LE H

la première dérivée égalée à zéro, donne

gæx —bi=o, d'ou x'= — ge

ces deux valeurs de x étant mises successivement dans la seconde dérivée la rendent

+ Ga, pour x — — 6ab, pour à = —.—

la première peut donc rendre la valeur de la fonction proposée un minimum, et la seconde ; un maximum; et nous avons

2b6 ; = CH - — maximum.

fe =

C— —- = minimum,

Problème. De tous les triangles construits sur une méme base et qui ont le mémé périmètre, déterminer celui dont la surface est la plus grande.

Désignons par & la base commune, par 2p le périmètre, et par x l’un des deux autres côtés ; le troisième côté sera 2p —a— x, Or l’expression de la surface d’un triangle quelconque à l’aide de ses trois côtés est

S= VIpip—a)(p—b)(p—c)|,

p désignant la moitié du périmètre et a, b, c chacun

des côtés (voy. TRiANGLE); nous avons donc ici (3)

Réalisant la multiplication des facteurs du secoud membre, il viendra

S = V/[2apt — &p° — pi + (ep — ap + ap} — (p° —ap}x*] Ainsi , faisant pour abréger :

2ap} — @p? — pi = A æp—3ap +2p = B p°— ap = C.

la fonction dont il s’agit de trouver le maximum sera , L S = [A + Br — Cr et l’on obtiendra en différentiant

Bdx—2Crdx

aV1A+Bx—Cr|

Divisant par dx, et égalant à zéro la dérivée, il vient

B— Cr —0, D'où

, &p— 3ap° +°2p°

p— ap

Le côté x doit donc être égal à la moitié du périmètre diminué de &, c’est-à-dire que les deux autres côtés doivent être égaux et que le triangle cherché est isocèle.

On peut obtenir ce même résultat d’une manière beaucoup plus expéditive en employant un procédé indirect de différentiation que nous allons faire connaître, parce qu'il est applicable généralement aux fonctions composées de facteurs.

Elevons à la seconde puissance les deux membres de l'égalité (3), elle deviendra

renons maintenant les logarithimes naturels des deux

membres de cette dernière, nous aurons

oLS = Lp +L(p—a)+L(p—x) + L(a+ x—p);

différentions, en remarquant que Lp et L(p—a) sont des quantités constantes , nous trouverons

dx a+x—p

dS __—dx

ER p—x

et, pour la dérivée différentielle,

ds S 1 D = + si ,

Lt «2 égalant à zéro, nous aurons

d'où

Il est facile de tirer de cette proposition, comme corollaire, que de tous les triangles isopérimètres , celui qui a la plus grande surface est équilatéral.

Nous ne pouvons entrer dans plus de détails sur l'importante méthode de maxima et minima; ce qui précède contient ses principes fondamentaux , mais leur développement doit être étudié dans les ouvrages sur le calcul différentiel. Foy le grand traité de Lacroix. Voy. aussi la géométrie de Simpson pour les maxima et minima des figures géométriques.

MAYER (Tome), l’un des plus célèbres et des plus grands astronomes modernes, naquit le 17 février 1923 à Marbach, dans le royaume de Wurtemberg. Ses com mencemens furent pénibles, mais, comme tous les hommes que le génie de la science appelle à une grande renommée , il lutta noblement contre tous les obstacles et fournit une courte mais glorieuse carrière. L'histoire de sa vie est celle de ses traveaux. Son premier ouvrage parut en 1745, c'est un traité des courbes pour la construction des problèmes de géométrie. Mayer le composa dans l'espoir d'obtenir du service dans l'artillerie ; il publia la même année un atlas mathématique, c'est une suite de soixante tableaux dans lesquels sont représentées toutes les parties de la science. Depuis cette époque Mayer s'occupa plus spécialement d’astronomie et il contribua beaucoup à la publication des mémoires de la société cosmographique de Nuremberg qui ont eu de la célébrité sous ce titre : kosmographische nachricthen und sammlungen. On remarque davs le volume publié en 1750, ses observations et ses calculs de la libration de la lune. La méthode nouvelle qu’il employa dans cetterecherche importante est adoptée aujourd’hui par tous les astronomes , et ou lui doit la précision qui distingue les tables astronomiques les plus récentes.

