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voit, un bélier sur le dos, le pedum dans la main, entoure de brebis et de poissons 3I. Deux bronzes du musée du Louvre32, dont un est ici reproduit (fig. 519), le représentent de même portant un bélier sur ses épaules et vêtu comme un jeune berger.

Nous citons, sans les décrire, quelques vases peints dans lesquels on a cru reconnaître le personnage d’Aristée, mais sans aucune certitude 33.

Sur les monnaies, le plus souvent la tête seule d’Aristée est figurée; elle est imberbe ou barbue, laurée, quelquefois dans un cercle de rayons, et offre la ressemblance soit de Zeus (fig. 520), soit d’Apollon. On y voit aussi d’autres fois Sirius figuré par un chien entouré de rayons. Ces monnaies, pour nous borner à une énumération rapide, appartiennent à Céos en général, aux villes de cette île,

Ioulis, Carthaea, Coresos ou Coresia ; à Sicinos, à Corcyre, à Zacynthe ; aux îles illyriennes de Issa et de Pharos ; enfin à N aples u. K. Blondel.

ARISTOCRATIA. — Les théoriciens grecs, qui admettaient trois formes principales de gouvernement : la monarchie, l’oligarchie et la démocratie, reconnaissaient d'autres formes moins caractérisées, qu’ils intercalaient entre les précédentes. Parmi celles qu’ils plaçaient entre l’oligarchie et la démocratie était l’aristocratie (apta-roxpxua).

L’aristocratie, c’est-à-dire le gouvernement confié aux meilleurs des citoyens, peut, en effet, suivant le point de vue auquel on se place, être regardée comme une modification de la démocratie, comme une oligarchie, ou comme une modification de l’oligarchie.

Que l’on suppose un pays où tous les citoyens, sans distinction de naissance ni de fortune, sont admissibles aux plus hautes magistratures, mais où la constitution prend des mesures rigoureuses pour que les citoyens les plus méritants et les plus capables puissent seuls y être appelés : le gouvernement sera une démocratie tempérée par l’impossibilité pour les incapables et pour les indignes d’être dépositaires du pouvoir. Ce sera aussi véritablement une aristocratie *.

Mais il arriva très-fréquemment que les classes nobles ou riches posèrent en principe qu’elles avaient pour elles une présomption de mérite et de capacité. Les nobles se désignaient volontiers sous les noms de xodol xàyaôoi' -, de ffOortcrrot, d’sTuetxei;...., tandis qu’ils donnaient à leurs concitoyens des classes inférieures les épithètes de xaxof, •rcov'ppoi, SetXot... «La richesse, dit Hésiode, a pour compagnons le courage et la vertu 3. » « Les nobles, dit Aris-

31 Pacho, Voyage dans la Cyrénaïque, pl. li. — 32 De Longpérier, Notice des bronzes ant. du Louvre, n° 499 et 500. — 33 Elite des monum. céramogr. III, pl. lxviii, p. 138, 139, 186, 187; et, pour la seconde interprétation. Gerhard, Auserl. Vasenb . I, taf. xlii ; Panofka, Cabinet P ourtalès, pl. xxi ; De Laborde, Vases de Lamberg , II, p. 37, -vign.xi ; Élite céramogr. II, pl. cm, p. 339 ; Millin, Monum.inéd .

1, pl. v; Inghirami, Mon. Etr. sér. YI, tav. m, 5, n° 1 ; Venuti, Choix de peint, de vases, pl. lxxiv ; Raoul-Rochette, Ann. d. Inst. arch. t. YI, p. 267, n. 3 ; Elit. cér. II, pl. c, p. 335 ; III, pl. xlix A, p. 140-2, 164. — 34 Rasche, Lexic. rei nummariae ,

I, p. 1100 et s. et IY, p. 11, 904; Brœnsted, Voyages et rech. en Grèce, I, pl. iv, et les chapitres relatifs à Céos et aux autres lieux cités; Leake, Num. hell . Insul. gr. p. 5 et s. 23 et s.

ARISTOCRATIA. 1 Aristot. Politic. IY, 5, 10. — 2 Eod. loc. IV, 6, 2. — 3 Op. et Dies, 313, D. p. 36. — Politic. V, I, 3 ; cf. IV, 6, 5. — 3 Cratyl. XIII, D. I,

290 ; Menex. Y, D. I, 564 ; cf. Aristot. Rhet. I, 9,33, D, I, p. 331.— 6 Polit. IY, 5,

II. — Bibliographie. Gottling, De aristocratia veterum, Iena, 1821 ; A. P. Stanley,

On the use of the word àç.urcoxçaxia, 1846 ; H. Ilcnkel, Studien zur Geschichte der griechischen Lehre von Staat, Leipzig, 1872, p. 85 et suiv.

