QI

qu’ou tire de (a).

Les sommes consécutives des nombres polygones sont appelées nombres pyramidaux.(Voy. PYxraminar.)

POLYGONOMETRIE. Branche de la géométrie qui a pour objet les polygoncs en général, comme la trigonométrie a pour objer les triangles en particulier.

Cette extension des règles de la trigonométrie est due à l'Huillier qui a publié à Genève, en 1789, un traité sur ce sujet. Nous devons citer le beau théorème sui-

vant qu'on trouve dans cet ouvrage.

Si nous désignons para, b, c, d,etc., les côtés consécutifs d’un polygone quelconque et par À , B,C, D, etc., les angles également consécutifs, de manière que A est l'angle formé par les côtés a ct b ; B, l'angle formé par les côtés bet c, etc, nous aurons pour le double de

la surface du polygone, l'expression a. bsinA—a.csin(A+B) + a.d.sin(A+B+C)— etc.

—+b.csinB—b.dsin(B+C)+b.e.sm(B+4+C+D)— etc.

+e.dsinG—c.esin(G+-D)+c.f.sn(C+D+E)— etc.

dans laquelle tous les côtés doivent être combinés deux à deux , excepté le dernier ou celui qui vient rencon-

trer a. Par exemple, pour un quadnilatère, on a

a.b.5in A — &.c.sin (AB) + b.csinB

2 fois la surface — !

Pour un pentagone

a.b.sin A — a.c.sin (A+B) + a.d.sin (A--B+-C) +- b.c.sir B — b.d.sin (B+-C) \+c.d,sin C.

2 fois la surface = (

Foyl'Haillier, Traité de poli gonome

POLYNOME. (A4/g.) (de mors, plusieurs, et de vouÿ , part). Quantité algébrique composée de plusieurs parties ou termes distingués par les signes + et — , comme À + B—C+D+etc. Lorsqu'il n'y a que deux termes, le polynome prend le nom de binome, et celui de trinome quand il y en a trois, etc. (Foy. Bi-

NOME et TRINOME.)

POLYPASTON. (ée.) Nom donné par Vitruve à une machine composée de plusieurs poulies qu’on nomme aujourd'hui mouffle. (Foy. POur1E.)

POMPE. {Méc. hydraul.) Machine hydraulique destinée à élever l'eau. On distingue trois espèces principales de pompes : la pompe foulante, la pompe aspirante et la pompe tout à la fois foulante et aspirante.

Pompe foulante. Elle se compose d’un cylindre creux (PL 40, fig. 11) plongé dans l’eau du réservoir inférieur et dont le prolongement, au-dessus de la surface de l’eau, communique, soit directement, soit par l'intermédiaire d'un rayon de décharge, avec le réservoir supérieur, ou avec l'endroit où l’on veut élever l’eau. Dans la partie inférieure de ce cylindre, qu’on nomme corps de pompe, est un piston P, dont la tige est solidement attachée à la traverse inférieure d’un châssis mobile qu'on fait monter et descendre alternativement par le moyen d’un levier. La tête du piston est percée d’un trou recouvert par unesoupape S qui s’ouvre de bas en haut. En S', un peu au-dessous de la surface de l'eau, est un diaphragme percé d’un trou recouvert par une soupape qui s'ouvre également de bas en haut.

Pour concevoir le jeu de cette pompe, il faut supposer le piston placé au plus bas de sa course. Alors l’eau du réservoir, par sa propre pression, ouvre les soupapes S et S', et pénètre dans le corps de pompe où elle tend à se mettre de niveau avec l’eau extérieure, Quand elle a atteint ce niveau, ou à peu près, les soupapes se ferment par leur propre poids, et si alors on élève le piston, la soupape inférieure S reste fermée , mois la soupape supérieure S's’ouvre, et l’eau contenue dans le corps de pompe entre les deux soupapes est forcée de s'élever au-dessus du niveau du réservoir. En abaissant le piston, la soupape S' se ferme et empêche l’eau qui est au-dessus de descendre, tandis que la soupape Ss’ouvre, et la partie du corps de pompe comprise entre les deux soupapes se remplit d'eau. Ainsi, par le jeu alternatif du piston, le tuyau supérieur se remplit d’eau de plus en plus, et cette eau finit par arriver au réservoir supérieur,