En 1751, Mayer se fixa à Gaœttingue où il fut chargé de la direction de l'observatoire. C'est là qu’il se livra, avec un zèle soutenu , aux observations et aux trayaux

astronomiques qui ontillustré son nom. Il entreprit de vérifier les points fondamentaux de l’astronomie, les réfractions , la position des étoiles , et principalement de celles du Zodiaque ; son catalogue zodiacal contient 998 étoiles , dont une grande partie ont été observées jusqu’à 26 fois. Ce fut également à l'observatoire de Geœttingue, riche de précieux instrumens dus à la munificence du roi d'Angleterre que Mayer acheva ses tables du soleil et ses excellentes tables de la lune , qu’il corrigea avec le plus grand soin jusqu’à sa mort qui eut lieu le 26 février 1762. On sait que sa veuve envoya ces tables à Londres pour concourir aux prix des longitudes, qu’elles obtirrent une récompense de 5,000 livres sterlings et que le soin de les publier fut confié à Maskeline. Les œuvres de Mayer devaient être publiées par Lichtemberg, astronome de Gættingue etson ami, mais un seul volume parut en 1775. Il contient divers mémoires qui attestent tous à unhaut degré le génie de ce jeune et illustre astronome.

On y remarque un projet pour déterminer plus exactement les variations du thermomètre et une formule pour assigner le degré moyen de chaleur qui convieut à chaque latitude et les temps de l’année où doit arriver la chaleur la plus grande et le plus grand froid ; une méthode facile pour calculer les éclipses de soleil; elle a beaucoup d’analogie avec celle de Keppler. Un assez grand nombre d'écrits et de mémoires scientifiques de Mayer ont été publiés à Past, nous citerons entr'autres : Description d'un nouveau globe de la lune ; Nuremberg 17950.—Réfractions terrestres id. 1750.— Description d'un nouveau micromètre. — Observation de l'éclipse de soleil en 1748.—Conjonction de la lune et des étoiles, observées en 1747 et 1748.—Preuves que la lune n'a point d'atmosphère.— Mémoire sur la parallaxe de la lune et sa distance à La terre déduite de la longucur du pendule à secondes.—Inclinaisons et déclinaïisons de l'aiguille aimantée , déduite de la théorie. — Inégalités de Jupiter. (Voyez mém. de l'académie de Gattingue et l'éloge de Mayer par Kaestner.)

MÉCANIQUE. Science des lois de l'équilibre et du mouvement, ou, plus exactement, science des lois des forces motrices. C’est une des branches fondamentales des mathématiques appliquées. (Voyez Marnrma- TIQUES.)

Le nom de mécanique, qui dérive du grec pngærn, machine, indique suffisamment que, dans l’origine, cette science n'avait pour objet que des connaissances pratiques sur le jeu et l'emploi des machines; mais ilen a été ici comme pour la géométrie, la dénomination est restée malgré l'immense extension de la science et sa complète transformation. Aujourd’hui, on désigne sous le nom général de MECANIQUE l’ensemble de toutes

les sciences qui se rapportent , soit à l'équilibre ou au mouvement des corps, soit aux lois abstraites ou concrètes du mouvement , soit aux lois des forces motrices, soit à la construction ou à l’usage des machines. C'est une vaste réunion de connaissances théoriques et pratiques, dont les premières forment la mecanique rationnelle , et les secondes la mécanique pratique où appliquée. Cettedernière seule se rapproche de la mécanique des anciens.

C’est à Newton qu'est due la division de la mécanique en rationnelle et en pratique , et indépendamment des belles et nombreuses découvertes dont il a enrichi cette science, on peut dire qu’il en a changé la face dans son célèbre livre des principes par la manière nouvelle dont il l’a présentée. Nous devons faire remarquer en passaut qu’il n’a pas été aussi heureux dans les considérations philosophiques qui servent de base à sa division, car il a prétendu que la géométrie n’est fondée que sur des pratiques mécaniques. Cette confusion de principes a pourtant excité l’admiration des grands philosophes de l'Encyclopédie !