ARISTOPOLITEIA. Corp. inscr. gr. p. 611 : Blondel, Comptes rendus de VAcad. des inscr., 1865, p. 403.

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tote, ont reçu de leurs ancêtres la vertu et la richesse . » « Le mérite, dit Platon, est héréditaire, comme la beaute et les autres qualités. » Les classes privilégiées gouvernèrent en vertu de cette présomption qu’elles étaient les meilleures. On put dire, par euphémisme, que le gouvernement était alors aristocratique, mais, en réalité, c’était une oligarchie déguisée sous un nom de convention.

Enfin, il y a encore aristocratie, nous dit Aristote, lorsque la constitution n’accorde l’entrée des magistratures qu’aux personnes riches ou nobles, et en outre exige de ces personnes des justifications de mérite et de capacité. Le philosophe cite comme exemple Carthage 6. On peut dire qu’il y a dans ce cas une oligarchie perfectionnée.

Les nuances qui séparent ces trois espèces d aristocratie ne devaient pas être facilement saisies dans la pratique, et l’on comprend que les historiens anciens aient été souvent embarrassés pour déterminer si telle constitution donnée rentrait dans l’une ou dans l’autre catégorie. E. Caillemer.

ARISTOPOLITEIA (ApiuTOTcoXiTsia). — Titre qui se rencontre à l’époque impériale, surtout dans les villes du Péloponnèse. Ce n’était pas une charge, mais une distinction honorifique l. Elle était décernée, selon la loi, à des citoyens qui avaient exercé des fonctions considérables, les honneurs qui accompagnaient ce titre étaient accordés tantôt pour un certain temps, tantôt pour la vie. Le principal était le droit de porter une couronne dans les jeux et dans les cérémonies publiques [cnRvsopiiORiA]. P. Foucart.

ARITIIMETICA(Xpi6p)Ttx?i,XoYiffTixiQ. — Chezlesanciens, la théorie des nombres portait proprement le nom de 0tp..epLY]Tix7i, tandis que l’arithmétique pratique, le calcul, était désigné généralement, dès l’époque de Platon, parle mot ÀoyiTTixYj 1. C’est surtout a la logistique que nous nous attacherons ici.

Nous exposerons séparément l’arithmétique chez les Grecs et chez les Romains. Cette distinction est fondée uniquement sur la différence du mode de numération, car il est évident que les données fondamentales de la science ne sauraient varier avec les latitudes.

Les anciens sont unanimes pour attribuer à Pythagore et à ses premiers disciples, sinon l’invention des règles de l’arithmétique, tout au moins l’ordre et la forme scientifique 2 qu’elles ont reçus chez les théoriciens 3.

La place de l’arithmétique dans l’instruction publique des Grecs et des Romains était à peu près celle que nous lui faisons aujourd’hui, en ce sens qu elle figurait, dans l’enseignement primaire à côté de la lecture et de l’écriture. Platon lui conserve ce rang dans sa République h Saint Augustin raconte 5 l’impression fastidieuse que lui avait

ARITHMETICA. 1 Gorgias, S 18 ; Leg. VII, 817 E, 819 A ; voir aussi Dep. VIII, 536 ; Protag. 315 C.; Hipp. maj. 285 B; 139 B; Theaet. 147 D ; Isocrat. Antidos.

| 261. 2 Aristot. Metaph. I, § 5. — 3 Une tradition conservée par Diogène de

Laërte, VIII, § 14, citant Aristoxène, fait de Pythagore l'introducteur des poids et mesures dans la Grèce. Sur les services rendus par Pythagore et par son école a l’arithmétique proprement dite, tant pure qu'appliquée à la géométrie et à la musique, voir les textes du pythagoricien Philolaüs, cités et commentés par Bôckh, Philolaos des Pythagorers Lehren nebst dcn Bruchstiickcn seines Werkes, Berlin. 1819, in-8 ; surtout p. 57-S9 et p. 136-183 ; fragments réunis aussi par M. Mullach, Philosoph. graec. fragmenta, vol. II, p. I-1S (coll. Didot), et traduits en français pour la première fois par M. f.haignet dans son ouvrage intitulé : Pythagore et lu philosophie pythagoricienne, Paris, 1873, t. I, p. 226-254. Voir aussi les esoLoroû^Eva à£tO|iiYVurïj;, avec l'Eltrayw^i àçiOg-rjTixiri de Nicomaque, éd. Ast, Leipzig, 1817 ; surtout Nicomaque, I, 1, p. 67; II, 17, p. 129, et II, 28, p. 152, etc.; Théon de Smyrne, Aritlim. ch. xuv (Musique, ch. xn), p. 88 de l’édition seule complète de Boulliau, Paris, 1644; l’roclus, Commentaire sur le Ur livre des Éléments d'Euclide, prolog. I, p. 34, et prop. xlviii, p. 428, éd. Friedlein (Leipzig, 1873, iu-12), etc. (Note duc en majeure partie à M. Th.-Henri Martin, qui a bien voulu revoir et compléter cet article). — 4 L. VII. — 3 Confess. 1, 13.