A l’aide de cette pompe, on élève l’eau à telle hauteur qu’on peut le désirer; il suffit d’avoir la force motrice nécessaire. L’effort du piston, quand il foule,

PO

est, abstraction faite des frottemens et autres résistances , égal au poids d’une colonne d’eau dont la surface du pistou est la base, et dont la hauteur est la distance verticale du niveau du réservoir inférieur à la surface supérieure de l’eau dans le tuyau montant,

Pompe aspirante. Elle se compose d’un corps de pompe (PI. 40, fig. 13), ouvert par le haut, et à la partie inférieure duquel est adapté un tuyau qui plonge dans l’eau du réservoir, et que l’on uomme wyau d’as piration. À la réunion du tuyau d'aspiration avec le corps de pompe estune soupape S' destinée à permettre, en se soulevant, à l’eau d’entrer du tuyau d'aspiration dans le corps de pompe, et à l'empêcher, en s’abaissaut, d’en sortir par la même voie. Dans le corps de pompe est un piston percé d’un trou recouvert d'une soupape S, et dont la tige est attachée à l’extrémité d’un levier, dont le jeu fait monter et descendre alternativement le piston.

Quand le piston s'élève, il fait le vide dans le corps de pompe, l’eau monte dans le tuyau d’aspiration par l'effet de la pression atmosphérique, et alors la soupape S est fermée et la soupape S' ouverte. Quand le piston descend, la soupape S' est fermée, la soupape S est ouverte, l’eau élevée au-dessus de S' passe au travers du piston et se trouve soulevée par lui à l'ascension suivante.

La hauteur de la colonne d’eau qui mesure l'effort du piston est égale à la différence des niveaux des réservoirs supérieur et inférieur.

Comme c’est la pression de l’air qui fait monter l’eau dans cette pompe, et que cette pression ne peut soutenir une colonne d’eau que d’environ 32 pieds de hauteur, ou 10°, 4 (voy. HynrosraTIQUE, 17), il est nécessaire que le tuyau d'aspiration ait une longueur verticale moindre que 32 pieds.

Pompe aspirante et foulante. Elle est composée comme la précédente d’un corps de pompe et d’un tuyau d'aspiration (PI. 41, fig. 9) avec une soupape S' placée à leur jonction. Le corps de pompe est ouvert par le haut, mais le piston n’est pas percé; il est également mis en jeu par un levier. Vers le bas du corps de pompe est adapté un tuyau montant, garni d’une soupape S dans sa partie inférieure ; sa partie supérieure communique avec le réservoir où l’on veutélever l’eau.

Lorsque le piston monte, la soupape S est fermée, la soupape S' est ouverte, et l’eau est aspirée dans le corps de pompe ; lorsque le piston descend, la soupape S' est fermée, la soupape S est ouverte, et l’eau est refoulée dansle tuyau de décharge.

L'effort exercé sur le piston est ici, quand il monte, égal au poids d’une colonne d’eau dont sa surface est la base , et dont la hauteur est la distance de la surface

PO

de l’eau dans le tuyau montant au niveau du réservoir inférieur. Quand le piston descend, son effort est le poids d'une colonne d’eau dont la hauteur est la distance de la surface de l’eau dans le tuyau montant à la surface inférieure du piston.

Les pompes aspirantes ont l'avantage de n’étre point noyées dans le réservoir inférieur. On peut, comme on le voit dans la fig. 12, pl. 40, réunir cet avantage à celui de fouler de bas en haut, en élevant d’abord l'eau dans une bâche placée à une petite hauteur au -dessus du réservoir inférieur, d’où elle est reprise par uve pompe foulante. On peut encore remplir le même objet plus simplement en employant la disposition indi quée fig. 6. pl. 42. Quand le piston P descend, les soupapesS et T sont fermées, et il y a aspiration par la soupape S'. Quand ce piston monte, la soupape S' est fermée et l’eau est refoulée de bas en haut. On trouve toujours plus avantageux dans la pratique de faire fouler de bas en haut que de haut en bas.