Quoique les anciens eussent porté la construction des machines à un degré surprenant de perfection , ils n’en ont connu que très-tard les principes théoriques. Les écrits d’Aristote nous prouvent que ce philosophe, et conséquemment tous ses prédécesseurs, n’avaient que des idées confuses ou fausses sur la nature de l’équilibre et du mouvement. Les véritables principes de l'équilibre ne remontent pas plus haut qu’au temps d’Archimède, et c’est ce grand géomètre qui en a posé les lois élémentaires dans son livre De æqui ponderantibus On lui doit, outre la théorie du /evrer et celle des centres de gravité qui se trouvent exposées dans cet ouvrage , les théories du plan incliné, de la poulie et de la vis. Depuis Archimède jusqu’à Stevin, c’est-à-dire jusqu'au commencement du xvi‘ siècle, nous voyons bien apparaître de grands mécaniciens , où plutôt de grands constructeurs de machines, mais nous n’apercevons aucun progrès dans la théorie, qui semble demeurer stérile entre les mains inhabiles des successeurs de l’illustre mathématicien de Syracuse.

Piès de vingt siècles s’écoulent, et pendant ce long intervalle la science impuissante ne peut franchir le cercle étroit des propositions d’Archimède; mais enfin un progrès se manifeste, un nouveau principe est produit, principe fécond en conséquences de tout genre, c'est le famenx parallélogramme des forces, sinon formulé exactement, du moins indiqué par Stevin. Bientôt après, la théorie du mouvement varié, inconnue aux anciens, prend naissance entre les mains de Galilée ; les lois de la communication du mouvement, ébauchées par Descartes, sont établies par Wallis, Wren, et surtout par Huygens, qui devient, par sa

belle théorie des forces centrales, le précurseur de Newton. Les découvertes se succèdent alors avec rapidité, les théories se développent, les procédés de calcul s'étendent, et, comme pour racheter les vingt siècles perdus, deux siècles suffisent pour constituer toutes les branches de la mécanique générale.

Nous avons déjà signalé, dans un grand nombre d'articles, l'immense révolution scientifique commencée au xvn° siècle et les travaux prodigieux dus au xvin‘; ainsi, pour éviter les répétitions, nous nous contenterons d'exposer dans ce qui va suivre les notions préliminaires de la mécanique, en renvoyant pour les détails aux articles spéciaux.

1. Le mouvement d’un corps est sa présence successive en divers lieux de l’espace.

2. La cause quelconque en vertu de laquelle un corps est mis en mouvement se nomme force.

3. La direction d'une force est la ligne droite qu'elle tend à faire décrire au point matériel auquel on la concoit appliquée.

4. Deux forces sont égales lorsqu'elles produisent le même effet, ou si, étant appliquées en sens contraire l’une de l’autre à un même point matériel, elles se font équilibre.

5. Deux forces égales agissant dans le même sens peuvent être considérées comme une seule force. On dit alors que cette dernière est double. En général, on peut prendre une force quelconque c1mme unité de comparaison , et alors une force est double, triple, etc., selon qu’elle est formée par la réunion de deux , trois, etc., forces égales chacune à l’unité. Les forces deviennent ainsi des quantités mesurables , et on peut les représenter par des lignes ou par des nombres.

6. Lorsque plusieurs forces sont appliquées à un même corps, il peut se présenter deux cas distincts : ou elles se détruisent complètement, et le corps demeure en repos, ce que l’on nomme alors équilibre, où ces forces ne font que se modifier réciproquement , et le corps se met en mouvement.

La recherche des conditions de l'équilibre est l'objet d’une branche de la mécanique que l’on nomme Sra- TIQUE, celle des conditions du mouvement est l’objet d’une autre branche que l’on nomme Dyvamique. Lorsqu'il s’agit des corps fluides, les recherches des conditions de l'équilibre et du mouvement forment deux sciences particulières qui ont reçues les noms d'Hypro- STATIQUE et d'HyxproDYNAMIQUE.(’oy. ces divers mots.)

