En faisant m—0, dans la même identité, elle de vient

a—nir — te.

(a—nr)ir

égalité qui détermine l’idée qu’on doit attacher aux factorielles à exposans négatifs.

7- On voit aisément qu’en faisant l’accroissement r égal à zéro, les factorielles se réduisent à de simples puissances et que les propriétés que nous venons de déduire, sont alors en effet celles des puissances. (Foy. ALcèere, 23, 24, 25). A l’aide de cette considération on pourrait conclure, par analogie, que toutes les relations précédentes démontrées pour le cas des exposans entiers subsistent encore lorsque ces exposans sont des nombres fractionnaires, ce qui a lieu effectivement; mais comme c’est en étendant ainsi, par analogie, au cas de l’exposant quelconque, des décompositions qui ne peuvent s'effectuer généralement, que Kramp est tombé dans des contradictions mathématiques capables de lui faire mettre en doute les premiers principes de la science, nous nous réservons de démontrer rigoureusement ces propriétés fondamentales des factorielles , à l’article Fa- CULTÉS où nous considèrerons ces fonctions dans toute leur généralité.

8. De toutes les propriétés des factorielles, la plus remarquable est qu’on peut, à l’aide de simples transformations, leur donner des bases ou des accroissemens quelconques. C’est ce qui résulte du théorème suivant:

La factorielle a" peut se décomposer en deux facteurs dont l’un est la simple puissance æ et l’autre la facto-

m rielle 1 |

; qui a pour base l’unité. C'est-à-dire qu’on a

(La anir = am, 1 la

car, en divisant successivement les facteurs

a, ar, a+or, etc... a+(m—i)r

de la factorielle proposée, par la base a, ils deviennent

et la factorielle elle-même peut se mettre sous la forme

ax ax (: +T)ax(ital)… axX(1+(m-1T)

ou en réunissant les 2 facteurs a,

am X 1 ( + 2) (+22) É (+ 0m) 7)

ce qui se réduit en dernier lieu à

9. En multipliant chaque facteur de la factorielle générale am, par une même quantité quelconque c, on obtient encore une autre transformation importante : en effet la factorielle devient

ac (ac + cr)(ac + cr)... (ac + (m—x) cr)

ou (ac}riler

mais, comme multiplier chaque facteur par € revient à multiplier le produit des » facteurs par €”, on a donc

aussi

cm, amlr — (ac}rler

10. Ceci posé, on peut toujours transformer la factorielle al" en une autre dont la base soit une quantité quelconque b, car d’après (8) nous avons

mi ar — ani la d’où F mir 2 ami EE 18 an nn

multipliant les deux nombres de cette égalité pour b”, elle devient bn ml” \4

an anir — bmx

mais en vertu de (9) nous avons

PALET AI bn, 1 la 14 et, par conséquent, n an | Fe — T— bn° ar =D on a donc définitivement, en divisant par le facteur bn am?

mt br anr — dx m à an

11. D’après les mêmes principes on peut aussi transformer la factorielle al" en une autre dont l’accroissement soit une quantité quelconque 3. Car d’après ce qui vient d’être démontré

: AN) air — rm, r

Tour 11,

or, de cette égalité on tire

anr PANLLE ET = (©)

ct, en mullüipliant de part et d'autre par 2

zm PANCAE az NZ —, an — qu, à (ee ana Tr r rm az miz an — — ss EUR t r

12. Une factorielle dont l’exposaut est un nombre pair ne change pas de valeur lorsqu'on change les signes de sa base et de son. accroissement et l’on a générale-

ment, 22 désignant un nombre pair quelconque,

2n|[ Er on[ Er

(Ha) — (a)

Car les facteurs du premier membre de cette égalité étant

+ (Ha), + (Han), + (Hakor), + (Hak3r), etc.

si l’on change en même temps les signes de la base et de

l'accroissement ils deviennent + (Fo), + (rar), + (Fair), + (Far), etc.

— (Ha), — (Hakr), — (Hakor), — (Has), etc.

c’est-à-dire, les mêmes que dans le premier cas mais tous négatifs. Donc, puisque le nombre de ces facteurs est pair, le produit des derniers aura le même signe que le produit des premiers et comme de plus ces produits

sont les mêmes, on a nécessairement

2 nr 2 Er

(£a) = (a) sil’exposant était un nombre impair 2n+4 1, ontrouverait avecla même facilité

: + En er (Fa

AE Er

ainsi les factorielles se comportent à cet égard comme les simples puissances.

