f- jh laquelle dépasse le premier extrême et est

dépassée par le dernier d’une même portion, qui dans notre exemple est le tiers, ou, pour employer le langage de l’algèbre, moyenne dans laquelle, étant donnée la proportion A : B : : B : C, on a B=A-|--=C— c ,9.

A ces trois moyennes dont Jamblique 20 attribue la pratique à Pythagore et à ses disciples, Eudoxe de Cnide, contemporain de Platon, et les mathématiciens de la même époque ajoutèrent trois autres moyennes dont M. Nesselmann a rapporté le détail avec celui de quatre autres subséquentes **. En voici la simple nomenclature :

Cette grande variété de moyennes numériques servait principalement à définir les rapports des sons dans la musique mathématique [harmonique].

Les Grecs calculaient le carré des nombres, ce qui s’appelait TETpaywvîÇeiv et leur cube xuSIÇetv. Quant à l’extraction de la racine carrée, on a lieu de croire qu’elle se faisait de la même manière qu’aujourd’hui.

11 paraît ” que le second livre de Pappus était en entier consacre à 1 explication de ce qu’Apollonius de Perge avait lait de nouveau en arithmétique : peut-être le premier contenait-il les règles de l’arithmétique vulgaire.

Voyons comment les Grecs anciens expriment, soit par des mots, soit par des chitfres alphabétiques, les principales fractions.

1. Commençons par les sous-multiples, 7voXXocTr)popto(, multesima, c’est-à-dire par les fractions plus petites que 1 unité et qui ont I pour numérateur. Voici les noms

L. c. p. 30. 11 Les facteurs : tà itXtjfà , le produit : xo yevopevov. - 1S Diviser, se disait encore imjIÇh,, ptxçtTv ; diviser par deux, îlx« «g,,,. ~ 19 Theon. Srnyrn., ed. Boulliaud, p. 180. — 20 Édit. Tennulius, p. 141. — 21 Algebm der Gnechen, p. 215. - 22 Delambre, l. c. p. 33. - 23 c’est abusivement que la typographie grecque affecte cet accent à la représenation des nombres entiers.

grecs et latins de quelques-unes de ces fractions, de celles qui ont les plus petits dénominateurs.

fju-tsu, dimidium,

xpfxov (sc. ptepoç) ou Tptxv)u.optov, triens , -, xéxapxov ou TETapT7][jtôpiov, quadrans, y, é’xtov ou ixr/qjiGptov, sextans, - ,

7tE|Jt7tT0V OU 7r£U.TtTY)p.OptOV, (JHintCl pdVS, -,

É’Ç ooptov ou É7tTap:o'ptov, septima pars, p ,

oyooov, octans, et de même, swaxov, -,

oÉxaxov,^, etc.

A l’exception de la fraction ÿ, dont le signe grec est

ou les fractions dont le numérateur est 1 sont représentées par le chiffre alphabétique grec du dénominateur,

mais surmonté d’un accent à droite. Par exemple ^ est

représenté par e et ^ par ç' n. Quand le numérateur, inférieur au dénominateur, est supérieur à l’unité, on exprime ce numérateur devant le sous-multiple : ouo xpi-nri^opia, deux tiers, xpta ÉTixaaopta, trois septièmes.

Pour représenter ces fractions, le chiffre du dénominateur avec un accent à droite s’écrit au-dessus de celui du numérateur surmonté d’une barre, ou bien le chiffre du dénominateur s’écrit simplement au-dessus de celui du

numérateur. Ainsi s1*' ou bien £ signifient Mais plus

souvent on décompose la fraction en deux ou plusieurs fractions dont chacune a pour numérateur 1 : par exemple,

on décomposé — en - et - représentés par ^ , ^'.Quel¬

quefois on arrive à cette décomposition au prix d’une

petite inexactitude; par exemple, Eutocius décompose -

en s et 7s > représentés par ç', ts', en négligeant — - en moins 2\

IL Passons aux nombres fractionnaires plus grands que l’unité. Ces fractions, dont le numérateur surpasse le dénominateur, se représentent en grec soit comme les autres fractions, en mettant le chiffre du dénominateur au-dessus de celui du numérateur, soit en mettant à la suite du chiffre représentant l’unité ou les unités comprises dans le nombre fractionnaire, le chiffre de la fraction qui

existe en plus. Ainsi j sont représentés par \ ou bien par «y', et - par ç ou bien par y . Mais, dans le langage,

il y a pour certains nombres fractionnaires plus grands que l’unité des expressions spéciales qu’il est bon d’indiquer.

