ARR

de livre TG 0 prendra encore la moitié du produit

2 Les ; x ; de 16 ©! la moitié de 3 liv, 4 onces, qui est 1 liv. 10 onces. On aura de cette manière quatre produits par- : . 15 È tiels dont la somme formerale produit de FT da de 15

onces. Passant à la fraction 5 gros, on remarquera que 5

Ne)

ros sont 6 8

d'une once , ce qui peut se décomposer en

, L à + gi mais le produit de 26 par + d'une once doit

être la moitie de celui de 26 par une once , que nous avons trouvé être 1 liv 10 onces, on prendra donc la moitié de 1 liv. 10 onces, et l'on écrira, pour 4 gros. o liv. 13 onces. Pour terminer l'opération il faut en-

ue = :

core multiplier par 8 d'once; mais : est le quart de

à dont le produit est de o liv. 13 onces, on prendra donc le quart de ce dernier produit qui est 3 onces 2 gros, puis additionnant tous les produits partiels on trouvera 389 liv. 6 onces 2 gros, ce qui est le produit demandé.

> Sile multiplicande et le multiplicateur sont tous deux complexes, on peut encore opérer la multiplication par la méthode des parties aliquotes ; mais il est

généralement plus simple de réduiie ces deux facteurs en deux nombres fractionnaires simples. Soit par exem-

ple3 + = . a multiplier par 4 += + ; Rédui-

sant ces deux quantités chacune en une seule fraction,

on trouvera (v0y. ADDITION) ;

à D) 5.102054 ue 155 st

TES PE HS an

É+i+i= st st lonérat | à Itipli 81 2 et opération sera ramenee à mu Ip er 6 par 8 ,

ce qui donne d’après le numéro 11

Pour abréger les calculs il faut toujours , dans les réductions, obtenir le plus petit commun dénominateur.

Proposons-nous encore de multiplier 2i 18h 15° 22" par 3° 15’ 16”. On réduira le multiplicande en secondes de temps, et le multiplicateur en secondes de degré, et comme, d’une part, un jour vaut 86400"; une heure, 3600”; et une minute, 60”, on trouvera

2 X 86400 — 172800" 18 X 3600 — 64800 15 X 60” — 900 oj 18h 15 23" — 238522".

d'autre part; comme un degré vaut 3600" et une minute 60”, on aura

ainsi l'opération sera ramenée à multiplier 238522" par 11716. Une fois le produit trouvé, ce produit devant être des secondes de temps, on le réduira en ninutes, heures et jours , en le divisant successivement par 60.

14. MurripLicaTiON ALGÉSRIQUE. Le produit de a par b s'exprime, comme nous l’avons déjà dit par

a X b, ou par a.b, ou enfin par &b.

Celui de a par b+ c, s'exprime par æb + ac, car a devant être ajouté b +c fois à lui-même, en le prenant d’abord b fois et ensuite c fois, on a deux produits particls ab , ac dont la somme ab + ac est a pris b+c fois. Ainsi

aX(b+c)= ab+ be.

Le produit de deux binomes a+b, cd est ac + ad+ be+ bd, c'est-à-dire, la somme des produits de deux à deux, des termes qui les composent.

En effet, faisant a +b —m, on a

m X (c+d) — mc+ md

et, remettant a—-b à la place de 2,

(ab) X (cd) = (a-Hbe + (ad = ac+bc + ad+bd.

Le produit de deux trinomes a + b+c,d+e+f sera pareillement égal à

ad+ ae af+-bd + be+bf+cd+ce+tf,

DbX a =

CS Ce —

MU 245 c'est-à-dire, à la somme des produits de deux à deux des termes qui composent ces trinômes. On le démontrerait comme ci-dessus.

En général, le produit de deux polynomes quelconques est égal à la somme des produits de deux à deux de tous les termes qui les composent.

