DES
FABRI (Le PÈre Hoxoné), religieux de l’ordre des jésuites, fut un géomètre distingué du XVII siècle. a publié divers ouvrages qui ne sont point exempts d’erreurs, notamment un ouvrage sur la cycloïde, où les principaux problèmes proposés par Pascal sous le pseudonyme de 4. Dettonville, sont éludés ; un écrit sur la mécanique et les lois du mouvement, et un mémoire dans lequel il s’est vainement efforcé de contredire l'explication donnée par Huygens du phénomène que présente l’anneau de Saturne; mais il est juste d’ajouter que ce géomètre s’empressa de reconnaitre le peu de fondement de sa critique et de rendre hommage à son illustre adversaire. Le nom du Père Fabri ne figurerait pas dans ce Dictionnaire s’il ne rappelait une importante décision de l’église relativement au système de Copernic, décision qui a été l’objet des plus violentes et des plus injustes critiques. Ce savant religieux était grand pénitencier de Rome à l'époque où la découverte du véritable système du monde excita à la fois l'attention des géomètres et les craintes exagérées de quelques hommes pieux, qui crurent y voir une contradiction manifeste avec divers passages des saintes écritures
Ce fut dans le but de maintenir le respect dû à ces livres sur lesquels reposent les fondemens de la foi et dont le vulgaire ne peut comprendre que la lettre, et ensuite dans d’autres vues qui ne peuvent être exposées ici, mais qui n’ont rien d’hostile à la science, que l'é-
glise dut maintenir une décision qui lui a été si injustement reprochée. Mais le père Fabri déclara que cette décision ne pouvait avoir d'autorité qu’autant qu’il ne serait donné aucune démonstration scientifique du mouvement dela terre. Ainsi l’église s’associait réellement au contraire au véritable progrès de la science, tout enprenantses précautions contre des hypothèses moins fondées que celle de Copernic.Au surplus cettequestion était résolue d'avance par les Pères de l’église, qui, lisant pour ainsi dire au travers dessiècles, avaient deviné le mouvement ascendant de l'intelligence humaine et fait une sage distinction entre les vérités morales et les vérités scientifiques qui ne sont point du domaine de la révélation et de la conscience.
FABRICIUS (Davin), pasteur d’un village de la Ost- Frise, a été un de ces observateurs qui ont tant contribué dans le XVII° siècle aux progrès de l’astronomie. L’illustre Kepler cite avec éloge ses observations sur la planète de Mars et les idées qu’il avança sur la théorie de la Lune. David Fabricius découvrit en 1596 l'étoile changeante du col de la Baleine, et c’est surtout à cause de cette observation importante que son nom a du prendre place dans les fastes de l’astronomie. Il a également observé la comète de 1607. Son fils Jean suivit la même carrière scientifique et on lui attribue l'honneur des premières découvertes faites au moyen du télescope. Le premier, il reconnut les taches du soleil et décrivit
les révolutions de cet astre. Ses droits à la priorité de
ces belles découvertes sont incontestablemeut établis dans l’ouvrage intitulé : De maculis in sole visis et eorum cum sole revolutione narratio , in-4° , qui parut à Wittemberg au mois de juin 1611: mais hâtons-nous de dire que cet hommage, que nous rendons ici aux travaux maintenant oubliés de Jean Fabricius, ne peut
diminuer en rien la gloire de Galilée.
FACE (Géom.). On désigne sous ce nom les plans qui composent la surface d’un polyèdre : ainsi les faces d’un cube sont les six carrés qui le limitent.
La face sur laquelle on suppose le solide appuyé prend le nom de base. Chacune des faces peut être prise
pour la base.
FACETTE (Gcom.). Diminutif de face. On emploie cette expression lorsque les plans du polyèdre sont trèspetits. Les verres qui multiplient l'image d’un objet sont
taillés à facettes.
FACTEUR (44g.). Nombre qui entre dans la composition d’un autre par voie de multiplication. Par exemple, 12 étant considéré comme le résultat de la multiplication de 3 par 4, 3 et 4 sont dits les facteurs de 12.
