AB=V/}2.1C (IC — ID

c’est l'expression (2).

Eofin, les triangles BDA, IAH sont semblables, parce qu'ils sont tous deux rectangles DBA et AIH sont égaux, ayant chacun pour mesure la moitié de l’arc AC; ainsi Ou a la proportion

BD : AD :: AI : AH, d'ou \H AD X AI ŒC—TD).IC D + BC

ou , à cause de AH = + GH,

GH = po N c'est l'expression (3).

Quant à la valeur de l'apothème, on la tire du triangle rectangle IBD. |

14. Les triangles IMA, IBA , IEA , ayant une même hauteur AM , sont entre eux comme leurs bases IM, IB, IE; mais IA , qui est égal à IB, est moyenne proportionnelle entre IM et IE, donc le triangle IBA est moyen proportionnel entre les triangles IMA ou IBD et IEA ; or ces triangles IBD, IBA, IEA sont entre eux comme les polygones dont ils font partie, donc a surface du polygone inscrit d'un nombre double de côtés est moyenne proportionnelle entre les surfaces des polygones inscril el circonscrit.

15. Le côté de l'hexagone inscrit étant égal au rayon (voy. HExAGoNE), celui de l'hexagone circonscrit sera,

en substituant dans l'expression (1) la valeur de l’apothème

V + ee L 7?

Mais le périmètre de l'hexagone étant égal à six fois sou côté, on a pour la surface de l'hexagone inscrit

L6r.Vr— ir —3,r,.y/3

et pour celle de l'hexagone circonscrit, dont l’apothème est égale au rayon du cercle

or, VS PR NC ET

Donc la surface de l'hexagone inscrit est égale aux trois quarts de la surface de l'hexagone circonscrit.

16. D'après le théorème du numéro 14, la surface du dodécagone inscrit est égale à

V/Hrv x Save

c'est-à-dire à trois fois le carré du rayon.

17. Le triangle, le carré, le pentagone et tous les polygones qui résultent en doublant successivement le nombre de leurs côtés, ont été jusqu'à ces derniers temps les seuls accessibles à la géométrie élémentaire ; mais Grauss a fait voir dans ses disquisitiones arithmeticæ, que cette géométrie pouvait encore embrasser ceux de 17, de 257, de 40097 côtés, et généralement ceux dont le nombre des côtés est un nombre premier comprissous la forme générale 27 + 1.(F0y. l'ouvrage de ce grand géomètre, on la Théorie des nombres de Legendre.)

Nomeres PoLYGONESs. On désigne généralement sous ce nom une suite de nombres formés par l’addition successive des termes d’une progression arithmétique qui commence par l’unité , par exemple :

1, D, 0; 19: 17712720 ietc:,

étant une telle progression , les sommes consécutives de un, deux , trois, etc. , termes de cette progression, ou

1, 6,19, 20,145, 66, 01; etc, sont des nombres polygones.

Suivant que la différence de la progression arithmétique est 1, ou 2, ou 3, ou 4, ou etc. Les nombres polygones prennent les noms particuliers de nombres triangulaires, quadrangulaires , pentagones, hexagones, etc.

C'est ainsi que considérant les progressions arithméti-

ques :

1, 2, de Ho D) 0, y di O;.10, etc:

1,09, 0, 15 O7 UE 135 10.17; 10; LC:

l, 4 7; 10, 19, 10, 109, 22%, 99, 26, etc:

1,5, 010, 13,119, 27,25, 20, 33,37, ete.

1,167 11,116, 2x, :26:131,/306, 41,740) etc:

leurs sommes consécutives donnent :

Nomb. triang. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 928, 36, etc. Nomb. quad. 1, 4, 0, 16, 25, 36, 49, 64, etc. Nomb. pentag. 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, etc. Nomb. hexag. 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, etc. Nomb. heptag. 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 145, etc.

La dénomination de zombres polygones semble avoir été donnée à ces nombres parce qu’ils peuvent être re: présentés par des figures particulières. Ainsi, les nombres triangulaires ont cette propriété qu’on peut disposer en triangle autant de points qu’ils contiennent d’uuités, en prenant un point pour le plus petit triangle; de même les points indiqués par les nombres quadrangiulaires où carrés peuvent être disposés en carrés, en prenant un point pour le plus petit carré, etc, Par

exemple, on a

, noie ; etc, Ty Sn 6 etc.

. « etc.

lo | 4, | , ; | etc.

Si nous exprimons par 72—2 la différence de la progression arithmétique , les nombres polygones qu’elie produit seront de l’ordre »2 gones, et pour calculer celui de ces nomures qui répond au rang x, ou dont l'indiceest 7, nous aurons l'expression générale(a),

Gu—on = (in —4)»

cette formule représentant la somme des » premiers termes de la progression arithmétique. (/oy. Proc.) Nous avons donc en particulier, en désignant par x le # ième nombre polygone, pour les

Nombres triangulaires. x

CAIT ES era es ee == TL J72— HN pentagones.. x = — 4n—on hexagones.. x — “—- { e] etcir 5. EC