ANCIENNES

Mètres.

Perse... Parasange de 10000 coudées royales. 5250 Schæne, de 20000 id.,...,... 10500 Stathme, de 40000 id.....,... 21000

Egypte... Grandechaïne ou Plèthre de 100 pieds, 36 Stade, de Goopieds.......,,..,. 210 Homes. HAE Rae tnt et AT 219

Chine... Tchang ou perche....,..,,.,.... 3,2 Li..de 180 perches;e. :: ensosesp 570

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MopERNes.

Meétres.

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Genève....... Aune.

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Aune de Brabaut........... 0, 6914 HANONIE RANCE: se 10e - son eneeee eine O3 DO4O CITÉS et RATE ere eeroraie sise s muets ste mine

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Le pied anglais, divisé en r2

pouces , est le tiers du yard, 1l-Vauts ss esse: 013048 Lucques. ..... Brasse...,..............: 0, 5051 Madrid....... Vare aune de Castille. ....... 0, 8480 Milan. ... 0, 5949 Mupich.2,s. AUNE: sexe doses uvre e aus 076330

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Varsovie, ...

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Venise. ...:... Prassedélainé... cs...

Vienne........ Aune de Vienne........... 0, 9792 Aune de la Haute- Autriche. . 0, 7997

Zurich ss... 1AURe. see 0, 6oot

MÉTHODE. Règle particulière que l’on suit pour acquérir des connaissances.

Ea Mathématiques ; on désigne spécialement sous le nom de Aéthodes , les propositions auxiliaires ou Îles procédés à l’aide desquels on parvient aux propositions définitives. Par exemple, si pour démontrer le théorème de l’équivalence entre la surface du cercle et le produit de sa circonference par la moitié de son rayon, on considère successivement des polygones réguliers inscrits et circonscrits et qu'on s'élève par degrés approximatifs jusqu’à la surface du cercle , on se sera servi de la méthode indirecte des anciens, nommée A/ethode d'exhaustion. Tandis que si l’on considère immédiatement le cercle comme un polygone régulier d’un nombre indéfini des côtés pour en conclure l'expression de la surface, où aura employé la méthode des indivisibles.

La classification des méthodes mathématiques et la nature de la certitude que comporte leur application n’avaient point encore été l'objet de recherches philosophiques avant la publication de l'ouvrage si remarquable de M. Wronski, sur la Philosophie de l'infini. Ce géomètre, dont les travaux commencent une ère nouvelle pour les mathématiques ; a porté dans l’examen des méthodes ces hautes considérations philosophiques auxquelles il a rattaché la science dans ces diyers

ouvrages. Nous ne pouvons mieux signaler l'extrême importance du point de vue supérieur où il s’est placé, qu'en rapportant ici textuellement ses principaux résultats.

Après avoir établi, de la manière la plus rigoureuse, que l'infini est non seulement un instrument exact des recherches mathématiques, mais encore qu'il est l’élément le plus important des vérités mathématiques eliesmêmes, et, qu’en un mot, ce n'est que per l'infini qu'est possible la science des mathematiques, M. W ronski partage les méthodes mathématiques en deux classes dont la première se compose des méthodes qui ne contienvent qu'énplicttement Vidée de l'infini; et la seconde des méthodes infinitésimales où des méthodes qui contiennent explicitement infini. Ces dernières sont celles qui remontent jusqu'aux premiers élémens de la génération des quantités, et qui, conséquemment, nous présentent le plus haut degré d'intérêt.

u Or, dit-il, nous avous deux facultés intellectuelies distinctes qui peuvent nous conduire, plus ou moins exactement, jusqu’à ces premiers élémens de la génération des quantités : ce sont le Jugement et la Raison. »

» Le Jugement, comme faculté de transition de l'Eutendement à la Raison, peut, par une espèce d’anticipation sur cette dernière, découvrir plus où moins rigoureusementles déterminationsde l'infini dans les élémens dela génération des quantités. La Raison, comme faculté de l'iufint, crée elle-même ces détermivatuiens indéfinies dans les élémens de la génération des quantités. — Ainsi, en nous servant ici de Ja faculté du Jugement, les méthodes fondées sur cette faculté ne peuvent que pRÉsUMER les premiers élémens de la génération dont il est question ; taudis qu'en nous servant de la faculté de la Raison, les méthodes fondées sur cette dernière faculté REPRODUISENT OÙ DÉTERMINENT elles-mêmes ces élémens. C’est pour cela que nous nommerons les premères mréthodes présomptives. et les dernières methodes déterminatives. — Telle est donc la première division à priori des méthodes mathématiques qui contiennent expiicitement l'idée de l'indéfini, — Procédors à leur subdivision. »