La disposition des tuyaux et soupapes pour le jeu des pompes peut être variée de beaucoup de manières , mais il faut distinguer principalement celles qui ont pour objet d'imprimer un mouvement continu à l’eau contenue dans le tuyau montant. Ce but se trouve naturellement atteint quand le même tuyau montant communique à deux ou plusieurs corps de pompe, où les mouvemens simultanés des pistons ont lieu en sens contraire. On peut aussi obtenir ce mouvement continu eu employant (Pl, 42, fig. 5) un seul corps de pompe et deux pistons , dont l’un descend pendant que l’autre monte. Enfin, on peut n'avoir , comme dans la figure 4, qu’un seul corps de pompe et qu’un seul piston. Quand le piston P monte, il aspire par la soupape T qui est ouverte, ainsi que la soupape S qui laisse passer l’eau soulevée sur la tête du piston. Quand il descend, il aspire par la soupape T' qui est ouverte, etrefoule de bas en haut l’eau qui passe par la soupape S'.

On ainventé dans ces derniers temps une nouvelle espèce de pompe aspirante à jet continu d’une extréme simplicité. L’usage de cette pompe, connue sous le nom de pompe de Dietz , est aujourd’hui trop répandu pour que nous croyions devoir en donner la description.

Nous ne pouvons entrer dans plus de détails sur ces machines, pour la théorie desquelles on doit consulter la Nouvelle Architecture hydraulique de Pronvy. Voy. aussi un mémoire de Borda, Académie des sciences , 1768 ; le tome premier des Principes d’Hydraulique de Dubuat , etle Traité des Machines d'Hachette.

PORISME, (Géom.) Motdont les anciens se pour désigner certaines propositions géométriques et dont la signification s'est perdue, D’après Pappus , le

servaient

PO S4T porisme n’est ni un théorème ni un problème proprement dit, mais une invention, comme, par exemple, de déterminer le centre d’un cercle donné. M. Wronski a proposé ({ntrod., pag. 220) de consacrer ce mot porisme aux propositions techniques, dont les objets sont necessaires, en laissant à celles dont les objets sont seulement possibles le nom de problèmes. Ainsi, faire passer une circonférence de cercles par trois points donnés, est un problème, tant que l’objet de cette proposition n’est pas démontré comme possible ; tandis que déterminer le centre d’un cercle est un porisme. Cette signification des porismnes est parfaitement conforme aux définitions que nous ont laissées les anciens , définitions dont les modernes ont si complètement méconnu l'esprit, que Simson confond les porismes avec les véritables problèmes, et que d’Alembert, ce qui est un peu plus grossier, ne les distingue pas des lemmes, avec lesquels ils n’ont rien de commun.

PORISTIQUE. Quelques auteurs nomment #ethode porisique la manière de déterminer par quels moyens et de combien de façons différentes un problème peut être résolu.

POTRA (Jeax-Bapnisre), né à Naples, vers 1550, a long-temps été considéré comme l’un des plus illustres savans que l'Italie ait produits, durant le siècle à jamais célèbre de la renaissance des sciences et des lettres. La plupart des biographes ont accepté aveuglément les éloges qu’il recut de ses contemporains, et dont un examen plus scrupuleux de ses travaux et des services qu'ils ont pu rendre à la science a démontré l’exagération. Cette circonstance nous paraît justifier le rapide exposé que nous allons présenter de sa vie et de ses ouvrages. Jean-Baptiste Porta appartenait à une noble etancienne famille qui ne négligea rien pour développer les heureuses dispositions dont il était doué. Ses progrès dans les études classiques et dans les langues anciennes furent rapides et remarquables. Plus tard il voyagea en Europe , dans le but d'acquérir des connaissances nouvelles, eu se fortifiant dans celles qu’il possédait déjà. À son retour dans sa patrie, il fonda successivement l'académie des Etiosi et celle de’ Secreti, qui fut supprimée par le pape, sous le prétexte que ses membres s’y occupaient d’arts i{icites. Porta s’adonnait à des recherches physiques et d'histoire naturelle; il était doué d’une imagination vive, d'un grande pénétration cet d'une certaine audace, que sa position sociale lui inspirait peut être autant que son génie; il possédait enfin une érudition remarquable : c'en était assez, dans les préjugés de son temps, pour le faire accuser de se livrer à de chimériques ou plutôt impossibles sciences. On doit à Porta, qui appliqua souvent avec bonheur les connaissances étendues qu'il avait en mathématiques à

