QUE

Vision médiate : PERSPECTIVE.

\ Propagation du SON : ACOUSTIQUE.

après, fut instituée pour mesurer un degré du méridien au cercle polaire. 11 parla peut-être de la part qu’il prit à cette célèbre opération avec peu de modestie, et de manière à diminuer le mérite de ses collaborateurs Clairaut, Camus , Lemonnier et l'abbé Outhier ; mais ce travers d’esprit ne saurait en rien déprécier ses travaux comme géomètre dans cette difficile et dangereuse opération, achevée courageusement sous un climat où le

thermomètre descendit de 25 à 37 degrés.

Dans son Essai de cosmologie, que Maupertuis publia lorsqu'il était président de l’Académie de Berlin, il proposa plusieurs hypothèses nouvelles dans la théorie du mouvement , entre autres le principe de la moindre action, découverte qui lui fait honneur, mais qui lui atüra une des plus violentes querelles qui ait jamais troublé le repos d’un savant. Kænig, qui entreprit de discuter la valeur de ce principe, avait tort; mais Voltaire, qui était devenu l'ennemi de Maupertuis, et qui l’attaqua sous le ridicule pseudonyme du docteur Akakia, avait aucun titre pour intervenir dans un pareil différent. Cependant il accabla Maupertuis sous le poids de ses sarcasmes, et le principe de la moindre action, que ce spirituel écrivain s’inquiétait fort peu de comprendre, cette idée qui eût honoré un génie plus élevé que celui de Maupertuis, fut ridiculisée au point d’abuser les géomètres eux-mêmes, qui se gardèrent longtemps de l'énoncer. La postérité, plus juste, n’aura qu'un profond mépris pour l'ignorance du géomètre Voltaire, et le principe de la moindre action sauvera le nom de Maupertuis de l'oubli où doit aller se perdre l'injurieuse diatribe du docteur Akakia. Maupertuis, qui eut le tort grave de se faire courtisan et de négliger la science qui lui avait ouvert un rapide chemin à la fortune, a néanmoins publié un grand nombre d'écrits,

MA

qui ont été réunis sous letitre de : OEuvres de Maupertuis, Lyon, 1768, 4 vol. in-8, on remarque dans ce recueil : 1° Balistique arithmétique, 2° Essai de cosmodogie, 3° Discours sur la figure des astres, 4° Élémens de géographie, 5° Relation d'un voyage fait par ordre du roi au cercle polaire, 6° enfin Mémoire sur la moindre quantité d'action. Maupertuis, dont la santé avait été altérée par les chagrins que lui avait causés sa querelle avec Kænig et Voltaire, mourut à Bäle le 27 juillet 1959, chez les fils du célèbre Jean Bernouilli.

MAUROLYCO (Francois), l’un des plus savans géomètres du xvi° siècle, et désigné dans l’histoire de la science sous les divers noms de Maurozic, Maurozteus, ManuzLo, naquit à Messine, le 19 septembre 1494, d’une famille grecque originaire de Constantinople. Il n'eut d'autre maître que son père dans les sciences mathématiques, dont il s’est occupé toute sa vie avec cette persévérance et cette activité dans les recherches qui distinguent les savans de son époque. Nous ne croyons pas devoir rappeler le petit nombre de particularités qui nous ont été conservées, et qui ont marqué sa longue carrière. Maurolyco vécut comblé d’honneurs et entouré de l’estime publique dans cette noble et enthousiaste Jtalie, qui a toujours des couronnes pour le génie. Ses travaux sont nombreux et très-remarquables pour l'époque où ils furent accomplis. Toutes les branches des mathématiques furent l’objet de ses recherches et de ses méditations. On lui doit des traductions accompagnées de commentaires des plus grands géomètres de l'antiquité. Il est l’auteur de travaux originaux sur les sections coniques, et La Hire a développé sa méthode dans le traité qu’il a publié sur cette importante branche de la géométrie. Les travaux de Maurolyco sur l'optique et la gnomonique ne sont pas moins dignes d'attention. Il parvint à une extrême vieillesse, et mourut dans les environs de Messine le 21 juillet 1575. Voici la liste de ses principaux ouvrages, qui peuvent encore être consultés avec fruit par les géomètres : I. Traductions latines de Théodose, de Ménélaus, d’Autolycus, d’Apollonius, etc. ; II. Cosmographia de form&, situ, numeroque cælorum et elementorum, etce., Venise, 1543,in-f°; III. T'heoremata de lumine et umbrä ad perspectiva radiorum incidentium, Venise, 1575, in-4 : on doit à Clavius une seconde édition de cet ouvrage , auquel il a attaché des notes ct des remarques, Lyon, 1613; IV. Admirandi Archimedis syracusani monumenta omnia quæ exstant, Palerme, 1685, infolio. Cet ouvrage est plutôt un commentaire ou une imitation d’Archimède, qu’une traduction littérale des œuvres de ce grand géomètre.

