J+4=9 (24 DE

d'où nous obtiendrons en comparant avec (1) A=(x+0)—®x ,

; c : à A Ne équation , qui ferà connaître le rapport = , et cela indé: Le]

pendamment de toute considération de mouvement et de vitesse; ces considérations, bien loin d’expliquer la nature des accroissemens À, à n'étant elles-mêmes possibles qu’en vertu delexpression (r). ILest donc évident que les fluxions où les différences des quantités, tirent leur origine de la nature même des quantités numériques, et non de l'application de ces quantités aux figures géométriques ; en un mot, li considération abstraite des différences, précède nécessairement et rend seule possible la considération concrète de ces mêmes différences.

Quoique ies géomètres du dernier siècle, que l'inrint épouvantaient, trouvassent la métaphysique de Newton beaucoup plus lumineuse que celle de Leibnitz, ils comprirent, et Newton avec eux, que l’idée de vitesse est non-seulement étrangère à la science des nombres, mais encore que lorsque le mouvement est variable, l'expression algébrique de cette vitesse exige précisément des fluxions ou des différentielles , lesquelles ne peuvent ainsi en tirer leur signification. Newton rejeta donc bientôt toute considération de mouvement, et daws son célèbre livre des Principes, il reproduisit son calcul sous un tout autre aspect, en présentant le rapport des fluxions de deux quantités, comme celui qu’elles ont dans la limite de leurs différences respectives, ou lorsque ces différences s’évanouissent. C’est sur ce dernier point de vue, que se trouve fondée la méthode des limites qu’on enseigne aujourd’hui généralement sous le nom de calcul différentiel. :

Si les géomètres français ont montré peu de tact philosophique en préférant les procédés indirects de la méthode des limites, à ceux si éminemment simples du calcul différentiel proprement dit, ils ont du moins adopté la notation de Leibnitz. Cette dernière est à la | vérité beaucoup plus commode que celle de Newton, dont les géomètres anglais se sont exclusivement servis

FO pendant long-temps, mais dont ils commencent à abandonner l'usage. D’après Newton, æ avec un point, tel que æ, désigne la fluxion du premier ordre ou la diffé-

% rentieile première de x; x désigne la fluxion du se-

cond ordre ou la différentielle seconde; æ, la fluxion du troisième ordre ou la différentielle troisième; ct aiusi de suite.

La MÉTHODE INVERSE DES FLUXIONS a pour objet de remonter aux quantités dont les fluxions sont données, ou de trouver les fluentes de ces fluxions; c’est proprement le calcul intégral. Voy. Inrécraz, voy. aussi Foncuon et Limire.

FOLIUM de Descartes (Géom.). Courbe du troisième ordre, qui tire son nom de la ressemblance d’une de ses parties avec une feuille. Joy. l'Anarysk DES INFINI- MENT pETITS, du Marquis de l'Hôpital.

FOMALHAUT (454). Étoile de la première grandeur, située à la bouche du poisson austral.

FONCTION (a/g.) On nomme en général fonction d'une ou de plusieurs quantités variables, toute expression algébrique composée, d’une manière quelconque, de ces inêèmes variables et de quantités constautes. Par exemple æ, y, etc., désignant des quantités variables, et a, b, c, etc. , des quantités constantes, les expressions ax? + b, Vaz+b+e

a ge" Tex" etc.

ax ,

(ax+i+ er ,

sont toutes des fonctions de x. Et

axty, Va+y, Vax—y, + by, etc.

des fonctions de x et de y, etc.

1. On divise communément les fonctions en a/gebriques èt transcendantes. Les premières se forment par les opérations élémentaires de l’algèbre; les secordes contiennent en outre des quantités transcendantes, c’est-à-dire des quantités exponentielles, des sinus , des logarithmes, des différentielles, etc. Ainsi l'expression

a + bam—cV/ (2x2)

x — 3bx?

est une fonction algébrique de x, et les expressions at+b, ax"dx +bdx, sinx +ax, aLog.x +-bx sont des fonctions transcéndantes de #.