7. Un corps qui, pendant des durées de temps égales, parcourt toujours des espaces égaux, est dit se mouvoir uniformément; son mouvement se nomme 71ouvement uniforme. Si, au contraire, peodant des durées égales, il parcourt des espaces inégaux, son mouvement prend le nom de mouvement varié.

Si, de deux corps qui se meuvent uniformément, le premier décrit dans le même temps un espace plus grand que celui du second, il est ditse mouvoir avec plus de vitesse. Sa vitesse sera double, si l'espace qu’il parcourt est double de celui que parcourt le second, triple, si l’espace est triple, et ainsi de suite. On nomme donc vitesse, dans le mouvement uniforme, le rapport de l’espace parcouru au temps employé à le parcourir. Ainsi, pour un corps qui parcourrait 6 mètres en 8 secondes,

; Le , 6 l'expression numérique de la vitesse serait, en pre-

nant le mètre pour unité de longueur, et la seconde pour unité de temps. Or, en considérant que le quotient de cette division exprime l’espace parcouru en une seconde, on voit que la vitesse n’est que l’espace parcouru dans l’unité de temps.

Si nous désiguons par E l’espace, par V la vitesse et par T le temps, nous aurons l'égalité

qui renferme toutes les relations de ces trois quantités

dans le mouvement uniforme.

9. D'après les définitions du mouvement, on voit que la vitesse est uniforme dans le mouvement uniforme , et qu’elle est variée dans le mouvement varié.

Pour mesurer cette dernière, on considère une durée infiniment petite pendant laquelle on peut toujours regarder Je mouvement comme uniforme, et l’on appelle alors, pour chaque instant, vitesse du corps, le rapport de l’espace infiniment petit parcouru dans cet instant à la durée infiniment petite de ce même instant. Ainsi désignant respectivement pare, v et 1, l’espace, la vitesse et le temps, nous aurons pour l'expression de la vitesse

de vb = dt de et dt étant les différentielles de e et de £.

10. Lorsque la vitesse augmente pendant la durée d’un mouvement varié, le mouvement est dit accéléré; dans le cas contraire, il est dit retardé. Si la vitesse augmente ou diminue toujours en temps égaux de

de quantités égales, le mouvement est uniformément accéléré où uniformément retardé.

11, La vitesse se distingue en vitesse absolue et vitesse relalive. La vitesse absolue d’un corps est sa vitesse réelle eteffective , celle qui sert à mesurer la quantité dont il s'approche ou s'éloigne des objets qui sont considérés comme fixes dans l’espace. La vitesse relative de deux corps, au contraire, est celle qui sert à mesurer la quantité dont ces corps se rapprochent ou s’éloignent l’un de l’autre dans un temps donné.

12. L’intensité de la force qui meut un corps, se mesure par la vitesse du mouvement, ou par l’effet qu’elle produit. Ainsi quand les vitesses communiquées à un même mobile et dans un même temps, sont connues, leur rapport fait connaître celui des forces.

13. En considérant les forces, abstraction faite de leur nature, comme proportionnelles aux effets qu’elles produisent, on voit que si deux forces, agissant sur deux mobiles différens, produisent la même vitesse, celle qui aura mis en mouvement le mobile dont la masse est la plus grande sera plus grande que l’autre ; elle sera double si la masse est double, triple si elle est triple, etc. En général le rapport des masses donnera celui des forces lorsque les vitesses sont égales.

14. Tes forces étant proportionnelles aux vitesses lorsque les masses sont égales, et aux masses lorsque les vitesses sent égales, sont donc proportionnelles aux produits des masses par les vitesses, lorsque les masses et les vitesses sont inégales.

Ainsi la mesure générale d’une force est le produit de la masse du corps qu’elle meut par la vitesse. Pour éviter la considération abstraite de force , on a nommé le produit qui la représente, quantité de mouvement.

D'Alembert a ramené toutes les questions qui se rapportent à l’action des forces motrices, à de simples questions de statique à l’aide d'un beau théorème, dont on trouvera l'exposition au mot quantité de mouvement.

Voyez Mouvemenr, Force, CENTRAL, STATIQUE, Hy- DROSTATIQUE, HYDRODYNAMIQUE. V’oy. aussi MAcuine, Levier, BALANCE, PLAN INGLINE, etc. , etc.

