TOME
PR
o01 B, y fois, est mm)... (m—p +41)
TT amp, br; Or, en supposant que le nombre des chances favorables à chaque événement simple A et B est le même, ou que
a—b, la quantité précédente se réduit à
an—t,a!
m{m—1) (m—2)....(m—p+41) RE UT
et comme le facteur an—# a" — a" est le même dans
chaque terme , la grandeur des termes dépend particulièrement du coefficient
mm—i) (ni)... (mp4) Pa21 9e Bocoele ?
c'est-à-dire que l'événement composé qui a le plus de chances est celui dont le coefficient est le plus grand.
Mais si l’on examine la formation des coefficiens des puissances successives du binome (a+-b)
(a+ b} = a +oab +
(a+ D} = à +3eb+ 3ab +
(a HD = ai + Lab + Ga?b? fab5 L Di
(a+ D) = a + 5añb + 1oab? + 104 b5 + Sabi+ etc. — etc.
On reconnait que dans les puissances paires le terme du milieu est celui qui a le plus grand coefficient, et que dans les puissances i mpairesles deux termes consécutifs du milieu ont des coefficiens égaux et plus grands que tous les autres; ce sont donc les événemens composés qui répondent à ces coefficiens qui ont la plus grande probabilité relative. Ainsi, en prenant pour exemple le jeu de croix ou pile, jeu auquel on peut ramener tous ceux qui présentent deux événemens opposés à chances égales, les événemens composés les plus probables seront, en 2 épreuves, une fois croix et une fois pile; en 3 épreuves, 2 fois croix et une fois pile, ou 2 fois pile et une fois croix ; en 4 épreuves 2 fois croix et2 fois pile, etc. ; ce qui conduit à la proposition du n° 17, du moins dans le cas où les événemens simples ont le même nombre de chances.
18. Si en augmentant le nombre des épreuves, la probabilité de l'événement composé qui renferme chaque événement simple dans le rapport du nombre des chances est toujours , relativement, plus grande que la probabilité de tout autre événement composé, il n’en est pas de même de sa probabilité absolue ; cette dernière diminue à mesure que le nombre des épreuves augmente ct peut devenir aussi petite qu’on le voudra, en multipliant suffisamment les épreuves.
502 PR Par exemple, en 4 épreuves le nombre des chances de l'événement composé qui renferme 2 fois croix et fois pile étant égal à 6, la probabilité absolue de cet 6 0 événement est — — —;en6 épreuves le nom- Qi +i} 10 bre des chances de l'événement composé qui renferme 3 fois croix et 3 fois pile est égal à 20, et sa probabilité absolue est RE — =: en 5 épreuves la pro- (1 +) 64? :
fois croix et de 4 fois pile est égale à
babilité de 4
ner autant de fois croix que pile diminue successive-
d’où l'on voit que la probabilité absolue d'ame-
viennent de plus en plus petites. Pour 100 épreuves
ment, puisque Îles fractions etc. , de-
cette probabilité se réduit à euviron =
Cette diminution de la probalité absolue résulte de l'augmentation du nombre des événemens composés due à l'augmentation du nombre des épreuves; ainsi, tant que nous ne considérons qu'une seule classe de ces événemens composés, nous ne devons pas nous étonner de voir diminuer sa probabilité. Demander d'amener 5o fois crorx et 50 fois pile dans 100 épreuves, c’est demander un seul événement parmi 101 qui peuvent se présenter.
Les 100 autres sont à la vérité moins probables que celui-ci, eu les considérant chacun en particulier, mais leur ensemble doune une probabilité contraire qui surpasse de beaucoup la probabilité favorable à la sgrtie de 50 croix et de 5o piles.
Si nous considérons d’autres classes d'événemens composés, nous verrons leur probabilité absolue décroître bien plus rapidement encore à mesure que le nombre des épreuves augmente. En effet la probabilité d'amener 2 fois plus de croix que de piles, qui en 3
; ; , 3 ! 15 épreuves est égale à =, devient — Le) 64
en G épreuves ;
en 9 épreuves, etc. Celle d'amener 3 fois plus de
croix que de piles est, en 4 épreuves, égaleà -t; en , [ ü 16?
5 épreuves, à 556” etc. En général, plus le rapport du nombre des croix à celui du nombre des piles s'éloigne de l'unité, dans un événement composé, et plus la probabilité absolue de cet événement décroit rapidement quand on augmente les épreuves.
19. Tout ce que nous venons de dire pour le cas où les événemens simples À et B ont le même nombre de chances, s’étend à celui où ces événemens ont des
chances différentes ; c’est-à-dire que l'événement com-
PR
posé le plus probable relativement à tous les autres, est encore celui dans lequel le nombre des événemens À est à celui des événemens B dans le rapport des probabilités simples de ces événemens, et que la probabilité absolue d'un événement composé décroit d’autant plus rapidement, d’après l'augmentation du nombre des épreuves, que les événemens simples s’y trou: vent dans un rapport qui diffère plus de celui de leurs probabilités respectives. Ces propositions se démonrent par l'examen des valeurs que prennent successivement les termes du développement de {a +b), en donnant à l’exposant 77 des valeurs de plus en plus grandes. Nous ne pouvons nous y arrêter.