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causée dans son enfance ce chant monotone, unum et unum sunt duo, etc., un et un font deux, deux et deux font quatre, psalmodié encore de nos jours dans une grande partie de nos écoles publiques.

Arithmétique chez les Grecs. — Les noms de nombres étaient l'unité, govâ;, singularis (numerus) 6, la dizaine (hxâ<;), decenus, la centaine, éxato a-njç, centenus, le millier, -/Aid? et yiXiocTu;, millenus, et les dix-mille, uuptaç, decies mdlenus. Arrivé là on comptait par dizaines de myriades, centaines de myriades, milliers de myriades et myriades de myriades (cent millions); le milliard se disait dix myriades de myriades, et dix trillions ou dix mille milliards, une myriade de myriades de myriades. Apollonius de Perge simplifiait le terme myriade de myriades, en disant myriade double et désignait le nombre par deux g; de même la myriade de myriades de myriades prenait le nom de myriade triple. C'est ainsi que nous donnons aux nombres carrés l'exposant 2, aux cubes l'exposant 3, etc. On voit que depuis 1 jusqu’à la myriade exclusivement, le nombre peut avoir quatre chiffres, depuis la myriade jusqu’à la double myriade exclusivement quatre nouveaux chiffres. Cette série de quatre chiffres ou tétrade (vETpaç, quaternio) formait ce que l'arithmétique moderne appelle quelquefois classe ou tranche ; seulement le groupe dans notre numération ne comprend que trois chiffres.

Au lieu des caractères 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, t)

les Grecs employaient pour exprimer les unités, les lettres a, p, y, S, s, ç, Ç, r;, 0 Pour les dizaines, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90

Pour les centaines, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900

P, ri ri ri «P. w> ^

Tels étaient les seuls caractères numériques employés par les Grecs. Pour distinguer les chiffres alphabétiques des lettres proprement dites, on traçait sur les premiers un trait horizontal, ou du moins c’est le signe distinctif que renferment les manuscrits. Quant à l’accent aigu, on verra plus loin quelle en était la destination en arithmétique. Les neuf premiers recevaient une sorte d'iota souscrit, placé un peu à gauche pour désigner 1,000, 2,000, etc. Arrivé à 10,000, on a 1 myriade, guptocç; on l’exprimait par

un M surmonté le plus souvent d’un a, ^ , 20,000 (ou 2 myriades) avait pour signe ^ , 30,000 |(j, et ainsi des autres myriades jusqu'à la 9,999e qui s’écrivait ,9j)Ç9 et que nous écririons 99,990,000. Certains auteurs, au lieu du M, initiale de puipta;, employaient les deux premières lettres de ce mot Mu. On cite entre autres Diophante et Pappus. Les mêmes auteurs, lorsque le nombre dépasse 10,000, posent un point entre les unités de myriades et celles de l’ordre immédiatement inférieur. Ainsi, Siop./iÇt; valaient 4,372 myriades, 8097 unités, c’est-àdire 43,728,097 7.

Lorsqu’un ordre d'unités est vacant, les Grecs le remplacent quelquefois par un trait vertical | 8; exemple : 10,098 M | Çn ; ou bien par le mot ouSev, comme Théon le commentateur de Ptolémée, ou bien encore par un simple point, comme Ptolémée lui-même 9.

6 Les huit unités subséquentes avaient aussi leurs dénominations particulières : âv/d;, “tTpct;, r.t'>~àq, é;aç, érrâ:, âxrà; et Iwcà; J en latin : numei'US binunus,

trinarius, quaternarius, quinarias , senarius, septenarius, octonarius et novenarius.

— 7 Dclambre, Arithm. des Grecs, dans Y Histoire de l’astron. ancienne , t. Il, p. 3-31 -

— 8 Bœckh, Index lect. Berol. p. III, p. v. — 9 Bœckh, 1. I, p. 8, n. 10. — 10 Chasles, Éclaircis, sur le traité De numéro arcnæ d'Archimède, dans les Compt. rendus de

