mulliplicateur

243270...... produit.

C'est-à-dire, qu'après avoir écrit 5 sous 48654, on dit: ’ il } L

5 fois 4 font 0, je pose o et retiens ; 5 fois à font 25

+ >] ; et > de retenus font 27, je pose 7 et retiens 2; 5 fois 6 font 30 et 2 de retenus font 32 , je pose 2 et retiens 3; Je? 5 fois 8 font 40 et 3 de retenus font 43, je pose 3 et retiens 5 ; enfin, 5 fois 4 fout 20 et 4 de retenus font 24, je , Ll il bJ

pose 24. D'où il résulte que 5 fois 48654 est égal ü 243270.

4. Pour multiplier un nombre quelconque par 10, il suffit d'écrire un zéro à sa droite, c'est ainsi que 48X 10 devient 480. La raison de cette règle est évidente , car chacun des chiffres qui composent le nombre proposé étant reculé d’un rang vers la gauche acquiert une valeur relative dix fois plus grande que celle qu’il avait, et par conséquent le nombre lui-même devient dix fois plus grand ou se trouve multiplié par 10. Par la même raison , pour multiplier par 100, ou par 1000, ou par 10000 , etc. , on écrit à la droite du multiplicande, deux, ou trois, ou quatre, ou etc. , zéros. Donc

48 X 100 — 4800, 48 X 1000 — 48000, etc.

5. Si l’on avait à multiplier 54 par 30 , on multiplierait simplement 54 par 3 et l’on placerait un zéro devant le produit 162 , qui deviendrait ainsi 1620, car il est évident qu’en opérant de cette manière, le nombre 54 se trouve multiplié par 30, puisque 1620 est 10 fois 162, qui est trois fois 54, ou 10 fois 3 fois 54, c’est-à-dire 30 fois 54.

On aurait de même 54 X 300 — 16200, 54 X 3000 — 162000, etc., et ainsi de suite. En général, pour multiplier par un chiffre simple précédé d'un nombre quelconque de zéros, on fait d'abord l'opération comme si le chiffre n'exprimait que des unités; et ensuite on écrit à la droite du produit autant de zéros qu'il y en a avant ce chiffre.

6. Lorsque le multiplicateur contient plusieurs chiffres significatifs , l'opération se complique, mais le procédé se dérive encore facilement de celui de l'addition.

Pour multiplier, par exemple, 5634 par 425, il faut remarquer que cette opération est la même chose que celle d’ajouter 5634, 425 fois à lui-même ; or, prendre 425 fois 5634 , c’est comme si on le prenait séparément 4oo fois, 20 fois et 5 fois, et qu’ensuite on ajoutàt les trois sommes partielles pour obtenir la somme totale ou 425 fois 5634. Multiplier par 425 revient donc à multiplier successivement par 5, par 20 et par 400, et l’on opérera de la manière suivante :

Après avoir écrit 425 sous 5634 , on commencera par multiplier par 5 et on écrira le produit en le formant comme ci-dessus, n°3. On multipliera ensuite par le chiffre à des dixaines, mais comme, d’après ce qui pré» cède, il faut écrire zéro devant ce produit , on écrira d’abord o à la colonne des unités, et ce n’est qu’à la gau-

MU che de ce zéro qu’on placera le produit de 5634 par 2, ce qui rendra ce produit, non celui de 2, mais bien celui de 20. Eufin, on multipliera 5634 par le chiffre 4 des centaines, en écrivant préalablement deux zéros à droite. On aura donc

et la somme de ces trois produits donnera 5634 X 425 — 2394450.

7. Sans nous arrêter davantage aux exemples particuliers, nous pouvons conclure que la règle générale de la multiplication est :

1° Ecrire le multiplicateur sous le muliiplicande.

2° Multiplier successivement tous les chiffres du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur, ce qui donne autant de produits partiels que le multiplicateur a de chiffres.

3° Faire précéder d'un zéro le produit partiel du chiffre des dixaines du multiplicateur, de deux zéros le produt partiel du chiffre des centaines ; de trois zéros , celui du chiffre des mille , etc. , etc.

4° Ecrire tous ces produits partiels les uns au-dessous des autres, de manière que les chiffres de niéme espèce se correspondent, c'est-à-dire, que les unités soient sous les unités, les dixaines sous Les dixaines , etc.