15. Pour multiplier deux quantités alzébriques l’une par l’autre on les dispose de manière que leurs termes soient le plus possible dans l’ordre alphabétique, et qu'ils soient ordonnés par puissances décroissantes ( de gauche à droite) d’une même lettre, lorsqu'une même lettre se trouve dans plusieurs termes élevée à des puissances différentes. On multiplie ensuite tous les termes du multiplicande par chaque terme du multiplicateur en suivant pour les signes des produits partiels les règles données. (Foy. ALcèsre, n.g.) L'addition de tous ces produits donne le produit général demandé.

On demande le produit de a+%

ar a—b, c’est-à-dire, le produit de la somme de deux P ? ? L

Exemple 1°",

quantités quelconques par leur différence. On aura

Produit... & — b°

Les deux produits partiels -H ab ,— ab se détruisant, le résultat 4°— b° nous apprend que la somme de deux nombres mulüplice par leur différence donne la difference des carrés de ces nombres : ce qui est une propriété générale ou une Lor des nombres.

Exemple 2°. Multiplier ab — 2ab° + 3b°? par a — 3ab + b°, D'après la règle il faut former les produits partiels,

ab X a, — oœbh X &, 3b X DbX —3ab, — 22h X — 3ab, 305 X —3ab dbX b, — 24h X bn, 303 X b°

Or, en réduisant tous ces monomes à leur plus simple expression, On a ab, —aa@lX ut ——2atbt,30X a —3al3 QIX —3al—— Bail, —2a x —3ab+Gabt,30 X—3ab—=gali aB3, —aa XL audi, XX —365 et, comme on peut exécuter immédiatement ces réductions, l'opération s'écrit

ab — 2ab + 3b°

a — 3ab +b

ab — 2aib + 3ab5 — 3aïb3 L Gaÿb? — oabi + ab —2ab$ +30

Produit, a°b—5aib+nab43ab3—2abi—oabi+30

246 MU Pour ordonner ce produit suivaut les puissances de a, où lui donne la forme

ab — 5aïbr + qab? + (3b—2b1)a? — ab +3.

16. Nous terminerons cet article en examinant la composition du produit de plusieurs binomes dont les premiers termes sont les mêmes, tels que x +a, x+4b, z+ce, etc., composition dont nous avons fait usage ailleurs. (Foy. Equariox et FacronerLe.)

Si nous désignons par À la somme des seconds termes a, b,e, d, etc., que nous supposons au nombre de "1; par B, la somme des produits de deux à deux de ces seconds termes ; par C, la somme de leurs produits de trois à trois , ete... Et, enfin, par M, le produit de

tous ces seconds termes, nous aurons (1)

(x+a) (x4b) (x+c)..... (x+m) = am + Ami Bons + Cr etc... +M,

Où est conduit à cette forme générale, par analogie , en formant les produits successifs :

(æ+a) (x Hd) = 27 + (a+b)x + ab (x +a)(x+b\x+c)=2x + (a+b+c)asHab+ac+bc)x + abc

etc. =! elc.

Ainsiil s’agit de démontrer que cette composition a généralement lieu. Pour cet effet, admettons que l’égalité (1) soit rigoureusement vérifiée dans le cas de m facteurs, et multiplions ses deux membres par un nouveau binome æ+, uous obtiendrons

(x+a) (x+#b) (ac)... (24m) (æ4n) = ati Am Brn—i EL Crr—ibetc...+Mx — na nAXMm IE nBrn—2+ etc. ..+nM = TMHIL A + n)anL(B+nA)xm—i HR C+HnB)r”Hetc.

Or, en examinant ce dernier produit, on reconnaît aisément que An est la somme des 724-1 seconds termes des binomes ; que B+47A est la somme des produits de deux à deux de ces »4-1 seconds termes ; que

NADIR. (4st.) Point opposé au zénith. (Foy. Ar-

MILLAIRE.)