» Daus les méthodes présomptives, qui sont fondées sur la faculté du Jugement, il paraît d'abord, en ne s’attachant qu'à la diversité des fonctions de cette faculté, qu’on pourrait procéder par deux voies différentes; car les fonctions en quelque sorte rationnelles du Jugement, celles qui portent sur la transition entre Ja Raison ct l’Entendemeut, sont de deux espèces: l’induction et l’analogie. Ces méthodes présomptives présenteraient donc, sous ce dernier point de vue, deux espèces particulières : les unes fondées sur l'induction, que, pour cela, nous nommerons nethodes induction-

nelles ; les autres, fondées sur l'analogie, que, pour

cette raison , nous nommerons , du moins problématiquement, méthodes analogiques. Mais un peu de réflexion suffit pour reconnaitre que les dernières de ces méthodes, les méthodes analogiques, ne sauraient exister. En efiet la fonction intellectuelle, nommée analogie, sur laquelle se trouveraient fondées ces méthodes, porte essentiellement sur la spécification et non sur la généralisation de nos connaissances, c’est àdire que cette fonction sert proprement à descendre de la Raisou à l'Entendement, et non à remouter de cette dernière faculté à la première; de sorte que, par le moyen de cette fonction intellectuelle, on ne saurait nullement remonter aux premiers élémens de la génération des quantités, ce qui est l’objet général des méthodes infinitésimales. Il ne reste donc de possibles, parmi les méthodes présomptives, que les seules méthodes inductionnelles, — Poursuivons cette déter. mination. »

« Les méthodes inductionnelles peuvent être employées 1°. dans la géométrie, en portant sur l'idée de l'indéfini, appliquée à l’espace, et 2°. dans l’algorithmie, en portant sur l’idée de l'indéfini, appliquée au Temps, qui est le principe des Nomgres. — Il s'ensuit que ces méthodes, considérées par rapport à leur but, forment deux branches distinctes : la méthode inductionnelle geometrique et la méthode inductionnelle algorithmique. »

» Or, la méthode des anciens , connue sous le nom de »#ethode d'exhaustion , dont il paraît que nous devons la découverte à Archimède, n’est évidemment autre chose que la méthode inductionnelle géométrique que nous venons de déduire de principes à priori. »

Avant fait remarquer que, d’après la nature de la faculté intellectuelle qui agit dans cette méthode, dont le but est de remonter aux élémens indéfinis de l'étendue, elle ne peut, par elle même, conduire qu'à des vérités présomptives, d'une probabilité de plus en plus grande, mais qu’elle ne saurait conduire à des résultats rigoureux ou atteindre à la certitude; M.Wronski montre eusuite que la méthode inductionnelle algorithmique est la méthode d'approximation proprement dite, méthode dont nous avons exposé ailleurs le caractère distinctif. (Foy. Aprpnoximarion.) Nous ne le suivrons pas dans les développemeus, et nous passerons à ce qu'il dit des méthodes infinitésimales déterminatives.

» Nous avons déjà vu plus haut, par la déduction de ces méthodes, qu’elles sont fondées immédiatement sur l'emploi de la Raison elle-même. Il s'ensuit que les résultats auxquels conduisent les méthodes déterminatives dont il s’agit, sont d’une rigoureuse exactitude. — C'est là le caractère distinctif de ces méthodes; et il ne nous reste pour les connaître complètement, qu’à

ME fixer à priori les différentes voies par lesquelles la raison peut remonter aux premiers élémeus de la génération des quantités, car ces différentes voies sont Gvidemment ce qui constitue la spécification des méthodes dent nous parlons. »

» Or, comme il ne s'agit ici que de la seule fonction de la raison qui produit l'idée de l'indéfini, il est d’abord clair que les différentes voies dont il est question, ne sauraient être fondées sur la différence des fonctions de cette faculté supérieure. De plus, il s'ensuit que la première spécification de ces voies de la raison, si elle est possible, doit être fondée sur la différence de l'emploi eur de la raison, dans la production de l'idée de l’indéfini, et sur l'emploi de cette faculté RÉUNIE à l’entendement : de là résulterait une division des méthodes infinitésimales déterminatives dont il s'agit, en méthodes directes et en méthodes indirectes. Cette division a lieu réeilemert, parce que le double emploi de la Raison, sur lequel se trouve fondée cette division, a lieu effectivement. »

« Lies méthodes directes qui portent sur l’emploi pur de la raison dans la production de l'idéc de l'indéfini , se subdivisent naturellement en celles qui remontent aux élémens indéfinis de l’espace ou de l’étendue, et en celles qui remontent aux élémens iadéfais du rEmrs ou des nombres. Les premières formeut la méthode conpue sous le nom de A/cthode des indivisibles, et les dernières constituent le Calcul différentiel... »

