faite à l'Acad. des sciences de Paris en 1839; G. IH. F. Nosselmann, Die Algebra der Griechen, Berlin, 1842 lune bibliographie

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signe pour marquer l'absence d'un ordre d'unités.

Le même savant“ pense avec Al. de Humboldt et Reinaud que ce système fut pratiqué dans l'Inde dès le v° siècle de notre ère, que les Arabes le leur empruntèrent définitivement vers le vu, et que la méthode de l’abacus a fini, en se perfectionnant, par se fondre avec la méthode indienne importée par les Arabes.

M. Vincent a publié et traduit un texte emprunté par u1 compilateur byzantin aux Cestes de Jules l’Africain % et contenant, sur la manière de transmettre télégraphiquement des indications numériques par des feux allumés de distance en distance, une explication d'après laquelle le chiffre placé à la droite de l'observateur était une unité, le deuxième à gauche une dizaine, le troi ième une centaine, etc. Il est difficile de croire, quoi qu’en dise M. Martin, que cette invention ne se rattache que de loin à l'emploi de l’abacus, avec lequel son analogie est manifeste.

Cu.-Eu. RuELce.

ARMA. — Armes de toute espèce, offensives ou défensives ; on trouvera la description des différentes armes et les explications relatives à leur usage, aux articles placés sous leurs noms respectifs. Voir à la fin de cet ouvrage l'Index par ordre de matières.

ARMAMENTA.— Instruments, appareils, outils servant pour un but quelconque; cette expression est employée le plus ordinairement pour les agrès et objets de tout genre qui composent l'armement d'un navire *[NAvis|.

ARMAMENTARIUM (Zxevoüñxn, éxhofñxn, arsenal). —

I. Les acropoles desanciennes cités grecques renfermaient des amas d'armes (6noxupol 8mwv) : c'était la place naturelle de pareils dépôts. Nous savons que l'orateur Lycurgue et son collègue Démocharès furent loués par décrets publics pour avoir renouvelé, lorsqu'ils furent chargés des affaires de la guerre, l'approvisionnement d'armes et de munitions d'Athènes !. Mais toutes les armes n'étaient pas certainement placées dans les acropoles; des arsenaux furent construits ailleurs, quand toute la défense des villes ne se renferma pas dans une hauteur fortifiée. Les villes maritimes eurent des arsenaux (oxevoôñxr) où l'on conservait tout ce qui était nécessaire à l'armement des vaisseaux *. De très-anciennes inscriptions * mentionnent celui d’Athènes au Pirée. Après la guerre du Péloponèse, il fallut en construire un nouveau, œuvre magnifique de l’architecte Philon, terminé précisément sous l'administration de Lycurgue *, et détruit par Sylla lorsqu'il prit Athènes. C'est sans doute dans l'arsenal du Pirée que l’on gardait les machines de guerre, dont Miltiade fit déjà usage à Paros

analytique de la question et même des mathématiques en général est placée en tête de l'ouvrage) ; Bœckh, Attische Rechnungsurkunde in Monatsbericht der Wissenschaft. zu Berlin, 20 oct. 1953, p. 557-597; Th. H. Martin, Hist. de l'arithmétique, dans la Rev. archéol. t. XNI, 1856 (et tirage à part) ; A. Pihan, Exposé des signes de numération usilés ches les peuples orientaux anciens et modernes, Paris, 1$60 ; Moritz Cantor, Afathematische Beiträge sum Culturleben der Vôlker, Halle, 1863; Th. H. Martin, Les signes numéraux et l'arithmèétique chez les peuples de l'antiquité et du moyen dge ; examen de l'ouvrage de M. Cantor, Extrait du tome Y, no’ 5 et 6 des Annali di matematica pura e applicata, Rome, 1864, VI, 103 p., DrG. Friedlin, Die Zahlseichen und das Elementare Rechnen der Griechen und Rômer und der christi. Abendlander, Erlangen, 1869.

ARMAMENTA. 1 Plin. Jist. nat. XVIL, 21, 35; XVIII, 11, 29; Orelli-Henzen, 2552, — 2 Plaut. Merc. 1, 2, 80; Cic. Orat. Colum. IX, 3, 1; voy. aussi Tit. Liv. XXVIIL, 45.

