ARMILLAIRE

POLEMOSCOPE. ( Op.) Appareil d'optique par le moyen duquel on peut voir des objets cachés à la vue directe.

Cet instrument, inventé en 1637, par Hévélius, a été nommé polémoscope, des mots grecs #eaxsmes combat, groztw , jevois; parce qu'on peut s’en servir à la guerre, daus les sièges, pour voir ce qui se passe dans le camp de l'ennemi.

La principale pièce du poleémoscope est un miroir incliné (PI, 53, fig. 11) placé au fond d’une boite, ouverte vis-à-vis du miroir qui renvoie à l’œil du spectateur l’image ab d'un objet AB, qu'on ne pourrait voir sans le secours de l'instrument, à cause des obsta-

cles qui se reucontrent entre cet objet et l'œil.

POLLU*. (454) Nom donné généralement à la partie postérieure de la constellation des gémeaux ;et en particulier à la belle étoile de seconde grandeur que

renferme cette partie.

POLYÈDRE. (Géom.) (de reads , plusieurs, et de (d'ideæ, base). Corps terminé de toutes parts par des surfaces planes. Ces surfaces se nomment les faces du polyèdre, et l'intersection commune de deux faces adjaceutes prend le nom de coté ou d’aréte.

Les polyèdres, comme les polygones , reçoivent diverses dénominations d’après le nombre de leurs faces,

ainsi

Un polyèdre qui a guatre facesse nomme {étraèdre. CRT e mosedes secs MERLHCOrE:

So se ces s .. hexaëdre.

huil. ..... oCtaèdre.

douze............. dodécaëdre.

vingl.. ... ........icosaèdre, etc.

Le tétraèdre est le plus simple de tous les polyèdres, car il faut au moins quatre plans pour renfermer un espace solide.

Ou nomme sommet, dans un polyèdre, tous les points où plusieurs faces concourent et forment un argle solide. On démontre que le nombre des sommets , ou celui des angles solides, est toujours égal au nombre des arétes, moins celui des faces, plus deux. Quant au nombre des arétes, il est évidemment égal à la moitié de celui des côtés de toutes les faces polygones qui composent la surface du polyèdre. Si l’on désigne par Fle nombre des faces d’un polyèdre, par A, celui de

ses arêtes ; et par S , le nombre de ses angles solides, on aura donc l'expression S = À — F + ».

Où appelle polyèdre régulier celui dont toutes les faces sont des polygones réguliers égaux, et dont tous les angles solides sont égaux entre eux. Il ne peut v avoir que cinq polyèdres réguliers, savoir : trois, formés par des triaugles équilatéraux , qui sont le tctraëdre, l’octaèdre et l’icosaëècdre réguliers ; un terminé par des carrés, l’hexaèdre régulier où cube; et eufin un terminé par des pentagones , le dodécaèdre régulier. W est impossible de former des polyèdres réguliers avec des polygones dont le nombre des côtés surpasse cinq, parce que la somme des angles plans qui composent un angle solide est nécessairement plus petite que quatre angles droits : d'où il suit nécessairement qu’on ne peut former un angle solide avec des angles d’hexagoues dont trois équivalent à quatre angles droits , et à plus forte raison avec les angles plus grands des autres polygones. (Voy. Souine et RéGuLirr.)

POLYGONE. (Géom.) (de onvs plusieurs, et de yava , angle) V'igure plane terminée par des ligues droites. (Foy. Nor. PRÉLIM. , 37.)

Où nomme, en particulier,

Triangles....1les polygones de trois côtés.

Quädrilatères::..::.:....... quatre:

Pentagones...............+ Ciug.

THémagones Ssserseecsessscs LSiX; Heptagones......:..ss:4s5:. ‘sept.

Octogoness.sss ssesessstesss huit:

Ennéagones sis. sussssss.s. neuf, Décägones sssssesésasecsase dif Ondécagones assises. l'ôn2e Dodécagones....,.......... douze.

Les polygones qui ont plus de 12 côtés n’ont pas reçu de noms distinctifs, sauf celui de 15 côtés qu’on nomme pentadécagone où quindecagone.

Les propriétés principales de ces polygones étant exposées dans les articles qui leur sont consacrés, nous allons rechercher ici celles qui sont communes à tous les polygones.

1. Si d’un point pris dans l’intérieur d’un polygone on mène des droites aux sommets de tous ses angles, il est visible qu’on formera autant de triangles que ce polygone a de côtés. Par exemple, du point O, pris arbitrairement dans la pentagone ABCDE, menant les droites OA, OB, OC, OD et GE, on forme cinq triangles qui ont chacun pour base un des côtés du pentagone (PI. 53, fig. 14).

Or, il est évident, que la somme de tous les angles à la base de ces triangles est la même que celle des angles du polygone, puisque les premiers ne sont formés

PO

que des parties de ces derniers; mais la somme des angles à la base des triangles est égale à autant de fois deux angles droits qu’il ya de triangles, moins la somme des angles aux sommets; ainsi,comme cette dernière, composée de tous les angles autour du point O, est équivalente à quatre angles droits (voy. AxcLe), il en résulte que la somme des angles d’un polygone quelconque est équivalente à autant de fois deux angles droits, moins quatre, que ce polygone a de côtés. Si nous désignons donc par 77 le nombre des côtés d’un polygone quelconque , la somme de ses angles sera exprimée par (a)

m. 180° — 360°, ou par (m2 — 2) 180°.