»—Confondant les applications céomérriQues du calcul différentiel avecla nature même de ce calcul, qui est purement ALGORITHMIQUE , comme à l'occasion de la méthode d’exhaustion des anciens, les géomètres ont cru, encore ici, que la méthode des indivisibles et le calcul différentiel étaient identiques; et c’est, en effet, en se fondant sur cette prétendue identité, qu'ils se sont imaginé que la vraie découverte du calcul différentiel remontait à la découverte de diverses méthodes particulières des indivisibles. C’est une erreur : la méthode des indivisibles et le calcul différentieltiw”oat de commuu que l’idée de l’indéfini qui eu est le fondement; mais ces deux méthodes diffèrent essentiellement dans leur nature propre de méthodes : l’une porte sur l’indéfini de l’espace ou de l'étendue, et l’autre sur l’indéfini du temps ou de nombres; ce qui certainement est toute autre chose, et exige des procédés essentiellement différens. Pour s’en convaincre, il suffit de considérer àx abstracto , comme on le doit, d’une part la génération purement algorithmique des fonctions différentielles, et de l’autre part, la génération purement géométrique des élémens dits indivisibles, »

Nous abandonnerons encore ici les développemens

Tong 11,

pour passer aux méthodes indirectes qui, ainsi qu'on

vient de le voir plus haut, se trouvent fondées sur l'emploi de la Raison réunie à l'Entendement , daus la production de l’indéfini.

» — Dans la réunion de ces deux facultés intellectuelles , l’idée de l’indéfini, considérée objectivement, comme sur de l'Enteudement, se transforme en idée de la conriNuITÉ; et considérée subjectivement comme moyen de l'Entendemeut, elle se transforme en idée de la DISCONTINUITÉ INDÉFINIE, Ainsi, les méthodes indirectes dont il s’agit, doivent, suivant cette double détermination de l’indéfini, se subdiviser en deux classes ; les unes fondées sur la loi de continuité, et les autres sur Ja loi de discontinuité indéfinie. »

» La première classe de ces méthodes est facile à reconnaître : c’est, en effet, la méthode connue sous le nom de Â/ethode des limites ou des premières et dernières raisons. — Quant à la seconde classe, il faut, pour la reconnaître, savoir d’abord que la discontinuité indéfinie qui en est le fondement, donne, en fait d'algorithmie, la sommation indéfinie qui constitue l'algorithme technique des séries (voy. Pair. pes maru.)\; de sorte que, dans la détermination de la suite indéfinie des termes formant ces fonctions, doivent entrer nécessairement les premiers élémens de la génération des quantités qui sont l’objet des séries. Et, en effet, comme on le sait par le théorème de Taylor et généralement par notre loi des séries, les fonctions formant les coefficiens sont des fonctions différentielles ou infinitésimales. Ainsi, la secoude classe de méthodes dont il s'agit, doit évidemment porter sur les coefficiens du développement des fonctions en séries; et, comme on peut le reconnaitre maintenant avec facilité, cette seconde classe de méthodes n’est autre que la méthode convue généralement sous le nom de A/éthode de dérivation, et particulièrement sous le nom de Theorie des fonctions analytiques.

» Cette déduction

savoir, de la méthode des limites et de la méthode de

des deux dernières méthodes,

dérivation, fixe immédiatement leur véritable caractère. On voit en effet que par suite de cette déduction, le caractère commun de ces méthodes consiste en ce qu’elles n’atteignent l’indéfini que dans son RÉSULTAT (dans son application à l'Entendement), et non dans son principe (dans la Raison elle-même). De là vient essentiellement qu'à la vérité, ces méthodes peuvent remplacer le calcul différentiel, mais qu'en elles-mêmes, elles ne sauraient être conçues ou expliquées que par le calcul différentiel, »

Les méthodes infinitésimales primitives se trouvent

donc résumées dans le tableau suivant,

Ascension aux élémens indefnis de l'espace ou de {

l'étendue. — METHODE D'EXAUSTION.

Par Ja fonction nommée induc-

[Ascensien aux élémens indeéfnis,

par Ja faculté du Jugement.

| METHODES PRESOMPTIVES.

Ascension aux élémens indéfinis,

TABLEAU des MÉTHODES INFINITESIMALES PRIMITIVES.

par la faculté de la Raison.

METHODES DETERMINATIVES.

tion,

METHODES INDUCTIONNELLES.

Ascension aux élémens indéfinis du temps eu des

nombres. — METHODE D'APPROXIMATION,

\ u s Par la fonction nommée analogie, — METHODFS ANALOGIQUES(elles sont impossibles.)

} Ascension aux élémens indéfinis de l'espace ou de

l'étendue, — MÉTHODE DES INDIVISIBLES.

y Par l'emploi pur de la raison,