ARMAMENTARIUM. 1 Plut. Vif. dec. or. p. 852 C; cf. Paus. I, 29, 16. — 2 Bekker, Anecd. gr. 1, 303; Phot. Lez. s. v. t. Il, p. 161 Naber. — 3 Bôckh, Urkund. über das Seewesen des atlisch. Slaats, p. 68. — # Strab. IX, p. 606; Vitr. VII, praef. 12: Plin. Aisf. nat. VII, 37, 38; O. Müller, De munim. Athen. Comm. 11, 1836, etin Aunstarch. Werke,1873,t. 1V, p.115; Meier De vita Lycurgi, Halle, 1847, p. xxiv.

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et dont l'importance ne fit que croître jusqu'au temps de Démétrius Poliorcète. Nous connaissons encore par les auteurs les arsenaux de quelques villes grecques, comme celui de Syracuse, abondamment pourvu d'armes et de machines *; ceux de Corinthe, de Rhodes, de Cyzique, de Marseille, etc.

Il. Dans un discours que Tite-Live ? met dans la bouche de Persée, la richesse des arsenaux des Macédoniens est opposée à la pauvreté du soldat romain qui n’a d'autres armes que celles qu'il avait pu se procurer lui-même; mais il ne faut voir dans ces paroles qu'une exagération oratoire, qui avait pour but d’exciter le courage des Macédoniens. Cicéron parle d'un arsenal d'où l’on tire des armes'; et Tite-Live lui-même fournit la preuve °* que, sous la république, les armées romaines en campagne avaient des arsenaux où l’on gardait et où l’on fabriquait des armes. La nécessité le commandait ainsi. Après l'invasion des Cimbres en Provence, on amassa à Marseille une très-grande quantité d'armes et de machines de guerre",

Il y eut de pareils dépôts sous l’empire'!, à Rome, en Italie et dans les provinces, soit dans les villes, soit dans les campements permanents‘, et aussi dans les ports pour renfermer toutes les pièces [ARMAMENTA] nécessaires à l'armement des vaisseaux.

Leur personnel comprenait, outre les ouvriers partagés en décuries ®, des employés chargés de la comptabilité, scribae armamentart !*, placés sous la direction de l’AR- MORUM CUSTOS Ou du MAGISTER OFFICIORUM *. Une inscription mentionne aussi un architectus armamentarir.

E. Sacuio.

ARMARIUM (’Apuapuov, rupyioxos, mixn). — Ce nom désigna d’abord, chez les Romains, comme sa forme l'indique, le réduit ou le meuble où l’on enfermait les armes; mais de bonne heure, à ce qu'il semble, il fut étendu à toute espèce d’armoire, quel qu’en fût le contenu, armes, vêtements, provisions, vaisselle, bijoux, numéraire, objets de toutes sortes ?. On trouvera en leur lieu les explications relatives à certaines armoires dont la destination était toute spéciale, comme celles où l’on serrait les livres [BIBLIOTRECA], où étaient placées les images des ancêtres

Fig. 522. Armoire dans une boutique de cordonnier.

[IMAGINES MAJIORUM|, etc. Il suffira de montrer ici par des exemples que ces meubles étaient bien analogues par leur

8 Ael. Var. Hist. VI, 12; Thuc. VII, 25; Diod. XIV, 42. — 6 Xen. Hell. IV, 4, 19; Strab. XIV, 2, 5, p. 653. — 7 XLII, 52; cf. XXXI, 93. — 8 Cic. Pro JHabir. 7; Varr., De ang. lat. V, 128. — 9 XXVI, 51; XXIX, 22 et 35. — 10 Caes. Lel/l. civ. HI, — 11 Herodian. Vil, 29; Tac. Hist. 1, 80; Orelli-Henzen, 975, 35X6. — 12 Gruter, 100, 7.— 13 Gruter, 2N3, 5. — 14 Cf. Senec. De trans. an. 3,5: « Qui armamentario praecest.. in pumerum stipendiveum vescit. » —15 Orelli-Henzen, 6795.

ARMARIUNM. 1 lsid. XV, 5. — % Cat, De re rust. 11,3; Plaut. Æpid. 11, 3,3; Alen. 111, 3,8 Capt.1V,4,10; Cic. Pro Cluent. 64; Pro Cael. 21 ; Vitr. VIL, pracf. :