2. On nomme angle extérieur d'un polygone, l’angle formé entre un côté quelconque et le prolongement du côté adjacent, tel est l'angle EDF (PL. 53, fig. 15). En prolongeant tous les côtés d’un polygone, on forme autant d’angles extérieurs qu’il y a de côtés, et la somme de tous ces angles, quel que soit le polygone, est toujours équivalente à quatre angles droits. En effet, chaque angle extérieur EDF, ajouté à l'angle intérieur qui lui correspond CDE,, fait une somme équivalente à deux angles droits; ainsi la somme de tous les angles , tant extérieurs qu'intérieurs, vaut autant de fois deux angles droits qu’il y a de côtés; mais la somme des angles intérieurs équivaut à autant de fois deux angles droits, moins quatre, qu'il y a de côtés, donc la somme des angles extérieurs équivaut à quatre angles droits.

3. On nomme polygones réguliers ceux dont tous les angles et tous les côtés sont respectivement égaux. On obtient la valeur d’un angle de ces polygones en divisaut la somme des angles (m—2). 180° par le nombre m des angles. C’est de cette manière qu’on trouve que l'angle de l’hexagone régulier est égal à

(6—2) 180° ñ En — !, 180° — 120°

4. Les polygones réguliers peuvent être inscrits ou circonscrits au cercle. Cette propriété que nous avons démontrée au mot Cercre, 13 et 15, est fertile en conséquences importantes que l’on peut résumer comme il suit.

5. Si l’on partage en deux parties égales tous les angles d’un polygone régulier , les droites qui feront ces divisions, concourront toutes àun même point au milieu du polygone ; ce point est le centre du cercle inscrit ou circonscrit. De cette manière le polygone sera divisé en triangles isoscèles égaux entre eux et dont le nombre sera égal à celui de ses côtés.

G. Si aux points de milieu de tous les côtés d’un polygone régulier, on élève des perpendiculaires, ces

perpeudiculaires concourront encore au centre du

cercle qu'on peut inscrire ou circonscrire au polygone.

7. Si l’on divise la circonférence d’un cercle en un nombre quelconque de parties égales et qu’on tire des cordes d’un point de division à l’autre, on formera un polygone régulier inscrit au cercle.

8. De même si l'on divise la circonférence d’un cercle en un nombre quelconque de parties égales, et qu’à chaque point de division on mène une tangente à ce cercle, ces tangentes, en se coupant deux à deux, formeront un polygone régulier circonscrit au cercle.

9. Tous les polygones réguliers d’un même nombre de côtés sont semblables entre eux.

10. La perpendiculaire abaissée du centre sur les côtés d’un polygone régulier, se nomme l’apothème ; c’est le rayon du cercle inscrit dans le polygone, ou du cercle auquel le polxgone est circonscrit, T/apothème est la hauteur commune de tous les triangles isoscèles dans lesquels on peut partager le polygone en mepant des droites du centre à tous les sommets.

Tout polygone régulier étant composé d'autant de triangles isoscèles égaux qu'il a de côtés, et la surface de ces triangles étant représentée par la moitié du produit de sa base, ou du côté du polygone par l’apothème, la surface totale de tous les triangles, c'est-àdire la surface d’un polygone régulier quelconque est égale à la moitié du produit de sou périmètre par son apothème.

11. Les périmètres de deux polygones régulier d’un même nombre de côtés sont entre eux dans le rapport des rayons de leurs cercles inscrits ou de leurs cercles circonscrits.

12. Les surfaces de deux polygones réguliers d’un même nombre de côtés sont entre elles comme les carrés des rayons des cercles inscrits ou circonscrits. 13. La valeur du côté d’un polvgone inscrit étant donnée, on peut trouver facilement celle du côté du polygone circonscrit d’un même nombre de côtés, comme aussi la valeur des côtés des polvgones inscrit et circonscrit d’un nombre de côtés double , à l’aide des

expressions

CT Nés —

dans lesquelles c est le côté du polygone donné, 4 l'apothème de ce polygone, r le rayon du cercle, c' le côté du polygone inscrit d’un nombre de côtés double , C, celui du polygone circonscrit d’un même nombre de côtés, et C' le côté du polygone circonscrit d'un nom-

bre de côtés double.

PO

La valeur de l’apothème est donnée par l'expression

Pour démontrer ces expressions, soient BC le côté du polygone iescrit (PI. 54, fig. 1), EF celui du polygone circonscrit, et AB et GH ceux des polygones inscrit et circonscrit d'un nombre double de côtés. Menons du centre les droites que l’on voit dans la fi-

gure, et nous aurons à cause des triangles semblables

IBC, IEF BC: EF :: ID: IA :: ID : IC d’où EÉ Le ce qui est l’expression (1).

Le carré de AB est égal au produit du diamètre du

cercle par le segment correspondant (cercle n° 17) AD ; or AD — AI — ID — IC — ID, ainsi