5° Additionner tous les produits partiels. La somme sera le produit demandé.

8. Ou peut indifféremment prendre pour multiplicande l’un quelconque des deux nombres proposés puisqu’en général

AXB—BXA;

ce qui fournit un moyen de vérifier les calculs ou de faire ja preuve de la multiplication. Il suffit eu effet , pour cette preuve, de recommencer l'opération en prenant pour nouveau multiplicateur le nombre qu’on avait d’abord pris pour multiplicande; on est assuré de l'exactitude des calculs si les résultats sont identiques. Nous avons donné au mot ARITHMÉTIQUE, une autre preuve tirée des propriétés du nombre 9, dont ontrouvera la déduction au mot NEUF.

9. Tant quele multiplicande et le multiplicateur sont des nombres abstraits, le produit est lui-même un nombre abstrait, et il est parfaitement indifféremment de le considérer comme le résultat de la multiplication du multiplicande par le multiplicateur ou comme celui de la multiplication du multiplicateur par le multiplicande, en intervertissant l’ordre de ces facteurs : mais il n’en est pas de même lorsque le multiplicande est un nombre concret ou qu’il désigne une espèce d’ob-

jets déterminée, car dans ce cas le produit doit toujours être de cette même espèce; par exemple, 3 mètres multipliés par 4, ou 4 fois 3 mètres font 1a rnetres; 8 kilogrammes mulupliés par 5, font 40 Æïlogrammes, ete. , etc. On peut bien toujours dire indifféremment 3 fois 4, ou 4 fois 3; 8 fois 5, ou 5 fois 8; les produits sont toujours les mêmes ; mais, comme ces produits doivent être de la même nature que les multiplicandes, il devient nécessaire de ne pas perdre de vue quels sont les véritables multiplicandes, et le meilleur moyenest de ne pas intervertir l’ordre des facteurs.

10. Siles facteurs sont tous deux des nombres concrets , la nature seule de la question peut faire connaître de quelle espèce doit être le produit. Soit, par exemple, proposé de multiplier 3 mètres par 4 francs. Ce problème énoncé de cette manière ne présente aucun sens, car il ne nous indique nullement à quelle espèce d'unité doit se rapporter le produit 12, de 3 par 4. Mais si l’on demande ce que coûteront 3 mètres, à raison de 4 francs le mètre , on voit que le produit demandé doit ètre un nombre de francs, ou que 4 francs est le multiplicande, c’est-à dire le nombre qui doit être pris 3 fois ; car 3 mètres ne font ici que nous indiquer le maltiplicateur abstrait 3. Dans ce cas, le produit 12 exprime 12 francs.

Au coutraire , si l’on demandait combien on doit avoir de mètres pour 4 francs, 3 mètres coûtant 1 franc, le sens de la question exige que le multiplicande 3 mètres soit pris autant de fois qu’il y a d’unités dans 4 francs, c’est-à-dire 4 fois ; 4 francs ne fonc dont ici que nous indiquer le multiplicateur abstrait 4, et dans ce cas le produit 12 exprime des mètres.

Où voit combien il devient important de ne pas confondre dans les applications le multiplicande avec le multiplicateur.

11. Murripsicarion Des FRACTIONS. Pour multiplier une fraction par une autre, il faut former séparément le produit des numérateurs de ces deux fractions et le produit de leurs dénominateurs; le premier produit sera le numérateur de la fraction du résultat et le second son dénominateur. Par exemple :

ET 6 EX 75% Les raisons de cette règle sont exposées à l’article AL.- GÈBRE, D, 17.

12. Quand il s’agit de fractions décimales, l'opération se simplifie parce que les dénominateurs sont sous-entendus, car au lieu d'écrire

NE de 24 12 10 © 100 10X100 1000 ?

MU 2435 on à simplement 0,3 X 0,04 — 0,012;

ce qui revient a multiplier les nombres décimaux 3 et 4 comme s'ils étaient des nombres entiers, et à donner ensuite au produit le rang qu'il doit avoir; ici ce produit doit exprimer des millièmes.