20. Revenons un moment sur les arrangemens dont divers objets sont susceptibles, en les disposant par groupes, car cette méthode si simple est celle qui peut jeter le plus de jour sur les probabilités composées. II résulte de ce qui précède que les arrangemens 7» à m de deux objets A et B représentent tous les événemens qui peuvent arriver en 72 épreuves et qui sont composés de deux événemens simples, ayant le même
nombre de chances. Par exemple, les arrangemens ?
Auf AAAA AAAB AABB ABBB BBBB AABA ABAB BABB ABAA ABBA BBAB BAAA BABA BBBA BAAB BBAA
nous offrent les 16 événemens composés, ayant chacun ï . re :
=G pour l'expression de leur probabilité respective,
qui peuvent être produits indifféremment en quatre épreuves successives au eu de croix ou pile; À désignant ici croix, Ct B pile, ou plus généralement A et B étant deux événemens simples opposés également probables.
Or, en considérant isolément chacun de ces événemens composés, aucun n'est plus probable que les autres et celui qui donne 4 fois À de suite : AAAA , a rigoureusement la même probabilité que celui qui donne deux fois À et ensuite deux fois B: AABB, ou que tout autre. Mais si l’on ne tient plus compte de l’ordre dans lequel À et B peuvent se présenter, on voit que l'événement composé qui contient 2 fois A et 2 fois B a six fois plus de chances que celui qui contient A quatre fois, ou que les probabilités respectives de ces évé- 6 I
el
nemeus sont entre elles comme & 6
On peut donc ainsi réunir en une seule classe plu- !
sieurs événemens composés très-différens, pour com- !
PR parer la probabilité de l'apparition de l’un quelconque de ces événemens avec chacun des autres en particulier ou bien encore avec la probabilité de leur ensemble. C'est de cette manière que l’on trouve que la probabilité d'amener deux fois A et deux fois B est à celle d’amener trois fois À et uue fois B comme Gest à 4; et encore, que cette même probabilité est à celle d’un événement quelconque, qui nerenferme pas 2 fois À est 2 fois B, comme 6 est à 10. Si l'on ne faisail que deux classes d’événemens , l’une qui renfermaät tous ceux où se trouvent à la fois les deux évésemens simples À ct B , et l’autre ceux où ne se trouvent que l'événement
A ou l'événement B , ces deux classes opposées auraient
un, : 1 pour leurs probabilités respectives …
et 5 c'est-àdire qu’elles seraient entre elles comme 14 est à 2, ou, ce qui est la même chose, comme 7 est à 1. On aurait donc sept fois plus de chances en pariant pour la première classe que pour la seconde. Il s’agit toujours ici de 4 épreuves, car si l’on augmentait le nombre des épreuves, ce rapport augmenterait d'une manière trèsrapide. Par exemple pour cing épreuves le nombre des événemens composés qui ne renferment que À ou Best toujours2, tandis que celui de tous les autres devient 30; pour six épreuves ce dernier devient 62; pour 3 épreuves 126, etc. Ainsi la probabilité d’un événement quelconque de la première classe est à la pro-
babilité d’un événement quelconque de la seconde
en 4 épreuvescomme 7:1
Dre seniee seems TO LT
OMS nes sense OÙ 01 Tosccocsosooess 63 :1 etc. etc.
La seconde classe d'événemens devient donc de moins en moins probable, et l'on peut, eu multipliant suflisamment le nombre des épreuves, reudre la probabilité de la première aussi près de la certitude qu’on le voudra.
Nous obtiendrions encore le méme résultat en donnant plus d'extension à la seconde classe d'événemens ; par exemple, en lui faisant embrasser tous les événemens composés qui contiennent une seule fois A ou une seule fois B. Nous aurions donc alors deux classes opposées, dont la première renferme tous les événemens
dans lesquels entrent au moins 2 fois À et au moins 2 fois
B, et dont la seconde renferme tous ceux dans lesquels
À ou B n’entrent qu'une seule fois ou n’entrent pas du tout.
Le nombre des chances respectives de chaque événement composé étant donné par le coefficient du terme qui représente cet événement (15), dans le développement du binome (a-b)" , nous voyons immédiatement
qu’en 4 épreuves ces chances étant
PR 563 ai + Ab — Gaïhr + 4ab° + bi
la première classe comprend 6 chances et la seconde 10.
Qu'en 5 épreuves les chances devenant
a + ab + 104 br + 104 b} + 5abi +0
la première classe comprend 20 chances etla seconde 12. Qu'en 6 épreuves les chances devenant
a + Gab + 15aib? L'oo 5 + 15a7bi LE Gab5 + B6
la première classe comprend 50 chances et la seconde 14, etc.
La probabilité d’un événement quelconque de la première classe est donc à la probabilité d'un événe-
ment quelconque de la seconde
en 4 épreuves, comme 3 : 5 D a et en MD 20 Oisissenrsonmas 200
ClCass as à etc.