l'explication des grands phénomènes de la nature, la découverte de la chambre obscure, ainsi qu'un grand nombre d'expériences d'optique très-curieuses. Il approcha peut-être plus que Maurolico, de la vraie théorie de la vision, et a composé un grand nombre d’écrits sur les miroirs plans, convexes, concaves et leurs divers effets. Wolff et plusieurs autres écrivains mettent avec raison au rang de ses plus belles découvertes celle du télescope ; mais il n’est point l’inventeur de ce puissant instrument. On a pu lui attribuer l'honneur d’une sibelle production , d’après un passage de sa Magie na: turelle, dans lequel il parle de l'effet des lentilles concaves et convexes; mais nulle part il n’a indiqué la manière de les placer dans un tube, jamais il n’a essayé de fabriquer cet instrument; il parait n’en avoir eu qu'une idée vague , empruntée peut-être à Roger Bacon , dont il était trop instruit pour ne pas connaître les secrets. Porta, géomètre et physicien, quoiqu'il partageût la croyance de quelques-uns de ses plus illustres contemporains , dans les chimères de l'astrologie judiciaire et la puissance des esprits; quoiqu’on trouve dans ses ouvrages toutes les puérüités bizarres qu’on remarque d'ailleurs avec étonnement dans les écrits les plus estimés de son temps, n’a pas moins rendu de grands services à cette branche des sciences physiques, qui a pour objet les phénomènes de la vision. Îl mourut à Naples, le 4 février 1615. Nous citerons seulement ceux de ses écrits qui se rattachent aux sciences mathématiques. 1. Magiæ naturalis libri XX, Naples, 1589, in-fol. C’est le plus important des ouvrages de Porta, il a obtenu l'honneur de nombreuses éditions et traductions : parmi beaucoup de faits insignifians compilés sans critique , on v trouve des observations intéressantes sur la lumière, les miroirs, les lunettes dont il a perfectionné la fabrication, enfin sur la statique , l’hydrostatique et la mécanique. IL. De refractione optices parte libri IX, Naples, 1593, in-4. IT. Preumaticorum libri tres; cum duobus libris curvilinorum elementorum, Naples, 1601, iu-4. Cet ouvrage traite spécialement des machines hydrauliques : sa dernière partie, consacrée à la géométrie curviligne, a été réimprimée à part à Rome, en 1610. IV. De munitione Bibri tres, Naples, 1608 , in-4. C'est un traité des fortifications. { Joy. pour les détails bibliographiques relatifs aux travaux de Porta, l'Æistoire de La littérature de Tiraboschi.\

PORTE-VOIX. (Mec.) Tustrument en forme de trompette, en fer-blanc ou en cuivre, à l’aide duquel on augmente beaucoup l'intensité du son et on le porte à de grandes distances.

Quoiqu'on rapporte qu’Alexandre faisait usage d’un

semblable instrument pour parler à son armée, c’est

au chevalier Samuel Moreland que l’inveution du porte-voix est généralement attribuée.

Kircher a prétendu avoir fait des porte-voix avant Moreland ; mais tout ce qu’il dit et tout ce que d’autres ont rapporté sur des instrumens acoustiques antérieurs à celui de Moreland concerne plutôt les correts acoustiques que les porte-voir.

D'après Lambert (Mem. de Berlin, 1963), la forme la plus convenable à donner à un porte-voix est celle d’un cône tronqué , parce que, d’après les principes de la catoptrique qu’on peut appliquer au son par analogie, les rayons sonores sont réfléchis par les parois, de manière qu'après une ou plusieurs réfractions ils deviennent parallèles à l’axe ou du moins peu divergens. Toutes les figures qui, en s’élargissant, tournent leur convexité vers l’axe, doivent être rejetées, parce qu’elles répandent le son par tout un hémisphère ; ces sortes de figures sont bonnes pour les instrumens de musique, où il importe de répaudre le son aussi uniformément qu'il est possible; mais les porte-voix sont destinés à diriger le son vers l’endroit où l’on veut se faire entendre. Ainsi la courbure doit être telle qu’elle tourne sa concavité vers l’axe , sans cependant devenir parallèle à l’axe, ou se rétrécir après s'être élargie jusqu’à un certain point. Car si la surface devient parallèle à l'axe, elle commence à produire l’effet d’un cylindre, et si elle converge vers l'axe, elle fera l'effet d’un cône renversé. Un porte-voix parabolique, où l'embouchure doit être dans le foyer, ferait moins d'effet qu'un porte-voix conique de la même grandeur.