En général a, b, ce, d, etc., seront les facteurs de M,
si l’on a a.b,c.d.etc. = M.
Les facteurs d’un nombre se nomment aussi ses diviseurs, parce qu'il est évident qu'un nombre est exactement divisible par chacun de ses facteurs,
La recherche des facteurs d’un nombre ou la décomposition d’un nombre en ses facteurs est un objet trèsimportant dans l’arithmétique et dans l'algèbre. Lorsqu'il s’agit des nombres entiers on sait que :
1° Tout nombre pair est divisible par 2.
2° Tout nombre dont le chiffre des unités est o ou est divisible par 5; il est divisible en même temps par 2 et par 5, ou par 10, dans le premier cas.
3°. Tout nombre dont la somme des chiffres est un multiple de 3 est divisible par 3.
4° Tout nombre dont la somme des chiffres est un multiple de 9 est divisible par 9.
5° Tout nombre dont la somme deschiffres des rangs impairs, est égale à la somme des chifires des rangs pairs, ou n'en diffère que d'un multiple de 11, est divisible par 17.
Ces propriétés éminemmentsimples se trouvent démontrées dans tous les ouvrages élémentaires. Appliquons-les à la recherche des facteurs de 12870.
. D'abord, ce nombre est divisible par 2 et par 5 puisqu'il est pair et que son premier chiffre est o. Opé-
FA
rant ces divisions nous aurons 12870 = 1287 X 5X 2. Maintenant en prenant la somme des chiffres de 1287, Savoir :1+2+8+7—18, nous voyons que cette somme est un multiple de 9, et nous en concluons que 1287 est divisible par 9. En effet 1297=143X9, et par conséquent 12870—143X9X5X 2. Le facteur 143 n’étant divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, comparons la somme de ses chiffres de rangs impairs avec celle de ses chiffres de rangs pairs, nous trouverons (3+1)—4=0, : C’est-à- dire que 143 est divisible par 1 1. Nous aurons effectivement 143=13X 11, et par suite
12870 — 13X11XOX5X2, ou
13 IIX SX EX
à cause de 9=3X3. Or, le plus grand facteur 13 étant un nombre premier, n’est plus décomposable, et nous conclurons que les facteurs premiers de 12870 sont 2, 3,0, 11 ét 19.
Lorsqu'il entre, dans la composition d’un nombre, des facteurs autres que 2,3, 5,gou 11, leur recherche présente alors des difficultés telles qu’à l'exception de quelques cas particuliers on est forcé d'essayer successivement si parmi les nombres premiers plus petits que le proposé il s’en trouve qui puissent le diviser exactement. Ces derniers sont alors ses facteurs, C’est ainsi, par exemple, que pour découvrir les facteurs de 18661 ne il faut essayer successivement tous les nombres premiers depuis 1 jusqu'a 431, car ce nombre est formé par le produit des deux nombres premiers 181 et 1031, Quant aux règles particulières qu'on donne pour les facteurs 7, 13, 17, etc. , il est encore plus prompt d’essayer immédiatement la division que de les employer.
Facteur ÉLÉMENTAIRE. Nom donné par M. Wronski, dans sa Philosophie des Mathématiques, au facteur idéal 1 + w !, dontlapuissanceinfiniment grande (4e)
Le-] donne la génération d'un nombre quelconque n.
Si nous supposons que l’exposant 72 de la puissance am
ee ; 1 croïsse d’une quantité indéfiniment petite + nous
aurons
mt
Le un Ka
et la quantité TA le facteur élémentaire de a”, car ce n’est évidemment qu’à l’aide de ce facteur idéal que nous pouvons concevoir une continuité indéfinie dans la génération de la quantité a”. Continuité indéfinie que réclame la raison pour que le troisième mode de construction des nombres (v0y. ALGÈBRE, 19)
ATEC
FA
soit universellement possibie. (Voyez PuiLosoPniE DES MATHÉMATIQUES.)
Mais d’après la théorie des logarithmes (voy. ce mot) nous avons, en désignant par log &, le logarithme naturel de 4,
log a = © (a® —1),
ce qui nous donne.