NAPIER (Jean). -- Nérer ou Nrpair, baron écossais, célèbre par la découverte des logarithmes , naquit en 1550. Nous possédons peu de détails biographiques sur ce géomètre , qui, dédaigneux des avantages que pouvaient lui procurer son rang et sa fortune, passa dans

C+nB est la somme de leurs produits de trois à trois et ainsi de suite; et qu'enfin »M est le produit de tous ces seconds termes. Ainsi le produit de m+4-1 binomes suit la même loi que celui de » binomes, et il suffitque cette loi soit vraie pour deux binomes pour qu’elle le soit généralement. Donc, etc.

Mucripricarion par Locarirames.(f’oy.Locarirame.)

MURAL. (45st.) Quart de cercle placé exactement davs le plan du méridien et attaché à un mur pour plus de solidité. Il sert à observer les hauteurs méridiennes des corps célestes.

MUSCIDA. (45t.) Nom d’une étoile placée sur la bouche de Pégase et marquée « dans les catalogues.

MYDORGE (CLaups), savant géomètre, né à Paris en 1585. L'amitié dont l’honora Descartés, et les nombreux sacrifices qu’il a faits dans l'intérêt surtout de l'optique et de la dioptrique, lui ont acquis plus de célébrité que ses travaux. C’était un homme d’une naissance distinguée dans ce qu’on appelait alors la noblesse de robe, et qui cultivait les sciences dans les vues les plus nobles et les plus désintéressées. Ce fut Mydorge qui fit tailler pour son illustre ami des verres paraboliques, hyperboliques, ovales et elliptiques, dont il avait lui-même tracé les formes avec une exactitude remarquable; ces verres furent d’une grande utilité à Descartes pour expliquer les différens phénomènes de la vision. Il dépensa d’ailleurs des sommes considérables, que divers biographes portent à 300,000 livres, pour faire fabriquer des verres de lunette, des miroirs ardens et pour diverses expériences. Mydorge mourut en juillet 1647, laissant un grand nombre de manuscrits qui ont été égarés durant les troubles de la Fronde, On a de lui: 1° Examen des récréations mathematiques (du P. Laurechon, jésuite, publiées sous le pseudonyme de H. Van Essen), Paris, 1630, in-8 ; 2° Prodromi ca- Loptricorum et dioptricorum , sive conicorum , libri IF, priores , Paris, 1639, in-folio. Le père Mersenne a inséré cet ouvrage dans son recueil intitulé : Universæ geometriæ, eic.

la retraite une vie entièrement consacrée à l'étude. On sait seulement qu'après avoir fait ses étudès à l’université de Saint-André, il voyagea en Europe et s’occupa beaucoup de théologie avant de se livrer aux recherches qui le conduisirent à la découverte des logarithmes. Nous exposons ailleurs la théorie de cette brillante découverte, qui a été si utile aux progrès dé l’astronomie, de la géométrie pratique et de la navigation.

(foy. Locartrames.) Napier mourut le 31 avril 1615. Ses ouvrages mathématiques sont : I. Rabdologiæ, seu numerationes per virgulas libri duo, Londres, 1617, in-12°, IL. Mirifici logaritimorum canonis descriptio, Edinbourg , 1614, in-4*. Napier ne donna pas dans cet ouvrage la doctrine sur laquelle est fondée la table des logarithmes; ce fut son fils qui en publia l’explication ; car il mourut sans jouir du succès qui attendait sa découverte, et même avec la crainte qu’elle ne füt rejetée par les mathématiciens. Ces deux ouvrages réupis ont été publiés à Lyon, en 1620 , sous ce titre: Logarithmorum canonis descriptio , etc., et Mirifica logarithmorum constructio , etc. On doit encore à Napier deux formules générales pour la solution des triangles sphériques rectangles et les analogies qui portent son nom.