1° Nicomaque 20 et Boèce 26 nomment nombres superpartients (e-x([j.ece7 ap.0u.oi', superpartientes numeri ), les numérateurs dans lesquels les dénominateurs sont con¬

tenus une fois plus une fraction quelconque. Quand cette fraction excédante a pour numérateur 1, ils nomment eWôpiot, superparticu lares , les numérateurs des fractions

piimitives, et alors il y a des mots spéciaux pour désigner

-2* M = S+A-ôL-Eaeffet(î+— j = ( — + — \ = ü = 7 • or 15= -7 64 6 lo 960 U 15j V 90 ^ 90/ 90 30 ’ ’64~ 30

-f 1 p-n tr i /15 7 \ 450 448 2 i

+ 96() . En — = ^___L.2o Arithm. i, 19-20.

— 56 Arithm. I, 24 28.

ARI

dans ces fractions les rapports des numérateurs aux dénominateurs. Ces mots sont par exemple :

•f)u.io'Xios (de o'aov , un demi, un entier), sesquialter, d - = - , €7ctTptToç (rptrov, <ifrs,sit t, en plus), sesquitertius, 1 ■£,

è^o'ySooç (oySoov, huitième, ènl, en plus), sesquioctavus, 1 - = - ,

iuioÉxaToç (SÉxatov, dixième, Iict, en plus), 1 ^ = 7" 27-

Les neutres de ces adjectifs désignent la valeur du nom-

bre fractionnaire : t b viaioXiov, to iTttxpitov, -; to & xoy-

Soov, to ÉmSÉxaTov,

2° Quant aux nombres fractionnaires qui contiennent plusieurs entiers, plus une fraction dont le numérateur est 1, les Grecs ont aussi des expressions spéciales pour quelques-uns d’entre eux. Par exemple, ils disent: dîpiou rpixov, ou r,puffuTptTov (un demi, 3e, après deux entiers),

1 — j— 1 — (— *-=- 8S ; djptffu TETaprov ou ^[Atoruxéxapxov (un demi ,

•4e, après trois entiers),! -f 1 -f- 1 -)- - = - 89, eêSouov dip.txa- Xavxov (un demi-talent, 7e, après 6 talents), 6 talents ^ 30.

Quant aux puissances des nombres, les Grecs nommaient x£xpaYi»voç (*piOjjLoç), carré , ce que nous nommons 2e puissance ou carré d’un nombre, et ils nommaient xuêo;, la 3e puissance ou cube. Mais quelquefois ils donnaient aussi à la 2e puissance le nom de Suvaptç, et le verbe Suva- <j0ai, avec un nom de nombre pour complément direct, signifiait avoir pour carré ce nombre, comme on le voit dans Platon 31. Ainsi, pour dire que 2a = 4, au lieu d’employer le mot xExpdtYwvoç, on disait quelquefois, soit : xà oûo ôuvàpst laxl xÉxxapa, OU bien : y.axà Suvapfv lux i xÉxxapa, soit : xà Suo Suvaxai xÉxxapa ; et de même, pour dire que 32 -f ■ 4 8 = 58, l’on pouvait dire : xà •jrsvxs ïaov Suvaxat toï; xpurt xal xotç xÉxxapa-t. C’est pourquoi, appliquant à la géométrie ces expressions arithmétiques, on disait, en parlant de l’angle droit d’un triangle rectangle, par exemple du triangle dont les côtés sont entre eux comme les nombres 3, 4 et o, que l’hypoténuse de cet angle ïoov Suvaxai xaïç TtEpiE- ■/oôg atç, d’un carré égal à ceux des deux côtés qui le comprennent38.