13. En remarquant, d'après (9), que la factorielle (—a)"i-" peut se décomposer en (—1}". a et que d’après (8)

mi —1)", a" V — (—1)", œ", 1

on peut eu conclure que (4)

(— a}! —T — (—a". NO La

à cause de (—a. am = (—a)", Mais cette décomposition, qui est rigoureusement exacte lorsque #2 est un nombre entier, n’a pas lieu généralement, ou pour toutes les valeurs de cet exposant : c'est ce que M. Wronski a démontré dans son introduction à la philosophie des mathématiques , en remontant aux principes supérieurs de la génération des quantités, et il a donné ainsi la solution des résultats étranges que Kramp avait obtenus en adméttarit faussément la généralité de cette expression (4).

14. Comme il ést très-facile de démontrer que toutes les transformatiotis précédentes ont encore lieu pour le cas del’exposant entier négatif, nous nenous y arrêterens pas davantage, et nous procèderons à la déduction des lois principales des factorielles.

Théorème. Une factorielle quelconque ar peut

toujours se développer en une série .

A + Ar HA, Asr L Ari —L etc.

procédant par puissances progressives de l’accroissement 7.

Pour démontrer ce théorème dans le cas de l’exposant m entier et positif, et pour trouver la loi des cocfficiens A5, Ar, À,, etc., il ne faut que considérer la formation du produit de plusieurs binomes dontles seconds termes seuls sont différens; or on sait (7’oy. MurripricaTion) aue le produit des 7»? binomes

est égal à

œmL Ban—-iE Bixn—ib etc... . Br

B, étant égal à la somme des seconds termes des binomes, B, à la somme de leurs produits de deux à deux, B:àla somme de leurs produits de trois à trois, et ainsi de suite. Mais dans le cas des factorielles les seconds termes des binomes étant

O7, ARTS eo scies e (=)

leur somme ou LA LE ‘5712 ln 1 orH1r+-ur tr... ma) peut'se mettre sous la forme

(01234... H(m—i))r, où (mir

en désignant par (m/1), la somme des nombres naturels 0, 1,2, 3, lc... I,

La somme des produits de deux à deux de ces seconds termes peut aussi prendre la forme

(1 Xo+1X2#2X 3H etc … .) r°, ou (mL2)r?

(ml), désignant la somme des produits de deux à deux dés nombres naturels 6, 1, 2, 3, etc... mm—1 :

En général, la somme des produits de # à p des seconds termes des facteurs de là factorielle pourra s’exprimer par (1u) r#, (mu) désignant lasomme des produits # à # des nombres naturels o, 1,9, 3... r2—1.

Ainsi, observant que pour passer du développement du produit des »2 binomés à celui de la factorielle ar,

il ne faut que substituer a à x et les quantités (nli}r, (n12}r°, (mlT3)r, (mI4)ri, été.

aux coefficiens B;, B:, B,, ctc.; nous aurous définitivement (a)

ane = @n+{m entr L(mnlo)an-2r ete: : + (mem rar 1

le dernier terme B,, du développement du produit des mn binomes étant ici zéro à cause du facteur zéro qui s'y trouve, le développement de la factorielle s'arrête au terme (z21m—31)arr-x,

Il ne nous reste plus à connaître que la loi qui lie les coefficiens (7/1), (m1), etc. pour pouvoir les évaluer däns chaque cas particulier, Or, nous avons (3)

(aHmrnr, ani = arr, (anr)rlr faisant dans cette égalité 2=1, elle devient (ar), an = a(a+r}"ir

ct les développemens des deux nombres de cette dernière doivent être identiques.

Pour obtenir le développement du premier membre, ilest visible qu'il faut multiplier par (ar) celui de am; opérant cette multiplication ôn aura

(a-mr)anir = am+iE(m+(mD)anr +-(m(mli)+(mD))an-1ir+ etc.

On obtiendra le développement du second meme

en substituant d’abord a+r, à la place de & dans l’expression générale (a) et en multipliant ensuite par a.

