Pile et Pile
Et commeil y en a deux qui font gagner le pari, la pro-
babilité est donc 3
me possibilité à ces trois événemens, et cet argument victorieux par lequel d’Alembert croyait renverser de fond en comble le calcul des probabilités ne prouve que sa précipitation et sa légèreté habituelles. En effet, avant de commencer le jeu , la probabilité d'amener
. L'erreur consiste à supposer la mê-
à : 1 ; PMR croix au premier coup est » et celle d'amener pile d’a-
bord et croix ensuite est É (3); ainsi, la probabilité d’amener au moins une fois croix en deux coups est donc
I 1 3 D Là comme nous l’avons déjà trouvé,
9. Si l’on demandait quelle est la probabilité d'amener au moins une fois le point de six en jetant deux fois successivement un dé ordinaire, il faudrait pareillement considérer tous les cas possibles qui peuvent résulter de ces deux jets, et la somme des cas dans lesquels se trouve le point de six divisée par la somme Lotale des cas serait la probabilité demandée. Or, les deux jets successifs peuvent amener indifféremment une des trente-six combinaisons suivantes des points du dé:
PR JD lie 2e 2,1 4,1. Hi 6,1 1,24 2,92 1002 de Hidtoe 0e 0,2 139602 Dis. dde 9 5,3 6,3 Lboss Dies 354 bikes Biâore 654 1 Bos 2,Dsne 3,5%: 4,5::215,5202.6,9 1,0::: 2,0%%z: 3,6 Â6::: 5,0::410,6
et comme dans ces 36 cas, tous également probables, il y ena 11 qui contiennent le point de 6, la probabilité
est donc —.
Pour calculer cette probabilité sans être obligé de former le tableau précédent , il faut remarquer que la probabilité simple d'amener le point de six en un seul
£zn : crées F D. 4 04 jet étant 6 la probabilité contraire est 5; ainsi, si l’on
s'était proposé le problème inverse de trouver la probabilité de ne pas amener le point de six en deux jets successifs, on aurait cette probabilité en formant (4) le
ee 5 5 5 produit des deux probabilités simples 6 X 8 = & Donc > étant la probabilité de ne pas amener le point
de six en deux jets successifs, celle de l’amener (7) sera donc
10. Le tableau ci-dessus nous montre combien le nombre des chances augmente avec le nombre des coups joués, car en jetant le dé une seule fois il n’y a que six cas possibles, tandis qu’en le jetant deux fois de suiteil s’en présente 6 fois 6 ou 36.
On peut voir de même facilement qu’en jetant le dé trois fois de suite le nombre des cas possibles deviendra G fois 36 ou 216, puisque chacun des 36 cas des deux premiers jets peut se combiner avec les six cas du troisième. Pareillement le nombre des cas de quatre jets sera 6 X 216 — 1296; celui des cas de cinq jets 6 X 1296— 7776, etc. , et en général le nombre des cas possibles qui résulte de m jets successifs sera égal à 7x fois 6 multiplié par lui-même, ou à la ième puissance de 6. Si l’on désigne par À le nombre total des chances tant favorables que contraires d’un événement, en une seule épreuve, celui des chances en 7»? épreuves successives sera donc égal à A”.
11. Si l’on demandait la probabilité d'amener au moins une fois le point de six en trois , quatre et cinq jets successifs d’un même dé, en trouverait facilement en calculant ces probabilités, comme ci-dessus , par le moyen des probabilités contraires :
En 4 jets,
Eu 5 jets,
5\5 3625 ne (a) 7 4i5r
Or, en examinant ces divers résultats, on voit que la
7 en
probabilité d'emener le point de six qui n’est que 6
il faut donc en conclure que la proba-
un seul jet, devient en cinq jets , c’ést-à-dire plus
grande que 6?
bilité augmente avec le nombre des épreuves, et qu'il est possible d'approcher aussi près de l'unité ou de la certitule qu'on voudra, en augmentant suffisamment le nombre d'épreuves.
Ainsi, quelque peu probable que soit d’abord un événement, te}, par exemple, que le tirage d’une boule blanche d'uneurne quien coutient 40 noires et une seule blauche , en multipliant le nombre des tirages on peut lui donner la probabilité qu'on voudra ; ilest, du reste, sous-entendu qu'après chaque tirage on remet dans V'urne la boule tirée pour conserver toujours le même nombre des chances primitives. En effet, si l’on cherche ce que devient cette probabilité dans une série de 100 tirages, on trouve, en l’exprimant en fractions décimales qu’elle deviento,91536, c’est-à-dire plus grande
que a
et par conséquent déjà assez près de la certitude. Car la probabilité favorable pour la sortie de la boule : L je,»
b'arche est, en un tirage, de -— et la probabilité con- AT
/ : 40 : Fe. :
traire de - . En 100 tirages la probabilité contraire (10) ; HON 100 , ne devient (&) , et par conséquent la probabilité favo-
rable
foN100 40 :
En augmentant encore le nombre des tirages, on pourra rendre la probabilité d'amener la boule blanche aussi peu différente de la certitude qu'on pourra le désirer.
12. C’est cette considération qui a fait naître le problème suivant :
PR
Déterminer le nombre des épreuves nécessaires pour que la probabilité d'un événement soit cgale à une quantité donnée.
Par épreuves , nous entendrons toujours les jets successifs d'un même dé, ou les tirages de numéros ou de boules d'une urne dans laquelle on les remet après chaque tirage pour que les conditions restent les mêmes.
Ce problème se résout encore par la considération de la probabilité contraire, car, d’après ce qui précède, la probabilité de ne pas amener le point de six, en un seul
jet, est égale à et dans un nombre x de tirages eile )
5\x devient ( ?
vien 6) ;
est alors
de sorte que la probabilité favorable
c'est cette quantité qu’il faut égaler à la probabilité qu'on veut avoir, ce qui donnera une équation dont on tirera la valeur de x. Supposons par exemple, qu’on
; : : ; LL demande combien il faut de jets pour avoir — de pro-
babilité, on posera
PO
cette équation, quine peut se résoudre qu’à l’aide des ,
d'où
Dim
logarithmes, donne
L>—-Lr
Pie 0,3010300 re
ou à peu près 4.
Ainsi il faut 4 jets pour que la probabilité d'amener
le point de six, au moins une fois, soit égale à D L Si l’on voulait que cette probabilité fût 30 poserait
JT 2 1 — (à) D=.3 (Q æ 2 I | => = > >) CE
et, opérant par logarithmes
d'où
L3—Lr