Les Grecs connaissaient-ils l’algèbre? Us ignoraient celle dans laquelle les quantités connues elles-mêmes sont représentées par des lettres choisies arbitrairement. Mais ils n’ignoraient pas une algèbre dans laquelle les inconnues seules étaient ainsi représentées. Ils n’avaient pas de mot spécial pour désigner cette partie de l’arithmétique ; mais Diophante, mathématicien d’Alexandrie, avait composé une arithmétique en treize livres, dont il nous reste les six premiers et dans laquelle figure un véritable système de méthodes algébriques, notamment la résolution des équations. A ce point de Vue, la logistique faisait le sujet de son ouvrage, ainsi que l’a remarqué Nesselmann 33. De plus, comme Diophante enseigne particulièrement la résolution des équations indéterminées, ses démonstrations se rattachent plutôt à la théorie des nombres, et l’auteur

lui-même a pu, à bon droit, employer le mot grec qui désigne cette théorie, apiO^T^'.

Peut-être ne sera-t-il pas sans intérêt de faire connaître ici la terminologie employée par Diophante dans la partie de son ouvrage consacrée à l’analyse 34. Il désigne l’inconnue par le stigma surmonté d’un accent ç ou ç°', et la nomme en toutes lettres le nombre, 6 «xptQjxoç 3b ; le signe c est redoublé çç, si le coefficient de l’inconnue est supérieur à l’unité. Le carré de l’inconnue est appelé puissance, Suvautç, terme qui, dans Euclide, désignait déjà le carré numérique et dont le signe est S5; le cube de l’inconnue est appelé cube, xuëoç ; il a pour signe x5 ; la 4e puissance de l’inconnue est appelée SuvagoSuvagi?, comme qui dirait, carré du carré, et représentée par le signe SS5 ; la 5° puissance, Suvottabxuëoi;, comme qui dirait, cube du carré, Sx0; la 6e, xuëbxuêoç, cube du cube, xx'^. Diophante n’a'pas besoin d’aller plus loin ; ainsi le mot Suvaptç désigne plus spécialement le carré de l’inconnue : le carré d’un nombre connu garde habituellement le nom de xsxpàYwvoç.

La multiplication n’a pas de signe particulier : l’opération se fait quand elle est praticable; dans le cas contraire, le coefficient de l’inconnue se place immédiatement après le signe ç ou çç; par exemple çç Ç signifie 7x; o50, 9x2, etc. I^a division est dans le même cas; si elle ne donne pas un résultat exact, on obtient nécessairement et l’on exprime un nombre fractionnaire. L’addition s’énonce par la simple succession des nombres qui doivent former une somme; seulement le nombre d’unités connues est toujours précédé du signe pi.3 , abréviation du mot povàç, unité. Enfin la soustraction a pour signe le 'j > retourné ou qui est une abréviation de Aeé^ei, datif de Xsîtyiç, auquel est affectée la signification de notre moins. La AsTAtç marque donc le plus petit des deux termes d’une soustraction. Voici un spécimen du langage numérique employé par Diophante 36, avec la traduction en signes modernes :

8S50.S"ç p â xs8 ççi8 9x4 + 6x2 -f- 1 — 4x3 — 12x.

On voit que tous les termes formant la partie positive (uitapEiç) sont réunis dans la première portion de l’équation ; par suite, les termes négatifs forment un second groupe, Xtüju;, séparé du premier par le ^ retourné, et dont par suite les différents membres n’ont pas besoin de recourir à ce même signe pour être déduits les uns des autres.