Archimède a écrit un petit traité (ô ^ag-uiivii;, — dans les traductions latines : De numéro arenae) qui nous est parvenu, sur le nombre de grains de sable que pourrait contenir une sphère qui aurait pour diamètre la distance de la terre aux étoiles fixes; l’auteur lui donna, pour simplifier, le titre de ^x^uitviç, l 'Arénaire, Arenarius (liber). Ayant à opérer sur des nombres qui dépassaient la myriade de myriades, il imagina des classes doubles comprenant huit chiffres au lieu de quatre, c’est-à-dire des huitaines ou ocfades de chiffres (ôxTa§£;). La première octade comprenait les nombres 1 à 99,999,999 ; la deuxième, les nombres qui partent de cent millions, etc. Les nombres étaient premiers, seconds, etc., selon qu’ils appartenaient à la première octade, à la seconde, etc. Archimède suppose le cas où l’on atteint cent millions de ces octades ; on entre alors dans la deuxième période raptoSoç, puis dans une troisième, dans une quatrième, et ainsi successivement jusqu’à la période myrio-myrionième, |.wptotxt<Tg.upto<yT7i', dont la première unité s’exprimerait par le chiffre l suivi d’un nomlire de zéros dont nous essaierons de donner l’idée en rappelant que l’unité des nombres premiers de la deuxième période est 108 élevé à la puissance myrio-myrionième, c’est-à-dire l’unité suivie de huit cents millions de zéros 10.

11 n’en faut pas davantage pour faire voir à quel degré les mathématiciens grecs ont poussé l’étude et les applications de l’arithmétique. Archimède avait composé sur cette science un Traité des principes auquel il a fait dans son Arénaire des emprunts importants. Quant à la conclusion fondamentale de ce dernier traité, c’est que le nombre de grains de sable que contiendrait la sphère du monde est plus petit que le huitième terme de la huitième octade, ou que le soixante-quatrième terme de la progression décuple 10, 100, 1,000, etc., c’est-à-dire que l’unité suivie de soixante-quatre zéros.

On attribue au même mathématicien l’énoncé d’un problème arithmétique qui nous a été conservé sous la forme d’un epigramma de quarante-quatre vers, publié pour la première fois avec des scholies grecques par Lessing 11 , et une seconde avec un commentaire par les Struve père et fils n. God. Hermann y reconnut le premier le fameux problème des bœufs, 7rpôêX?]g.a poetxov, que le scholiaste de Platon a mentionné 13 comme étant d’Archimède u. En voici les données principales. On suppose quatre troupeaux de taureaux, bœufs et vaches, dont le premier comprend des animaux blancs, le deuxième des noirs, le troisième des roux, et le quatrième des tachetés ou bigarrés. Ces divers animaux sont dans chaque troupeau en nombres exprimés par des fractions du nombre total de t’êtes comprises dans ce même troupeau. De plus, les taureaux blancs et noirs forment ensemble un nombre carré; les roux et les bigarrés forment ensemble un nombre triangulaire, c’està-dire un nombre obtenu au moyen de la multiplication de leur nombre respectif par leur différence. M. Vincent a complété la solution de ce curieux problème’5, qui montre sous une face particulière le génie du grand mathématicien qui l’a proposé et du peuple subtil dont Archimède est la plus grande gloire scientifique.

Mais revenons à l’exposé de la science des nombres.

l’Acad. des sciences, 11 avrill842, p. 8. — U Symbola secunda ad historiam, p. 423, ou ■vol. XIV, p. 232 des Oeuv. complètes, in-8. — n Altonae, 1821. — 13 /n Charmid. p. 324, Iluhnken, p. 91. — 14 (God. Hermanui), ad memoriam Kregeli sternbachianam, etc. Deproblemate bovino. Lips. 1828. — 114 Sur le problème des bœufs attribué à Archimède dans le Bull, de bibliographie annexé aux Noue, annales de mathématiques , t. I. M. Vincent donne dans cette notice le texte du problème avec une traduction française.

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Delambre 16 résume en deux mots l’arithmétique des Grecs, lorsqu’il observe que leur notation ressemblait à celle que nous employons pour les nombres complexes. Il ajoute avec non moins de raison que leurs nombres complexes avaient un avantage sur les nôtres dans l’uniformité de l’échelle qui était toute décimale ou toute sexagésimale. Ils faisaient leurs opérations de gauche à droite. Ges opérations se réduisaient, comme de nos jours, à quatre, l’addition (-Kçôadsaiç, auvôefftç, TtpôffxaÇiç) ; la soustraction (àtpodpefftç) ; la multiplication (no'X'XccKAounixatj.ôt;, 7toXXaTTÀatn'wfftç ,7), et la division (Statpsutç ou TtapaêoXvj ’8).

Ils considéraient les proportions (dvoAoy(ai), arithmétique ou par différence; géométrique ou par rapport; et harmonique, dans laquelle l’excès (ûitepo^i;) du premier terme sur le premier moyen a le môme rapport avec l’excès du second sur le deuxième moyen que le premier terme avec le quatrième.

Ils distinguaient la moyenne arithmétique, ;j.sxox7]ç âpiQpi- Totvi (par ex. I : 2 : : 2 : 3); la moyenne géométrique

(2 : 4 : : 4 : 8), et la moyenne harmonique 6 (=8 — -) : 8 : :