2. Les fonctions algébriques se subdivisent en fonctions rationnelles et en fonctions irrationnelles. Les fonctions rationnelles sont celles qui ne contiennent que des puissances entières de la variable; les fonctions irra tiounelles sont celles où la variable est affectée du signe

FO 27 ar

radical. Par exemple, les expressions ax, 1, a—x

axi— bxi, etc., sont des fonctions rationnelles; et Væ, at” (@—x’), V/(a-bx—cx?) etc., sont des fonctions irrationnelles. ;

3. Les fonctions rationnelles se subdivisent encore en fonctions entières et en fonctions fractionnaires. On nomme fonctions entières celles qui ne renferment que des puissances entières et positives de la variable et dans lesquelles cette variable ne se trouve mêlée à aucun dénominateur. Les fonctions fractionnaires sont celles

où le contraire a lieu ; ainsi la formule

abx+cx+dx+exi+ etc.

représentera une fonction quelconque entière, et la for mule

a+-bxcx+dr+exi etc.

a+ Ex ya ox oxiE etc:

une fonction quelconque fractionnaire, quelles que soient d’ailleurs les constantes à, b. c, a, B, y etc., positives ou négatives , entières ou fractionnaires , rationnelles ou irrationnelles, et même transcendantes.

4. En remarquant que la valeur d’une fonction quelconque de la variable x dépend de la valeur qu’on attribue à cette variable , on peut considérer la fonction elle-même comme une quantité variable, Par exemple la fonction ax+-b devient successivement

ab, oa+-b, 3a4b, 4a4-b, etc.

en faisant T1, 2 —%,L 9€ —"4, etc. Ainsi dés

signant généralement par y, cette quantité variable F.

; SRE LB DIOURE ax+-b, nous aurons l'équation

y —=ax+b

dans laquelle y, ou la fonction de x, sera dite une variable dépendante, tandis que x est La variable indcpendante. L

5. Lorsqu'on représente par y une fonction quelconque de x, comme rien n'empêche de considérer cette quantité y comme une variable indépendante, et que, quelle que soit la valeur qu’on veuille luiattribuer, il en résulte nécessairement une valeur déterminée pour æ, on peut donc toujours , réciproquement , considérer æ comme une fonction de y. Par exemple, y étant comme ci-dessus la fonction ax+-b, si l'on résout

par rapport à æ, l'équation Y = ax-}-b

on trouve

et l'expression ? —b,oux, se nomme alors fonction a

réciproque de y.

6. S'il est toujours facile d'obtenir la valeur d’une fonction entière correspondante à une valeur déterminée de la variable, il n’en est pas de même lorsque Ja fonction est irrationnelle ou transcendante; et dans le

plus grand nombre des cas on est forcé d’avoir recours

à des procédés de transformation que nous ne pouvons

exposer ici. ( Voy. l'Introduction à l'analyse des infiniment petits d'Euler. ) Mais le grand moyen, connu des géomètres, pour évaluer toute espèce de fonctions, c’est d'obtenir par les séries une nouvelle génération des quantités qu’elles représentent, ce que l'on appelle développer une fonction en série: ce problème est aujourd’hui résolu complètement par les procédés du calcul différentiel, et nous devons renvoyer aux articles de ce Dictionnaire qui en traitent (Foy. DiFFÉRENTIEL , 34,41 et SémE), tout en faisant observer qu'il existe encore d’autres algorithmes capables de donner une solution exacte et quelquefois plus satisfaisante de la question que celle qu’on obtient au moyen des séries. Poy. TEcantE. |

THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES. Obtenir tous les résultats du calcul différentiel sans avoir recours à aucune quantité infiniment petite ou évanouissante, déterminer les véritables principes de ce calcul, tel estle double problème dont notre célèbre Lagrange a cru donner la solution dans ses ouvrages sur la théorie et le calcul des fonctions analytiques. (Voy. Théorie des Jonct. analy., et Lecon sur le calcul des fonct.) Nous avons eu déjà l’occasion dans plusieurs articles de ce Dictionnaire de nous élever contre l'étrange prétention des géomètres modernes de vouloir repousser de la science l’idée de l’infénisans laquelle elle n’existerait pas, et nous pourrions nous contenter ici de déclarer, en nous appuyant sur les principes exposées au mot Dirre- RENTIEL, que, considérée sous le rapport métaphysique, la théorie de Lagrange est un véritable non sens philosophique ; mais les services éminens que ce grand mathématicien a rendus à la science, la nature même des erreurs daus lesquelles il est tombé, et surtout la polémique singulière dont ces erreurs ont été l’objet entre l'Institut de France et l’auteur de la Philosophie des mathématiques nous font un devoir d’entrer dans quelques détails capables d’éclaircir cette importante question.

