AL BC) — A3 3A2B-L3AB: + B3 + 3A2C + GABC+ 3B°C + 3AC: + 3BC
avec le tableau (b), il devient visible que ses coefficiens numériques nous donnent immédiatement le nombre des arrangemens particuliers de chaque combinaison particulière. Ainsiles termes A, B?, C' ont l'unité pour coefficient, parce que chacun des groupes AAA, BBB, CCC n’admet point de permutation ; leterme 34/B, a 3 pour coefficient, parce que le groupe AAB admet les trois permutations AAB, ABA, BAA, permutations qui expriment toutes le même produit, etc. L'inspection des coefficiens du développement de la puissance peut donc nous faire connaître la probabilité de chacun des arrangemens sans que nous ayons besoin de les former, ce qui, dans beaucoup de cas, deviendrait impraticable. Ainsi, le nombre total des arrangemens étant ici 27, nombre égal à la somme des coefficiens numéri-
ques
1H3+L3+HIH3+HGLS LG ES 1 — 27 Ja probabilité de chaque arrangement en particulier
L DE « Je est — ; celui d’un arrangement où entre 2 fois À etune À
fois B, sans avoir égard à l’ordre des sorties, est :
celui d’un arrangement où entre à la fois A, B, C, sans avoir égard pareillement à l’ordre des sorties, est 6 es :
— , et ainsi de suite.
16. Il résulte de ces considérations que si nous désignons en général par a le nombre des chances d’un événement À et par b le nombre des chances d’un autre événement B, dans une seule épreuve, (a + b}* sera le nombre total des chances dans un nombre »2 d'épreuves, et le développement de cette puissance offrira toutes les chances qui se rapportent à chaque cas particulier. Ainsi, dans ce développement
(a —- b}n = an + mam—1b + pe Verre l'am—21b?
+ etc..... mabm—: L bm
le premier terme a” indique le nombre des chances qui, sur un nombre »2 d'épreuves , donnent 7 fois de suite l'événement A; le second terme ma”—1b, indique le nombre de chances qui donnent y1—1 fois le premier événement A et une fois le second B, sans tenir compte de l'ordre de leur apparition, et ainsi de suite.
Lo divisant donc chacun de ces termes par le nombre total des chances qui est (a + b}", on aura les probabilités de chacune des successions d’événemens simples auxquelles ils se rapportent.
Il suffit presque toujours de considérer le terme général du développement, qui est (c)
m(m—im—2)....(m—u #1) 1.2.3.4.5.. 4e
- amp be
pour résoudre les divers problèmes qu’on peut se proposer, et c’est ce que nous allons éclaircir par des exemples.
17. Probléme 1. Déterminer la probabilité d'amener en 5 épreuves successives au jeu de croix ou pile, 5 fois croix et conséquemment 3 fois pile.
Nous avonsici mn — 8; faisant donc p — 3, le terme général (c) devient
4 5 3—h 523 BR a a .b—56a"b
ainsi, comme nous avons d’ailleurs a —1,b=—1,ce nombre de chances est donc simplement égal à 56. Mais le nombre total des chances est
donc la probabilité demandée est eu
Problème X. Déterminer la probabilité d'amener 8 fois de suite croix en 8 épreuves.
Dans cet arrangement pile ne devant pas se montrer, nous ferons # — 0; ainsi, ayant toujours »# —8, le terme général (c) devient aÿ — 1 , à cause dea—1,
et la probabilité demandée est ES Il n'y a évidemment sur les 256 chances qu'une seule pour l’événement en question.
Problème II. On demande la probabilité d'amener au moins une fois le point de six en jetant 4 fois un dé ordinaire.
Le nombre des chances favorables au point de six à chaque tirage étant 1, et le nombre des chances contraires étant 5, nous aurons a — 1, b—5,et de plus m—= 4. Mais ici il faut former tons les termes qui contiennent la chance 4, car dans l'énoncé de la question
on considère non seulement les cas qui ne présentent
PR | qu'une seule fois la face 6, mais encore ceux qui la présentent 2 fois, 3 fois, 4 fois. Ces termes sont
ai + 4aÿb + 6a°b? + 4abs d'où, en évaluant, 1 + 20 + 150 + 500671
or, le nombre total des chances est (1 + 5) — 64 —
1206 ; donc la probabilité demandée est c’est-
A . I a-dire un peu plus que -.
Dans tous les cas semblables il sera beaucoup plus simple de considérer la probabilité contraire , car dans le développement
(a + D = ai + 4a6 + 6 b° + Lab + bi
qui renferme tous les cas possibles, on voit que le terme b*, qui ne contient pas a, exprime justement le nombre des chances contraires au cas que l’on considère, et qu’ainsi bi (a+ bi est la probabilité que ce cas n’arrivera pas; donc la
probabilité favorable (7) sera immédiatement donnée par légalité
c'est-à dire, ici par
- Dr
comme nous l'avons trouvé directement.
625 GJr 1206 1296
Si l’on avait demandé la probabilité d'amener une seule fois le point de 6 en 4 jets, on n’aurait eu besoin que de considérer le terme du développement qui contient une seule fois la chance d'amener 6. Ainsi faisant dans(c), m--u—1,d'oùp = m—1—=3,onaurait
eu
Ab = At. 1500
et, par conséquent la probabilité serait nv
Problème IV. Déterminer la probabilité d'amener deux fois le point de six, en jetant 5 fois un dé ordinaire.
Comme nous n'avons à considérer dans ce cas, que les seules combinaisons qui contiennent 2 fois le point
PR
de six , nous ferons dans le terme général (ce) a 1, b=5, m—5ex—=3,etil deviendra
OMOE
La probabilité demandée est donc SA puisque le
mn
nombre total des chances est (15) = 5776.
16. S'il s'agissait des probabilités relatives à plus de deux événemens, on désignerait par a, b,c,d,etc., le nombre des chances relatives à chacun des événemens, et par »2 le nombre des épreuves; le terme général du développement de la puissance
(a+b+c+d+etetc....)"
répondrait également à toutes les questions.
Ce terme général est (voy. ELévarion)
mm) (mi—2).....1
arbreidr. etc.
(1.2..n)(1.2..p)(1.2..g)(.2..r)etc.
dans lequel on a
n+p+qg+r+s+Hetc.... —m.
17. En comparant entre elles les probabilités respectives des divers événemens composés qui peuvent arriver dans un nombre donné d’épreuves, on reconnaît sans peine que le plus probable de ces événemens est celui dans lequel les nombres des événemens simples sont entre eux dans les rapports de leurs chances primitives. En effet, d’après le tableau (b), si les trois événemeus À, B,C ont chacun la même probabilité dans une seule épreuve , en trois épreuves ils pourront former un quelconque des 27 événemens composés du tableau, mais parmi ces 27 événemens composés
1 seulement se compose de trois fois A, HR Ce chrecrsesendenttois fois, Tee Ie cetnaeieis te e MUC TTOÏS 10IS CO, 3 se composent de deux fois À et une fois B.
3.......... de deux fois A et une fois C. 3 .......... de deux fois B et une fois A.
3.......... de deux fois B et une fois C, 3 .......... de deux fois C et une fois A.