MÉCHAIN (Pirrre-Francois- ANDRE) , astronome moderne, né à Laon, le 16 août 1744, mort en Espagne le 0 septembre 1805. Ce membre distingué de l'Académie des sciences a dévoué sa vie à des travaux obscurs, mais estimables, et qui sont peu susceptibles d'analyse. Ce dévoüment si rare, et qui promet peu de gloire à ceux qui en acceptent les modestes conditions, mérite du moins d’être signalé dans l'histoire de la science. Méchain , amené à Paris par son amour pour la science, y vivait dans le plus grand dénüment, lorsque Lalande eut occasion de le distinguer et d'apprécier ses talens ; il le fit nommer astronome hydrographe du dépôt des cartes de la marine. Il s’occupa iong-temps aux calculs des observations que le marquis de Chabert faisait depuis viugt aus dans la Méditerranée, et se livrait la nuit à des observations astronomiques, dont Lalande publiait les résultats. Il se donna plus spécialement à la recherche des comètes : non-seulement il en a découvert plusieurs, mais encore il en a déterminé les élémens avec assez de précision pour qu'on puisse Les reconnaître un jour et constater la périodicité de leur

marche. 11 en découvrit deux en 1581, dont il calcula aussitôt les orbites. Il suivit assidument, et calcula le cours dans diverses paraboles de la planète d'Uranus, récemment découverte par Ierschell, et que les astrenomes prirent quelque temps pour une comète; Méchain démontra le contraire, en la traitant le premier comme une planète et en lui donnant une orbite circulaire. En dix-huit ans, Méchain a découvert le premier jusqu’à onze comètes, dont il a calculé les orbites; il a concouru, avec Cassini et Legendre, à constater la position relative des Observatoires de Paris et de Greenwich, et quand l'assemblée constituante décréta létablissement d'un nouveau système de mesures, fondé sur la grandeur du méridien terrestre, Méchain fut l'un des deux astronomes choisis pour cette opération, qui devaient déterminer les différences terrestre et céleste entreles parallèles de Dunkerque et de Barcelonne. C’est de la partie qui s'étend de Rliodès à Barcelonue qu’il fut chargé. Cette opération et les observations trigonométiques qui en furent l: conséquence ont rempli le reste de sa vie. Méchain fut à la fois un observateur exact et un calculateur infatigable. Il n’a rien publié à part que les volumes de la Connaissance du temps, de 1586 à 1794. Ses travaux se trouvent dans les suites de cet ouvrage et dans la Base du système métrique décimat,

dont la rédaction est due à Delambre.

MEMBRE. (4/g.) Ou dünne ce nom , dans une égalité, aux parties séparées par le signe —. Ainsi dans

A—B—M,A+B, est le premier membreet M le second.

MÉNÉLAUS, géomètre grec de l’école d'Alexandrie, vivait vers l’an 80 de notre ère. Il est l’auteur d’un ouvrage divisé en six livres sur le calcul des cordes, qui a été perdu, On a de lui trois livres intitulés : Sphérique, dont l'original grec est également perdu, mais dont on possède deux traductions, l’une arabe, l’autre hébraïque. C’est sur le premier de ces textes qu'a été fuite l'édition gréco-latine, à laquelle on à joint les Spheriques de Théodose, et qui a été publiée à Gxford en 1707, Sous ce litre : Theodosi sphæricorum, libri tres ;

Menelaï alexandrini sphæricorum , libri tres

MEÉNISQUE. (Opi.) Verre lenticulaire concave d'un côté et convexe de l’autre, Nous avons donné au mot lentille une formule générale pour trouver le foyer des verres ; on l’appliquera sans difficulté aux verres ménisques , en faisant l’un des rayons négatif.

MERCATOR (ou plutôt Nicoras Kaurrmann), célèbre géomètre du XVII° siècle. On sait peu de chose sur sa vie. Né dans le Holstein, il s'était déjà fait connaître par quelques ouvrages , lorsqu'il passa en Angleterre en 1660, Il fut l’un des premiers membres de Ja société royale de Londres. Il vint ensuite en France, où