SET
je P,T , Désignons —- par F,x, et décomposons F,x en px
F,x = D + dx
la fonction æ,x devant ètre zéro lorsque où = 0; nous
aurons de même
© mi
ëS.
et, par conséquent,
D'= Pa = Pi Abri gx (px) PianBi=Chi} 0 : (px) 2
ce qui nous donnera , en prenant les différentielles troisièmes du numérateur et du dénominateur,
dFi—Bdoi—Cdiox].
En poursuivant de là même manière et substituant ensuite les résultats les uns dans les autres, nous aurons
définitivement Ja série (/) Fr = A + Por + Cox? + Dox + Eoxi + etc.
dont les coefficiens À , B, C, D, etc. sont
A=Fr D dei
Ê PE DES de
Cr 7 NE: Ou
PAR OL” see De 191 (do x) LEFr-Bd'yx—Cdox] ce HCAN (dE ir Bio Cdioi?—Ddiox] etc: etc.
On pourrait, en substituant successivement les unes dans les autres les valeurs de ces coefficiens, obtenir feurs expressions isolées où indépendantes, mais on
SE
m’arriverait pas par ce procédé à l'expression générale de ces coefficiens,. qui est proprement la loi de cette série. Nous verrons plus loin quelle est cette loi, ici il ne s'agissait que d'établir la possibilité dé la forme /b) des séries. Cette série (b) est celle Paoli. (Foy. Dire, 41.)
6. Pour obtenir la forme la plus générale des séries , preuons la suite des fonctions arbitraires
PL Pr 9 Pal QT Pal) GC.
et changeant de inesure à chaque transformation suca
cessive de la fonction proposée Fx, nous aurons de
cette manière :
Fr = À + Pr
de — ET —.B + P,x PT
D — Fr = C P,x Pix Tia DT ; = Pr=D+axr 9,7 ” ;
D,x d E —— ET = Li Mr Dix ÿ F Ù EC. t—'elc, —="eIc.
ct, en substituant ces expressions les unes dans les
autres (c), Fr = A + Box L Cor.oix HE Doro x.o,x — etc...
Or, d’après le principe de ces transformations, la fonction æx doit devenir zéro lorque ox = 0; ainsi
désignant par 2 la valeur de x qui rend 9t — 0, of à
De mème ,x devant être zéro lorsque »,x = 0 , si nous désiguons pare, la valeur de æ quirend'æ= 0,
ous auron;i + gr
et, par conséquent,
tee dx) . Flu, )=— A ? (2) pe)
dx devant épalement être zéro lorsque #.r — 0, désignant ‘par z, la valeur correspondante de x, mous
trouverons
et, par suite,
c Li (2)
LR (a) F(,)h-Bfa)
CAC) gu(s) CICR ET NC) SIRET
SE
On trouverait de la même manière
F(z,)—A—B. 23) — C. 943) A a) pla). 9 (23). qÂc3)
et ainsi de suite. La loi de formation de ces coefficiens les uns au moyen des autres est évidente.
La série (c) embrasse toutes les séries possibles; là Toi elle-méme de cette série, c'est-à-dire l'expression générale de ses cocfficiens A, B, C, D; etc., est due à M: Wroônski, ques que nous vénous dé donner.
ainsi que toutes lés déductions tethni-
7. Si l'on donne aux fonctions arbitraires ÿ%, pæ, p,x, ete. les déterminations
px y a), qiet2f), p(æ4-38), etc:
les produits de ces fonctions seront les facultés de la fonction arbitraire 9x (voy. Facuré), et la série (c) prendra la forme (4)
Fr = A + B.or + Cor EL D.9x3 PE ,gx4t+ etc.
qui est le cas principal ou fondamental de la forme générale (c), celui auquel on peut ramener tous les autres. (Foy. Wronski. Philos. de la technie, 2° sec.) Les cocfficiens A, B, C, D, etc., sont (d)
A = Fx AFX B = —— A9Xx ç = Pise Fax FOI Aer ADN {uw Dee A'park AFx] D = — Ne è gs E spi a à] re A ORSE, Aipile Ctc. —/£tc:
Le point placé sui indiquant qu'il ‘faut donner à cette variable, après avoir pris les différences, la valéür ‘qui rend 9x 0, ét la caräctéristique dy désipnant des sonimes Combinatoires dont nous ällons indi: quer la formation. L'accroissement des différences, qui doivent être prises en faisant varier xen He est ici le même que celui À des facultés.
5.Soient X;, X,, X,, etc., plusieurs fonctions d’une quantité variable , M. Wronski nomme somme combinaloire et exprime par la lettre hébraïque schin, ainsi qu'il suit
VAGX, AUX ACXs, cn 4PX]
SE
la somme des-produits des différences de ces fonctions
composée de la manière suivante. Ayant formé avec les exposans a, b,c,d,....p des différences toutes
les permutetions possibles, on donne ces exposans, dans
chaque. ordre de leurs permutations , aux différeuces
consécutives qui composent le produit
AX:.4X,.AX.....AXæ
en donnant de plus aux produits séparés formés de
SE
cette manière ». le signe positif lorsque le nombre des variations des, exposans a,b,c,etc., considérés dans jeur ordre alphabétique ,. est nul au pair, et le signe négatif lorsque ce nombre de variations est impair;
LeTe
eufin on prend la somme de tous ces produits séparé s. On a ainsi, par exemple,
WEUX,] = àX,
TO TO AT 0 T0 TO ro
VPLACX AUX. AcX] — AUX AUX. AcX3 —
Le — AaX,ACX AUX, + SOU MOMUE À — AUX, A X AXE.