Cependant il résulte des expériences d’Hassenfratz (Journal de Physique, tome LVI, p. 18), qu’un portevoix muni d’un pavillon, ce qui est une petite pièce qui tourne sa convexité vers l’axe et que l’on place à son extrémité, porte le son à une distance presque double que lorsqu'il n’a pas de pavillon.

Quant aux tuyaux simplement cylindriques, il est évident qu'ils ne peuvent servir de porte-vorz , car les rayons sonores se dispersent en tous sens en sortant par leur extrémité. Le seul effet qu'on peut obtenir par un tel tuyau consiste à faire entendre à une de ses extrémités le son produit à l’autre sans le moindre affaiblissement ou même encoreun peu plus sonore. Au moyen d'un tuyau d’un diamètre partout égal, deux personnes placées aux deux extrémités pourront trans mettre et recevoir des paroles à une distance très-considérable. Mais pour transmettre le son à l’air libre à une grande distance, il est nécessaire que le tuyau s’élargisse du côté où se dirige le son.

L'application des lois de la catoptrique aux effets des porte-voix ne parait pas rigoureusement exacte , car, aiusi que l’a observé Chladui, la réfraction de la lu-

PO

uière dépend de chaque point de la surface, mais l’action du son dépend de la forme générale des surfaces contre lesquelles il s'appuie, et l'effet n’est pas changé par de petites inégalités de ces surfaces. La lumière ne se répand que dans des lignes droites, mais le son, par de nouveaux centres des rayons sonores , se répand dans toutes les directions possibles. Il paraît donc que ces changemens de la direction du son ressemblent plutôt aux mouvemens des ondes sur la surface de l’eau , qui, après être arrivées à un obstacle, forment des ondes secondaires, qui se répandent enfin sur toute la surface de l’eau, et dont le centre est à la même distance au-delà de l'obstacle que le centre des ondes premières est en deçà.

On trouve quelques remarques intéressantes d'Euler, sur les porte-voix, dans son mémoire De motu aeris in tubis, inséré dans le tome XVI des Nov. oct, ac. Petrop.

POSIDONIUS. Ce philosophe stoïcien , contemporain de Pompée et de Cicéron, qui s’honorèrent de son amitié , s’est rendu célèbre dans cette période de l’antiquité par ses connaissances et ses recherches en géométrie, en astronomie, en mécanique et en géographie. Il paraît avoir possédé un savoir encyclopédique , puisqu’il avait écrit sur toutes ces matières élevées. Malheureusement ses ouvrages sont entièrement perdus, et l’on n’a pu recueillir de lui que quelques fragmens épars dans les livres de Cléomède et de Strabon. On attribue à Posidonius une détermination de la grandeur de la terre, qui, autant par le résultat que par la méthode à l’aide de laquelle elle fut entreprise, ne peut être considérée que comme une des premières tentaives de la science pour arriver à la solution de ce problème important. C’est à l'époque de Posidonius qu’on fait remonter la connaissance précise du flux et du reflux de la mer. Ce fut cet ancien géomètre qui reconnut la loi de ce phénomène, qui, par ses rapports évidens avec les mouvemens du soleil et de la lune, appartient à l’astronomie, et dont Pline le naturaliste a donné une description remarquable par son exactitude.

Posidonius était né à Apasnée, il avait étudié à Alexandrie et ouvrit son école à Rhodes. C’est à peu près tont ce qu'on sait de sa vie. Les biographes, sans aucune raison plausible, distinguent deux Posidonius, dont l’un eût été philosophe et l’autre mathématicien ; mais d’après le témoignage des anciens historiens , et entre autres de Cicéron , qui l'appelle son maitre et son ami (De nat. deorum, liv. I et II), on ne peut douter qu'il n’y ait eu qu’un seul personnage célèbre de ce nom. Ce qui nous reste de Posidonius a été recueilli sous ce titre : Posidonit Rhodi reliquiæ doctrinæ, collegit aique illustravit James Bake, etc.