L'expression (a) devient par cette substitution

(anmlr — (arm {ml 1)(a+-rn—ir —+{nP)\atr}n—2r+ etc.

et l’on trouve, en développant les binomes (a4-r)",

(a+r}n—: {voy. Brno), et en multipliant le tout par 4,

LL PARERENR ete

alt} = ertitment PA

+ Gali)arr + ph pan + etc...

+ (mlojan-ir L etc...

ainsi ce développement devant être identique avec celui de (a—-mr) amr, nous aurons la suite d’egalités,

m + (ml) = m+ (ml)

m (ms) #- Me = er mp (m—1)(mis)+(ml2) (m— —2 m (m13) + hs — a + — (m1) +(m—2)(ml2)4(m13) etc. = etc.

La première de ces égalités est une simple identité ; retranchaut des deux membres de la seconde le terme commun (”112), nous en tirerons ensuite (b)

(mli)=

opérant de même pour les égalités suivantes, nous obtiendrons (b)

nt} (n— = 2) Any e Un 3(n13)— sind (m1) + (m—1)(m— fr 3) m(m— Dina)(ne) 12:83 —? (n Dos 1.2,3.4 etc. = etc,

formules dont la loi est évidente ct à l’aide desquelles on peut calculer les coefficiens du développement d’une factorielle quelconque. Un exemple suffira pour enseigner leur emploi; soit a°}, la factorielle dont on demande le développement : faisant mi==5 dans les expressions (b), nousaurons

(mali) pa = 0 nu : 5.4.3 2(mP2)=— ., 10 + n&S = #0 3. 43e 1423.

Sm8= ET LES 310 + - nie —190 PE OL 150 SLI TO 4 :3.9%3 (rm HALE FU EC LE CRETE NT Ji 5.4:3:2.1 RTE EE ef 4 5(m15)= 0. Ne 0, ee + 0. Le + 06, 10 +0

Tous les autres coefficiensse réduisant à zéro, le développement démandé n’a que les cinq termes suivaus :

an5— a5ioair+-35ar+5oar+ofar

15. Lorsque l'exposant de la factorielle ar est un nombre entier négatif, son développement prend un nombre indéfini de termes et les coefficiens (m1), (mL), etc., qui se composaient des sommes des produits combinées des nombres naturels 1, 2, 3, etc., deviennent les différences des puissances de ces mêmes nombres. On peut encore trouver facilement la loi de dé-

veloppement, car nous avons (6)

T a—mir —

7 (a—mr) pr r ou

V1 (arr

a=mir = à cause de (707. n. 2), (a—mryrir = (ape

on a donc aussi

I 1 ï I re Q'S DO ar mn a—3r a—mr

anir —

ar a—2r

développant chaque facteur en particulier au moyen du binome de Newton nous aurons

(a—r)-1 = a-i+a-trta ir +a-ir+ etc.

(a—or)1 = ai +oa-r#a-3r +8a- hr; + etc.

(a—3r) = a-143a—trLoa-%r +aqa—hr+ etc.

et en général

(a=mr)=1 == aimer cr4néarÿrnarhr4 etc.

et le produit de tous ces développemens, qui doit donner celui de gr est nécessairement de la forme

a-m+A,a-m—ir 4 À ar À ;a-m—3r À etc.

‘ lenombre des termes étant indéfini. Or, cette expres-

sion est, à l'exception des coefficiens dont la loi ne nous

est point encore connue, ce que devient le développe-

ment de &#}" en y substituant —m à la place de m. Pour trouver la loi des coefficieus {11), (ma), etc.,

nous sommes partis en premier lieu de l'égalité (amrir. ar = arr, (a+-nr)"ir

mais cette égalité subsiste encore lorsqueyz et x sont né-

gatüfs (voy. FacuLrés 17).Ainsi faisant m——m et n=—1 nous aurons aussi

(a—mr)a-nr — a(a+r)-mnir

opérant comme nous l’avons fait ci-dessus, nous obtiendrons pour les coefficiens Ar, A,, A3 etc. les valeurs suivantes :

m(m+1) de,

CDS) à

(m+2)(mn23) De 1-2

m(m+-1)(m+-2) CET ON

C4 3) (rm 1)(m+) (m- i-H3) à

CE 1.2.9

À, + (+ I Xm+2)(m+3)

(m+3)mt4) | (a4+2)(#43) (+4)