Le point de départ de Lagrange est que la théorie du développement des fonctions en séries renferme les principes métaphysiques du calcul différentiel, et ses moyens sont de démontrer que les quantités dites difféerentielles ne sont en réalité qu’une espèce particulière d'algorithme des fonctions, ou comme il les nomme,

FO des fonctions dérivées d'une fonction primitive. Soit, dit-il, fx une fonction quelconque d’une variable x, si l'on suppose qu’à la place de x on mette dans cette fonction x—i, à étant une quantité quelconque indéterminée, elle deviendra f (x+-?) et on pourra la développer en une série de cette forme (a)

S(@) = fetpit-qe re ete.

dans laquelle les quantités p, g, r, etc., coefficiens des puissances de à, sont de nouvelles fonctions de x dérivées de la fonction primitive et indépendante de l’indéterminée 2.

Quant à la possibilitémêème de la forme du développemeut{a), Lagrange suppose, pour la démontrer, qu’aucun terme de ce développement ne peut contenir des puissances fractionnaires de z parce que, vu la pluralité des racines, la série aurait plusieurs valeurs, ce quiserait absurde. Fondé sur cette raison que nous examinerons plus loin, il pose pour second principe de sa théo-

rie l'expression (b).

J'(a+Hi)=fr+il

dans lacuelle P est une fonction de xet dei qui ne

peut devenir infinie lorsque z'est égal à zéro, puisque

dans ce dernier cas, cette expression doit se réduire à

l'identité.

JX= TL

Mais P étant une nouvelle fonction de x et dei, on peut aussi en séparer ce qui est indépendant de # et qui par conséquent ne s'évanouit pas lorsque 7 devient nul, Soit donc p ce que devient P lorsqu'on faiti = 0,p sera une fonction de æ sansz et l’on aura encore.

D iQ

iQ étant la partie de P qui devient nulle lorsque 1 —o et Q une nouvelle fonction de x et de £. En poursuivant le même raisonnement on pourra former la suite d’égalités,

F(x+i) fx til P—p+1Q Q=—7+iR Kris

etc—etc :

ce qui donnera en substituant successivement,

Sla+Hi)=fxtpit-qè ri tete.

Cest-h-dire une série de la forme en question (a). FI - ; ; 1

Ceci posé, Lagrange démontre que chacune des fonctions p, g, r, s, etc. se dérive de celle qui la précède par

ns nd

un procédé unique de dérivation , de sorte que p étant f la dérivée de fx, q estla dérivée de p, r la dérivée de 4, |

FO etc. Il nomme alors p première dérivée ou fonction prime, q seconde dérivée ou fonction seconde, r troisième dérivée ou fonction tierce, etc., et désignant ces dérivées par la notation f'x, f"x, f"'x etc., il parvient

au développement final

etc.

« , 72 2 fx Hi) = fa tfriLf He + f''x :

etil conclut que ces fonctions dérivées sont la véritable signification des coefficiens différentiels du théorème de Taylor.

Se CORAE dSfx 113 Es sors

Seti =fe +Ÿ ete.