Avec les mots énumérés plus haut, Suvapuç, xûëoç. etc., on a formé des adjectifs ordinaux employés substantivement à titre de dénominateurs : tels sont les mots : to Suva-

ptooxov, To xuêoaxo'v, To SuvapoSuvauocrTo'v, xb ouvaaoxuëoGxbv et enfin to xuêoxuëooTov. L’inconnue ainsi désignée est le dénominateur d’une fraction qui a pour numérateur les nom-

bres connus placés à sa suite; exemple : dcptôpofttov â.âf* __L

Diophante abrège encore de la manière suivante :

p,6 6 ç°“ âç,0a

Lorsque les calculs se compliquent, il ne place pas le

57 Voyez -ri i r.'Mxf.v. dans A ri si. OeCononi. Il, p. 13-46 B, 33. — 28 De même

ôti latin, sestertius est pour semistertiils ($|u<rv tpbcov), 2 ds9, valeur primitive

du sesterce, voy. Yarro, De ling. Int. Y, 173 (Al. IV, 36), p. 48, éd. Egger, Paris, 1837, et Priscian, De ponder. p. 1347 ; Cf. Fdccioldti, Latinitads lexicon, s. v,

Semistertius, éd. allemande, 1836. — -9 Yovcz Semis quart us (Vj dans Varron, l. c .

— 30 Pour toutes ces expressions, voy. le passage grec de Priscieh, II, p. 395, éd.

Krehl, cité dans la nouvelle édition française du Thésaurus graeeae linguae, aux mots YjjxKTj,, vJja mu epixov et t stoiçtov. — 31 Theaët. p. 14/ I), 148 B. V oir aussi

les jeux de mots de Platon, Polit., p. 2668. — 32 Daus Euclide ( passim ) une ligné peut un carré lorsqu’elle est prise pour côté de ce carré. — 33 Algcbra der Griechen, p. 44. — 34 pour les développements, voir Nesselmann, Aigrira der Gricchen, p. 294 et suiv., bon guide en ces matières. — 35 Ne faut-il pas voir dans ce r une altération de la lettre 'Ç, initiale du mot ÇvpoÛH-evoç le nombre

en question ? — 36 i\f 29.

ARI

ARI

dénominateur un peu au-dessus du numérateur, mais simplement à la suite, en les séparant l’un de 1 autre par les mots Iv (j.opto) ou gopfov. Exemple :

S5 a. ç°5 â. (x° vf gopi'ou Srj â ç"° à ■ ^ .

Quant à notre signe d’égalité = qui sépare les deux termes (gipr), Uwfoetc) d’une équation, il n’a pas son équivalent chez les Grecs, qui rendent l’idée par l’emploi pur et simple du mot foo;.

Avant de quitter l’arithmétique des Grecs et sans attendre le moment de nous arrêter sur la question de l’abacus numéral, rappelons que M. Rangabé a signalé, en 1846, la découverte, dans l’île de Salamine, d’une table de marbre longue de lm,05, large de 0m,7o, dont il a ete donne ailleurs 37 une description détaillée et une représentation, et à laquelle on a cru pouvoir assigner le double rôle d’une table à calcul et d’un échiquier comparable à notre jeu de trictrac. Voy. à l’article abacus, p. 2, fig. 3.

Arithmétique chez les Romains. — Leur système de numération n’avait rien de particulier. Cependant il y a lieu de croire, d’après les recherches de M. Chasles38, qu’ils procédaient par séries ternaires et non quaternaires comme les Grecs. « La nomenclature, dit-il, dans le système de l’abac.us, dès le temps de Boèce, se réduisait aux termes unités, dizaines, centaines et mille qu’on répétait indéfiniment. » Par conséquent, mille devenait l’unité d’une nouvelle classe comprenant mille, dix mille, cent mille, et ainsi de suite.

La numération écrite n’avait que cinq signes dont quelques-uns représentaient, suivant une remarque faite seulement de nos jours 39, les diverses dispositions des doigts; tels sont les chiffres I (1), V (5), X (10), formés de 2 v réunis par leurs pointes ; venaient ensuite L (30), c (100), 13 (500) devenu depuis u et cio (1,000) ou M.

On voit que dans ce système, pas plus que dans celui des Grecs, aucune part n’est faite à la position relative des chiffres entre eux, à part cette circonstance que tel chiffre placé devant un chiffre supérieur ôte à celui-ci la valeur du premier. Exemple : iv = v moins i.-

Les fractions, dans l’arithmétique commerciale des Romains, étaient toujours rapportées àl’as qui donnait son nom à l’entier quel qu’il fût, et se divisai t en douze parties égales appelées onces, unciæ ; 16 as formaient un denier , denarius.