En partant de la progression ordinaire, ou du
premier ordre,
Sn, 25 3,143 5, 0, 7,18, 0, etc.
formée de la suite des nombres naturels, on obtient pour les progressions des ordres suivans :
PR 6,: 10;, 15, 28, 36, 3° ordre. 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, etc.
4° ordre. 1, 5, 15, 35, 50, 126, 210, 330, 495, etc.
29 ordre 3,3; 21, 45, etc.
Les nombres de ces suites prennent le nom de nombres figures. (Foy. ce mot.)
Si l’on désigne par »2 le rang ou l’indice d’un terme, on trouve pour l'expression générale du terme dece rang, c’est-à-dire, pour ce que l’on nomme le terme general de la suite,
Nombres naturels. ......... ne
: : mm Figurés du 2° ordre........ Lens
1.2 Figures du 3° ordre...,.... r(m-}1) (m2) 1.959 Figures du 4° ordre AOREOUEEANErS) 8 eee REA etc. etc.
En général, le terme du rang »2 dans la suite des nombres figurés de l’ordre » est
Nous verrons ailleurs comment on obtient ces termes généraux, (Joy. SommarTorre.)
D'après la formation de ces suites , il est évident que le terme général d’une quelconque d’entre elles exprime la somme des »1 premiers termes de la suite précédente. Par exemple :
mm + 1)
est la somme des »2 premiers termes dela progression des nombres naturels ;
est la somme des » premiers termes de la progression des nombres figurés du second ordre, et ainsi de suite. Comme on nomme terme sommatoire d’une suite de termes l’expression générale de la somme d’un nombre quelconque de ces termes , nous pouvons dire que le terme général d'une suite de nombres figurés est en même temps le ferme sommatoire de la suite de l’ordre immédiatement inférieur.
L'expression (e)
S = na, + = n(n—1)9
peut se nommer le terme sommatoire d'une progression du premier ordre, dont le premier terme est 4, et la
Pi
différence 9. En faisant dans cette expression a, = 1 et
oi
2 — 1, nous obtenons pour le terme sommatoire de la suite des nombres naturels
2 —1) 2— S = nr + = n(n—1) = 2n-n(r 2— ee 5 2
ce qui est identique avec le terme général des nombres figurés du second ordre. Car m et n désignent également ici le nombre des termes. Ces remarques étaient indispensables pour ce qui va suivre.
15. Désignons par À,, A,, A2, À,, etc... A», une suite de nombres formant une progression arithmétique du second ordre; désignons encore par D,, D’, D", etc, les différences consécutives À — A, À, — A, , etc., et enfin par D, la différence constante des premières différences D,, D, D", etc., ou D'—D, D,'—D\, etc., nous aurons de cette manière les trois suites de nombres
À; A; Ans A. À. A. etc D,, D, D", D, D”, etc.
D,, D,, D, D, etc.
liées entre elles par la loi de formation du n° 12. Or, en vertu de la construction même de la progression du second ordre, on a les égalités suivantes
A, =A,—+D, As PDA LD LD =A LED SL D A;=A,+D, =A, +D, + 2D,—A,—+ 3D, + 3D, A,—A,+D," =A,+D,+3D— A, + 4D, + 6D.
A;—=A,;+D"—=A,+D,+4D— A, + 5D,+roD,
ss LC: ss soin DE
Il est visible que le terme A, aura pour expression gé-
nérale ( f)
car, dans la suite des valeurs destermes À, A,, A,, etc., les coefficiens numériques de D, sont les nombres naturels 1,2, 3, 4, etc., et comme cette suite ne commence qu’au second terme de la progression ; le coefficient de D, dans le » ième terme, est le terme m—1 de la suite des nombres naturels. En outre les coefficiens numériques de D, sont formés par l'addition successive de ceux de D; ces coefficiens sont donc la suite des nombres figurés du second ordre; mais ils ne commencent à paraître qu’au troisième terme de la progression,
c'est-à-dire que le cocfficient numérique du terme A,
PR
est le nombre figuré du second ordre du rang M— il faut donc substituer #—2 à m1 dans l'expression générale de ces nombres, et l’on obtient en effet pour le terme général de la progression du second ordre l’expression ci dessus.
16. La somme d'un nombre quelconque 72 de termes d'une telle progression étant nécessairement égale à la somme de toutes les quantités qui composent ces termes, ona
A,+A,+A,+A, + A, LA; —+Hetc.... LA»
A,+ A: +etc...)+(r1+2+etc...mr—i)D,
+ (1 +34+64etc... is PP Vpn,
mais nous avons d’abord A, + A + A, — etc...
= À, De plus, la somme des nombres naturels depuis 1 jusqu'à #2—1 est le nombre figuré du second orm(m—1)