Il ne nous est point nécessaire de suivre Lagrange dans les conséquences ultérieures de ses principes, ri dans les nombreuses applications qu'il en fait; ici le métaphysicien disparait pour faire place au géomètre : tout ce que la science et le génie peuvent offrir de ressources, se trouve employé par lui avec cette supériorité incontestable qui l’a placé au premier rang, et qui donne un haut degré d'utilité à l'étude de sa théorie des Jonctions analytiques, malgré la fausse direction de cet ouvrage. Toute cette prétendue théorie repose évidamment sur les deux principes (a) et (b), et il nous suffit-d’examiner la validité de ces principes pour nous former uue idée de celle de la théorie elle-même, Pour pouvoir poser comme principe la forme (a) du développement des fonctions en séries, il faudrait d’abord démontrer que toute fonction flx+-1) est, en ellemême, identique avec le développement fx—+Æpiqi+ etc., ou qu’elle est simplement équivalente à ce développement, et déterminer la condition supérieure de cette identité ou de cette équivalence ; mais Lagrange se contente d'établir qu’il ne peut y avoir dans ce développement (a) des puissances fractionnaires dei, ce qui le conduit à son second principe (4) à l’aide duquel il prétend ensuite démontrer cette forme (a) justement en question ; or, sans relever ici le cercle logique qui résulte de la dépendance mutuelle des deux expressions (a) et(b), il est de fait que la démonstration de Lagrange sur les puissances fractionnaires de z est non-seulement insuffisante, mais de plus qu’elle est entièrement fausse, car rien n’empêche de faire entrer ces puissances fractionnaires dans le développement de la fonction fx+i), et dans ce cas les valeurs différentes des radicaux se compensent soit dans la génération même de la série, soit dans la quantité qu’elle donne de manière qu'il en résulte toujours la même valeur pour la fonction f (x+i) (voy. Séries). La forme (a) des séries n’est donc nullement démontrée, et la théorie de Lagrange repose conséquemment sur une base hypothétique : ses deux principes (a) et (b) n’étant jusqu'ici vérifiés qu’à postériori,

FO

Mais lors même que ces principes seraient rigoureu-

sement établis , aucun d’eux n’est capable de donner une signification indépendante et absolue aux fonctions dérivées fx, f'x, ete., sur lesquelles reposent, d’après Lagrange, la métaphysique et la possibilité du calcul différentiel , en effet , ces fonctions n’ont d'autre signification que d'être les coefficiens des termes de la série et leur position dans cette série n’est réellement que la donnée du problème qu’on peut se proposer sur la recherche de leur nature. Or, la nature d’une quantité consiste dans la réunion des opérations élémentaires ou systématiques à l’aide desquelles elle est formée, car c'est évidemment la réunion de ces opérations qui constitue la signification de cette quantité, signification qui est absolue lorsque les opérations sont primitives ( addition, multiplication, puissance et leurs inverses ), et seulement relative, lorsque les opérations sont deérivces (logarithmes, sinus, etc.,) (voy. Marnémariques). Par exemple, si nous désignons par a la diagonale d’un carré dont le côté est b, l'expression

b sin. 45°

sera la signification relative de la quantité a, parce qu'il entre dans cette expression la fonction séuus qui n’est point primitive, tandis que l'expression équivalente

sera la signification absolue de cette même quantité, celle qui fait connaître la nature irrationnelle de la diagonale. (Foy. Cencze, 45, un autre exemple pris sur ) Les fonctions dérivées de Lagrange f'x, f'x,etc., ne sont en réalité qu'un nom donné à certains procédés qu’il faut exécuter pour ob-

le fameux nombre 7.

tenir les équations dont la valeur de ces fonctions dépendent, et elles n’ont ainsi en elles-mémes aucune espèce de signification; bien loin donc de pouvoir expli-

dfx fx

uer la nature des quantités différentielles q q dx' dx’?

etc., elles ne sauraient être conçues qu'à l’aide de ces quantités, et c'est seulement parce qu’on a

Dfx

dfx J'=S

7 dx?

dfz

ar PTE

, etc.

que ces fonctions dérivées reçoivent une signification qui les rend susceptibles d'être employées dans la science. ( Voy. Réfüutatïion de la théorie des fonctions analyti- » Paris 1812.)

FONTAINE ARTIFICIELLE (Mec.).

le moyen de laquelle l’eau est versée ou lancée. De ces

ques de Lagrange, par H. Wronski

Machine par

machines, les unes comme les jets d'eau |

(voy. ce mot)

agissent par la pesanteur de l’eau, les autres comme la

célèbre fontaine de Héron d'Alexandrie, dont nous allons donner la description, agissent par le ressort de l'air.