MAXIMA et MINIMA. (4/g. et Géom.) On désigne sous ces noms Îles plus grandes et les plus petites

MA

valeurs d’une fonction de quantités variables; et les

procédés à l’aide desquels on détermine ces valeurs forment la Méruone DES maximis et minimis, Si, par exemple, fx désigne une fonction quelconque de la quantité variable x, et que & soit une valeur particulière de x, qui rende la valeur de la fonction fr la plus grande ou la plus petite possible, sera le #27axtmum où le minimum de fx.

Pour considérer là méthode des maxtnis et minimis d'une manière purement algébrique, remarquons que si fx devient un maximum en x faisant x — à, toute autre valeur de x plus grande où plus petite que «, substituée à la place de x , doit donner pour fx une valeur plus petite que celle qui résulte de x = 4, et que si, au contraire fx, devient un m2rnémum par cette valeur a de x , toute autre valeur plus grande ou plus petite que a, doit donner pour /x une valeur plus grande que celle qui résulte de x — a. C'est-à-dire que dans le cas du maximum on doit avoir (1), L étant une quantité quelconque ,

Ja > f{(a+h), et dans celui du zxinimum, fa <flath}).

Or, c'est la déterminetion de cette valeur a qui est l'objet principal de la méthode en question.

En remarquant que l'objet général du carcuL Des DIFFÉRENCES est précisément la génération des accroissemens que subit une fonction par suite des accroissemens que recoivent ses variables, il est facile d'en conclure que la méthode des maximis et minimis n’est qu'une application des procédés de ce calcul, et que ces procédés employés d’une manière convenable doivent, dans tous les cas, faire obteuir la détermination de la valeur particulière de la variable, qui rend une fonction proposée un maximum Où un minimum , lorsque cette fonction est susceptible de telles valeurs. En effet, si nous supposons fr, parvenue à un tel état de grandeur qu'elle ne puisse plus recevoir aucune variation en plus où en moins, sa différentielle dx, qui est l'expression générale de la variation qu’elle peut subir eu plus ou en moins par suite de la variation infiniment petite qu’on fait éprouver à la variable +, doit

être zéro , ainsi (>) dfx— 0

est l'équation de condition du maximum ou du minimum,cetla valeur de x, s'il en existe, qui peut satisfaire à cette équation, est celle qui rend la fonction proposée un maximum ou un minimum.

Proposons-nous, par exemple, de trouver une valeur de x, qui rende la fonction 24x — &' un maximum

ou un minimum; en différentiant cette fonction, nous

avons

d(2ax — x?) — sadx — 2rdx et, par conséquent, l'équation de condition est

oadx — 2xdx = 0

ou, simplement, en divisant les deux membres par dx, 24— 2X —0

d’où l’on tire x = a. Cette valeur substituée dans la fonction proposée la rend égale à «7.

Pour savoir maintenant si a? est le maximum ou le minimum de la fonction 2ax — x°, substituons successivement dans cette fonction a+ h,eta--},à la place de æ, } étant une quantité quelconque, nous

aurons pour résultats les deux valeurs

&— le

ab h)— (a+; =

lesquelles étant toutes deux plus petites que & , nous fost connaitre que a? est un maximum.