NATURE. Lois de la nature. Malgré les immenses travaux dont la nature a été l’objet , le sens de ce mot n’a point encore été fixé d'une manière définitive, et il est loin de correspondre à une conception déterminée. En effet, !cs uns entendeut par nature, l'ensemble des êtres créés , les lois qui les gouvernent, l’ordre qui se manifeste dans l'univers, en un mot, l'uvivers luimême ; les autres comprennent sous ce nom , la force , l'intelligence active qui a tout établi, tout créé et qui conserve tout, D'après l’inepte svstème du naturalisme, la nature est le principe aveugle et fatal de l'organisation du monde : la marIÈRE ; d'après celui du dcisme , c’est l'esprit universel et intelligent, le créateur éternel : Dre.

Notre but étant ici de poser les principes qui rendent possible l'application des mathématiques à la physique, ou de donner la déduction philosophique des Lois «le la nature , il nous devient essentiel d'attacher à ce mot rature une siguification plus précise et qui se rapporte directement à l’objet que nous avons en vue, Nous distinguerons donc dans la production des phénomènes de l'univers deux causes distinctes, deux puissances actives différentes : l’une nécessaire, incessamment agissavte et soumise à des lois fixes qui lui sont imposés ; l’autre libre, spontanée et n’agissant qu'en vertu de ses propres déterminations. La première se manifeste généralement dans la nécessité de tous les phénomènes physiques; la seconde, sur laqueile repose en dernier lieu la possibilité de la première, se manifeste particulièrement dans la liberté des actions humaines, image sensible de la spontanéité absolue de l'intelligence suprême. Or, toute puissance au moyen de laquelle une chose arrive dans l'univers se nomme causalité; ainsi en ne considérant le monde physique que sous le rapport de ses lois nécessaires, nous entendrons dorénavant par le mot nature, la causalité non intelligente qui régit les phénomènes

physiques donnés à postériori, c’est-à-dire, par l'expérience.

Tout phénomène physique repose sur un mouvement, car la natière , base et substratum de toutes les intuitions que nous avons des objets sensibles, n’a d’autre caractère général que le mouvement. La science de la nature doit donc être aussi considérée comme une théorie pure et appliquée du mouvement; et pour obtenir, s’il est possible, une déduction à priori de ses lois fondamentales , il devient nécessaire d’analyser l’idée de la matière en général, sans avoir égard à ses caractères particuliers, Mais une analyse quelconque n’est complète qu’autant qu’elle est faite d’après les lois de l'Entendement, lois qui règlent toutes les déterminations dont l’idée générale de l’objet en question est susceptible ; ainsi nous devons examiner le mouvement sous le quadruple rapport de /a quantité, de la qualité, de La relation et de la modalité; d'où résultent les déterminations suivantes, Le mouvement peut être considéré :

1° Comme quantum, par rapport seulement à sa composition sans aucune qualité du mobile, — Considération phoronomique.

2° D’après la qualité qui est essentiellement propre a la matière comme force motrice originelle, — Considération dynamique.

3° D'après le rapport mutuel du mouvement de la matière et de sa qualité. — Consideration mécanique.

4° D'après le rapport du mouvement ou du répos de la matière avec notrepropre manière extérieure d'apercevoir. — Considération phénomeénologique.

Voici les résultats de cette analyse due à l’illustre réformateur de la philosophie et qui forme l'objet d’un de ses plus beaux ouvrages. (Kant. Métaphysique de la nature.)

Idées fondamentales et principes de la phoronomie.

I. La matière est le mobile dans l'espace. L'espace mobile lui-même est l’espace matériel ou relatif, L’espace immobile dans lequel il faut en dernier lieu concevoir le mouvement, est l’espace pur ou absolu.

I. Le mouvement d’un objet est le changement du rapport extéricur qui existe entre cet objet et un espace donné. Le repos est au contraire la présence permauente dans un même lieu.

JIL. Construire un mouvement composé, c’est représenter à priori dans l'intuition un mouvement en tant qu'il naît de deux ou de plusieurs mouvemens donnés dans un seul mobile.

IV. Chaque mouvement comme objet d’une expérience possible peut être considéré, à volonté, comme mouvement du corps dans un espace en repos, ou comme repos du corps dans un espace qui se meut en sens contraire avec une égale vitesse.