POSITIF, (4{g.) Une quantité positive est celle que l'on conçoit toujours avec une fonction d'augmentation, on Ja nomme ainsi par opposition avec les quantités

négatives, (Voy. N£carir et PaiLosopuie, n° 55.)

POSITION. (454, L’angle de position d'un astre est l'angle formé à son centre par ses cercles de latitude et de déclinaison. Cet angle entre comme élément dans plusieurs calculs astronomiques.

En arithmétique, on doune le nom de fausse posttion à une règle d’un usage très-géuéral. Nous l'avons

exposée sous ce dernier nom.

POULIE. (Aec.) Une des six machines considérées comme simples en mécanique. C’est un corps rond, plat, mobile sur un axe et creusé en gorge, sur sa surface courbe, pour recevoir une corde. La poulie est faite en bois ou en métal , et son axe est supporté par une barre de fer recourbée que l’on nomme chape. Elle sert à élever des fardeaux.

On distingue deux sortes de poulies, la poulie fixe et la poulie mobile. La poulie fixe est celle dont la chape AC (PI. 54, fig. 2) est tenue par un point fixe , et la poulie mobile est celle dans laquelle le fardeau à élever est attaché à la chape (fig. 3).

Dans la poulie fixe, la puissance P , qui agit à l’extrémité de la corde , quelle que soit sa direction, doit être égale à la résistance Q pour lui faire équilibre, car si l’on prolonge les directions des forces P et Q jusqu'à leur point de concours O , ce point O appartiendra à la résultante des deux forces; mais cette résultante, dans le cas des forces égales, partage l'angle MON en deux parties égales; elle passe donc aussi par le centre C de la poulie et se trouve détruite par la résistance de ce centre. Ainsi la poulie fixe n’aide point la puissance, mais elle est avantageuse en ce qu’elle permet de changer sa direction et d'employer conséquemment cette puissance selon la direction la plus favorable au développement de la force. Par exemple un cheval qui ne peut tirer verticalement, mais qui tire horizontalement avec beaucoup de force, peut être employé à élever un poids en changeant la direction verticale en horizontale par le moyen d’une poulie.

Si l’on fait attention que la puissance et la résistance agissent toujours aux extrémités des rayons dela poulie, on pourra la considérer comme l'assemblage d'une infinité de leviers fixés autour du même point d'appui C et dont les bras sont égaux. C’est cette égalité des bras CM et CN qui fait que dans le cas d'équilibre la puissance est égale à la résistance.

Pour la poulie mobile (fig. 3) supposons que la corde qui l'entoure est attachée par une de ses extrémités au point fixe Q, et que la puissance P est appliquée à l’autre extrémité. La résistance du point fixe Q con:

court donc ici avec la puissance P pour soutenir le poids R; et dans le cas d'équilibre, le rapport de la

puissance à la résistance est donné par la proportion P:R::A0 :AB

La poulie mobile est donc d'autant plus avantageuse à la puissance que la soutendante AB est plus grande que le rayon AO. Le cas le plus favorable est celui où AB est le diamètre de la poulie; ce qui arrive lorsque les cordons QA et PA sont parallèles; on a alors * P:Q :: rayon : diamètre :: 1 : 2

c’est-à-dire que la puissance est la moitié de la résistance.

La poulie est principalement utile quand il y en a plusieurs réunies ensemble.

Cette réunion donne le moyen d’élever des fardeaux énormes avec une très-petite puissance, comme nous allons le montrer.

Le poids étant suspendu à la chape de la poulie C (PI, 17, fig. 3), concevons cette poulie embrassée par une corde attachée au point fixe D, par une de ses extrémités, et à la chape d’une seconde poulie G par son autre extrémité. Concevons encore cette seconde poulie supportée par une corde, d’une part attachée au point fixe E, et de l’autre à la chape d’une troisième poulie, et ainsi de suite jusqu’à la dernière poulie qui sera embrassée par une corde attachée d’un côté à un point fixe et de l'autre à la puissance Q. Si l'équilibre subsiste entre ces poulies et qu’on désigne par T, T", T" les tensions des cordes FA , RIT, QN, etc., on aura, en ne supposant que trois poulies et en désignant par R le poids ou la résistance

Æi s Ross: soncs2i2

AE: ea 0 d’où

; I La puissance est donc seulement 8 de la résistance.

Elle ne serait que s'il y avait quatre poulies ;