2 ï a°=1+#log a — Hloga—,
9 T + ainsi, la quantité 1 + log a est le facteur élémen-
taire de la puissance a”.
Nous verrons ailleurs l'extrême importance de ces facteurs, Foy. FacuLtÉs et SOMMATOIRE.
FACTORIELLE (4/g.). Produit dont les facteurs sont en progression arithmétique.
Vandermondea considéré le premier (voy. Mémoires de l'Académie des Sciences , 1772, première partie) les
produits de la forme
ada—1) (a—2) (a—3).....,.(a—(m—1)
illes a nommés puissances du second ordre et les a désignés par la notation
conservee par Lacroix dans son grand traité du calcul différentiel. Suivant cette notation on a
[ar=a [a F = aç(a—i) La = a(a—1) (a—2)
etc. etc.
Après avoir examiné les propriétés principales de ces fonctions nouvelles, Vandermonde en a tiré plusieurs conséquences remarquables et entre autres cette belle expression de la circon férence du cercle
dont nous avons donné ailleurs une déduction. Voyez Cercre, 33.
Depuis, Kramp a généralisé l'usage de ces fonctions en les appliquant à toutes les fonctions circulaires et à la détermination des intégrales des ordres supérieurs (voy. Analyse des réfractions astronomiques). \eur avait donné d’abord le nom de Jaculies numériques, mas ensuite Arbogast , dans son traité des dérivations ,
les ayant désignées sous celui de factorielles, Krawp a cru devoir adopter cette dernière dénomination dans son -{rithmétique universelle.
Nous désignerons donc, d’après ces géomètres, per le nom de factorielle un produit de la forme
l'accroissement r étant positif ou négatif, et nous conserverons la notation de Kramp qui est
amlr
de sorie que nous avons
alr— a
ar — a(a+-r)
air — a(a+-r\a-ar)
air — a(a+-r)(a+2r)!a+3r)
etc. etc.
air = a(a4-n(a-2r) ...(a4{m—i)r)
Dernièrement enfin, M. Wronski a donné un nouveau degré d'importance à ces fonctions, en les considérant sous un point de vue entièrement nouveau et en substituant aux facteurs à, (a+r), (a+-2r) etc., une Fonction arbitraire de ces mêmes facteurs. Généralisées ainsi, ces nouvelles fonctions forment une des parties les plus
importantes de la scieuce des nombres;elles seront traitées
dans ce dictionnaire au mot FACULTES'ALGORITHMIQUES, nom adopté par le savant auteur de la Philosophie des mathématiques. Nous ne nous occuperons ici que des
Jactorielles simples ou élémentaires, dont nous avons
donné ci-dessus la construction, et qui peuvent être envisagées comme un cas particulier des facultés algorithmiques.
1. Dans le produit a(a+-r) (a+2r) ou, ce qui est Ja même chose dans la factorielle, anir
le premier terme a se nomme la base; la différence r, l'accroissement ; et le nombre 72 des facteurs, l'exposant. 2. On peut aussi exprimer ce même produit par
(a+ (m—3)rynl-r
eu prenant le dernier terme pour le premier et en con-
sidérant l'accroissement r comme négatif. On a donc
am (a4-(m—i)r}rir
Par la même raison, la factorielle à accroissement négatif
an|—1
qui désigne le produit a(a—r\a—2r)...... (a—(m—:1)r) peut se mettre sous la forme
(a—(m—i)nmir
3. La factorielle à exposant binome am+nlr est équivalente au produit des deux factorielles monomes a», (a+mryir, ou bien encore à celui des deux factorielles anr, (a-nrymir, C'est-à-dire qu’on a
amtnlr = am|r(at-mr)nir = arlr(a+nrnlr Eu effet amir(aÆmrhir = fatatn. ; (a-Hm—1))] Le (a+-mr\a4{m+4i)r).(a4{m4n—i)r) | = a(a+r\atr).. .(a{mtn-nr
= qam+nir
et de même pour le second produit.