La règle générale pour multiplier deux nombres quelconques composés d’entiers et de décimales ou seulement de décimales, consiste à opérer la multiplication comme si l’on avait à faire à des nombres entiers, sans porter aucune attention à la virgule qui règle le rang des chiffres décimaux. Lorsque la multiplication est achevée on retranche du produit, sur la droite, autant de décimales qu'il yen a dans les deux facteurs pris ensemble, Si l’on a, par exemple, 56,34 à multiplier par 0,425, on supprime les virgules et l’on multiplie 5634 par 425, comme aa numéro 6, ce qui donne pour produit 2394450. Mais en supprimant la virgule dans les deux facteurs on a rendu le premier cent fois plus grand, et le second mille fois plus grand ; pour réduire donc, à sa juste valeur, le produit qui en résulte et qui se trouve nécessairement cent mille fois trop grand, il faut le rendre cent mille fois plus petit, ce qui s’exécute en plaçant une virgule de manière qu’elle sépare cinq chiffres décimaux : savoir autant qu’il y en avait dans les deux facteurs ensemble. Le véritable produit est donc 23,94450.

En suivant cette règle, il arrivera souvent que le produit aura moins de chiffres significatifs que l’on aura de décimales à retrancher. Dans ce cas, on y suppléera eu écrivant à la gauche du produit, assez de zéros pour qu'après avoir retranché le nombre des décimales ordonné par la règle, il reste encore un zéro pour désiguer la place des unités. Ainsi, dans le cas où les nombres proposés seraient 0,5634 et 0,0425, après avoir obtenu le produit 2394450, en les considérant comme des nombres entiers, il faut retrancher huit décimales conformément à la règle. Comme il n'y a que sept chiffres, on ajoutera deux zéros à la gauche du produit et l’on obtiendra 0,02394450 pour produit véritable des deux fractions proposées.

13. Murripricarion compLExE. On donne ce nom à la multiplication qu’il s’agit d'effectuer sur des nombres composés d’entiers et de fractions ordinaires. Il se présente deux cas : 1° un seul des facteurs est complexe ; 2° les deux facteurs sont complexes. Nous allons les examiner successivement.

1° Soit à multiplier 22h 32’ 45”, par 36. 32 minutes et 45 secondes sont des fractions de l’unité qui est ici l'heure.

On peut multiplier séparément 23, 32 et 45 par 36, ce qui donnera trois produits partiels, dont le premier

224 M exprimera des heures, le second des zainutes et le troisième des secondes. On aura de cette manière

mais comme l'unité à laquelle on rapporte le produit est l'heure , il faut réduire en heures les nombres 1152 minutes et 1620 secondes. Réduisant d’abord 1620” en minutes , ce qui se fait en divisant par Go, nous avons 1620" — 27, ainsi le nombre des minutes devient 1152 +27 = 11709. Réduisant, maintenant, 1179° en heures, ce qui se fait encore en divisant par 60, nous trouvons 1179 — 19" 39". Ainsi ajoutant 19" à 502", nous avons définitivement 811" 39' pour le produit de 22h 32° 45", par 36.

On exécute encore la même opération en prenant ce qu’on nomme les parties aliquotes du produit de l’unité; ce qui dans certains cas , est beaucoup plus expéditif que de former les divers produits partiels et de les réduire ensuite. Nous ne pouvons indiquer ce procédé que par un seul exemple. Proposons-nous de multiplier 14 livres 15 onces 5 gros, par 26.

14liv. p)onc. gros.

Pour 8 onces... 13 Tank es 0 8 WA Sr Sata 4

dB, 8 des 0 3 1159

Produit.... 389liv. Gone. agros.

Après avoir disposé l'opération comme il précède, on commencera par former le produit de 14 par 26;

puis pour multiplier par 15 onces on remarquera que [= = 19, : , : + Set à 15 onces sont d’une livre, c’est-à-dire qu'il faut

multiplier 26 par

Mais 10 se décompose en 8 + 4

gaca . a: 15 + 2 + 1; ainsi au lieu de multiplier par 6" 2 peut

| S 2 multiplier d’abord par “, ensuite par +, — et P P 16 P 16 16 ; D insi ] —,; or — sont la raoitie d’un 1 s "O- 16? 56 e e livre, ainsi le pro

k Bts ” duit de =& doit être la moutié de celui d’une livre ; ce

dernier étant simplement 26 on en prendra la moitié

qui est 13, et on écrira 13, en le faisant correspon-

dre avec les chiffres de même espèce du produit de 26 de 4 :