La fontaine de Héron se compose de deux boites de métal ez et xy (PL. 15, fig. 2) auxquelles on donne une foume arbitraire, et qui sont réunies par des tuyaux de même matière wx , 2Y, et surmontées d'un bassin ar. Le bassin 4ë communique à la boite supérieure £z par le tuvau BZ ouvert euz et qui porte en 5 un ajutage qu’on y visse au besoin. Ce même bassin communique à la boîte inférieure xy par le tuyau wx ouvert aux deux bouts, et qui se rend vers Le fond de la boîte. Enfin les deux boites communiquent ensemble par le tuyau Yz ouvert en y, et qui traverse la boite supérieure dans presque toute sa hauteur. Pour mettre cette fontaine en jeu, on emplit d’eau jusqu’au trois quarts par le tuyau »z la boite supérieure Ez. On en met eusuite dans le bassin AE, de manière à tenir toujours plein le tuyau wx. Cette colonne d’eau qui tend à se répandre dans la boîte inférieure xx, comprime par sou poids la masse d'air dont elle est remplie : cet air ainsi comprimé s’échappe par le tuyau vz et va déployer son ressort sur la surface de l’eau contenue dans la boite super eure Ez, et alors cette eau comprimée par le ressort de l'air, s’échappe en forme de jet par le tuyau 8z. De cette manière , l’eau de la boîte supérieure Ez, chassée par l'air, retombe dans le bassin 4E, et à l’aide du tuyau 0x, passe dans la boite inférieure , et continue à comprimer de plus en plus l'air intérieur, ce qui fait durer le jet tant qu'il y a de l’eau dans le bassin superieur. Aprés l'opération, on vide la boite inférieure au moyen d'un robinet placé au-dessous.

Cette fontaine perfectionnée par Nieuventit contient le principe de toutes les machines hydrauliques qui agissent par le ressort de Pair. (Poyez le Cours de physique de Musschenbrock.) Nous allons faire connaitre ici la construction et la théorie des plus importantes de ces machines.

Machine de Darwin.

Rest le conduit supé. rieur qui fournit l’eau à la machine, R' le réservoir veut élever l’eau. C une

dans lequel on

capacité fermée placée au bas de la chute, c une autre capacité fer-

mée placée au niveau

du conduit R. Ces deux

capacitéscommuniquent entre elles par un tube et avec les réservoirs À et R' par des tuyaux indiqués sur la figure et susceptibles

d’être fermés par les robinets 2, 7n,p, q«

à FO

Les robinets 72, g étant fermés, et ceux p, 7, n' ouverts, la capacité C se vide entièrement, et celle C s’emplit jusqu’au niveau 4a' du bief supérieur. Fermant les robinetsp, 2, n', et ouvrant ceux 7, q, la capacité C s’emplira d’eau, comme la figure l'indique. A mesure qu’elle s'emplira, l'air contenue dans cette capacité se comprimant , forcera l’eau contenue en C' a mouter eu R'. La capacité C étant pleine, on fermera les robinets mm, Q; Ou ouvrira ceux p,n, n'et le même jeu recommencera.

Soient :

JI la hauteur de la chute, comptée du niveau A au fond de la capacité C.

H' la hauteur à laquelle l'eau est élevée, comptée du

niveau À au niveau L.

a,a! les aires des sections horizontales des capacités C, G'supposées prismatiques.

h, h' les hauteurs sur lesquelles ces capacités S'emplissent et se vident à chaque oscillation,

# la hauteur de la colonne d’eau qui fait équilibre à la

pression atmosphérique 10,3.

Supposant que les capacités C, C’ n’ont queles hauteurs h, h'; négligeant le volume de l’air contenu dans le tuyau qui établit la communication evtre ces capacités ; considérant l'instant où Cest plein d'air, C plein d’eau, et où l’on viept de fermer le robinet; onauraQ A pour le volume d’air enfermé dans la machine, et soumis à la pression u. Considérant ensuite l'instant où C a été rempli d’eau, et C'vidé, on aura ©’ h' pour le volume auquel aura été réduit l’air enfermé dans la machine. La pression de cet air scra donc devenu pol , Q'h Mais cette tension doit faire équilibre en C'à la colonne d’eau p+H'—+'. Donc on a la relation.

# sg #4 ++", d'où RTE ET

Le rapport de l'effet produit par la machine à la

oh Oh :

quantité d'action dépensée est donc

ARLES eH' oh." (LH RH

Pour rendre ce rapport le plus grand possible, il faut d’abord poser k'—o. Il devient alors