Les conditions (1) qui distinguent le maximum du minimum, donnent lieu à une considération générale uès-1mportante, en ce qu'elle abrège d'abord les opé-

rations ct qu'eusuite, elle sert à reconnaitre la possibilité même de l'existence des maxima et minima dans cette considération: si

Faylor

ou obtieut (01. Dirr. 34) les deux (EC 1

une fonction proposée. Voici

Fou développe par la formule de les fonctions

fix+)et fix—h),

expressions

3 | x h d'jx Le d'fx L° PT ES Ce M QE Re Pie M ERA de 1 T der. 7 dx 1.2.3 es dfx h dfxh à dé he Ce à QE dx 1 “dxt 1.2 7 dx 1.2.8 Es SD

Maintenant, d'après les conditions (1), pour que fx soit un maximum où un minimum, il faut que ces deux développemens soient tous deux plus petits ou tous deux plus grands que fx, ce qui d’abo#d ne peut avoir généralement lieu qu’autant que l’on donne à x une

dfx

valeur qui rende “=

Re ce qui est la condition (1); 71:

et qu’ensuite cette même valeur de æ, mise dans fi de cas, et positive dans le second. En cffet, on peut toujours supposer la quantité arbitraire A assez petite pour

, rende cette quantité négative dans le premier

que chacun des termes de ces développemens soit plus grand que la somme de tous ceux qui le suivent et, alors, le signe qui doit affecter une telle somme est

MA

nécessairement Île même que celui de son premier

dfx h

terme. Or le signe de ; Étant positif dans le pre-

mier développement et négatif dans le second, la somme de tous les termes, à partir de celui-ci, sera pareillement positive dans le premier développement et négalive dans le second, de sorte que si le terme

df x dfx

—, ou son coefficient dx

Fri ; n’est pas zéro, fix +h) sera plus petite que fx, et fx — h) plus grande, c’est-

à-dire qu’il ne pourra y avoir ni maximum ni miui-

mum. Mais si . — 0, les développemens ci-dessus € se réduisent à dfx hk fx Aix +) = fx Fe . + LE 103 + CHTÉE . dfe l dfz pen fe + EE Her ra + ee

et, alors, le signe de la somme de tous les termes qui

suivent fx, devant être le même que celui du pre-

‘ dfx k : d'fx :

mier, —- -—, ou de son coefficient, ——, si ARE 1,2 dat

x + h) et fix — h) seront tou-

tes deux plus grandes que fr, ce qui est le cas du mi-

coefficient est positif /{x

nimum , tandis que s'il est négauf, f(x + h) et /\x—h) seront toutes deux plus petites que fx, ce qui est le cas du maximum.

Si nous avons, par exemple, fr = ax — xi, en prenantles deux premières dérivées différentielles nous t'ouvous

df: AE : PA nn Sax? — 4x /E] PÉE a Gax — 192.

dx?

La premitre, égalée à zéro, donne l’équation

3ax? — 4x — 0,

: ae 3 qui peut être satisfaite par les valeurs x—0, etæ =;4; k substituant ces valeurs dans ia seconde elle donne

æfx Pour x = 0, r 3 fr 9e AU Tr Lu

3 ; ; la valeur -a, répond donc au maximum de la fonc-

tion ax? — xi.

Lorsqu'une valeur de la variable x, fournie par l’é-

dfx quation dfx = 0, rend in — elle ne peut cor-

MA

respondre à un maximum ou à un minimum qu'autant

d'fax à difx — 0, alors le sigue de ce

détermine la nature de la valeur de la fonction fx, c’es-à-dire, que cette quantité est un maximum si

qu’elle rend aussi

æ LS mn - 7, est négatif, et un minimum dans le cas con-

traire, En général, lorsque la première dérivée différentielle, qui ne s’évanouit pas en substituant à la place de x les valeurs données par l'équation dfx —0, est d'ordre pair, il y a maximum si cette dérivée est négative et minimum si elle est positive.

Appliquons cette théorie à quelques problèmes numériques et géométriques. Soit d’abord la fonction

fx = 3x — bix + ec

on trouve en différentiant

2 = ox? — bi dx ga

dfx