D'après ce que nous avons dit ci-dessus sur l’in
variabilité des coefficiens de la série générale,
Fx
A, +A,.0x + AÀ,.@x° L A,px, + etc.
si l’on se rappelle que les expressions de ces cocfficiens
sont, d’après Paoli (voy. Dirr., 42),
1 dA, en dA, 7 3 dox
dEx 1 dA, dx 7 #4. 2 doa
A ENT Ar— 5" CC,
A = Te EX
À x 1 T R 2 é PF SA ES | tentes ll CC" etc.
AE jp ps 4 L. : A. FL fe] |]
En comparant avec l'expression générale (/) on découvre le théorème suivant (r) :
0 Lt L: 5 2 à (r*] heal — suit dx dox dox do x
d'ox der. doxs....dr—pxv-1.drEFx] dex dx’. dors... deroxv1 ,deFx
qui va nous permettre d’attacher leur véritable signification aux expressions trouvées jusqu'ici pour Îles coefficiens de la série générale en question.
D'abord , il est évident que les expressions de Paoli, et généralement le premier membre de l'égalité (r), ne font qu’indiquer les moyens de déterminer les quantités À, ,A,, À:, etc. , tandis que le second membre de cette égalité présente le résultat des différentiations successives et donne immédiatement les derniers termes de la détermination des quantités À, À, , A;, etc. En un mot, le premier membre offre l’origine de la détermination des coefficiens et le second la Jr de cette dé- M. Wronski donne-tal le d'expressions initiales aux expressions (g'), et celui
termination. Aussi nom d'expressions finales aux expressions (m). Ce sont ces expressions finales qui présentent la première extension réelle donnée à la science depuis Taylor, car sous la forme imparfaite où inachevée (q') la formule de Paoli west qu’un corollaire de celle de Taylor, et tout
SE 459 ce qu’on a tenté depuis pour développer ces expressions imparfaites est resté bien loin de la loi (7), qui donne enfin la détermination des coefficiens de la série, moyennant les derniers termes ou les élémens mèmes qui entrent dans cette détermination.
Il est vrai, dit M. Wronski, qu'il entre encore dans les expressions (m2) les différentielles des puissances de la fonction wx, savoir : les différentielles de la forme dmpx" et non simplement les différentielles immédiates dgx, d'ox, d'ox, etc, constituant les véritables derniers termes ou élémens dont il s’agit; mais cela n’est ainsi que pour abréger ces expressions finales, car la loi qui donne les différentielles dox", moyennant les différentielles élémentaires dx, d'ox, etc. est connue. (Foy. Phil. de la technie, deuxième section, page 35.) En effet, par unesimple application de la loi fondamentale du calcul différentiel (voy. Dirr., 27), on obtient (s)
PE
dpiox.dpor dPox.. .dprox PI pa + + 1P11,1P2l1, pu,
dmpxr —= vall, Agr.
l'abréviation Agr. désignant l’agrégat des termes correspondans à toutes les valeurs entières des exposans pi,p2,p3, etc., données par l'équation indétermi-
née (4), m = pi + pr + p3 + pi... +pn,
dans la solution de laquelle il suffit de ne prendre pour ces exposans pi, p2, p3, etc., que des nombres entiers et positifs plus grands que zéro, afin de négliger immédiatement les produits qui deviennent zéro par la valeur gx = o qu'il faut donner à gx après les différentiations,
23. Nous devons indiquer, en passant, le procédé très simple de Hindenburg , pour résoudre en nombres entiers positifs plus grands que zéro l'équation indéterminée ({) ou pour décomposer un nombre 77 en 7 nombres plus petits.
On écrira l'unité 7 — 1 fois de suite , et en dernier lieu le nombre »2— #7 + 1, ce qui forme la première solution, Parcourant ensuite les nombres qui forment cette combinaison , de même que ceux des combinaisons suivantes, de la droite à la gauche , on s'arrêtera dans chacune à celui qui se trouve inférieur de deux unilés au moins au dernier nombre sur la droite ; on augmentera d’une unité le nombre auquel on se sera arrêté ; et conservant tous ceux qui se trouvent à sa gauche, on remplacera par ce même nombre, ainsi augmenté d’un , tous ceux qui sont à sa droite, excepté le dernier à la place duquel il faudra mettre chaque fois le complément des autres , c’est-à-dire, ce qu’il faut ajouter à leur somme, pour trouver le nombre 7». Eu observant cette règle on passera avec la plus grande facilité d'une combinaison à l’autre : la dernière sera celle à laquelle
la règle ne pourra plus être appliquée.
à460 SE
Proposons-nous , par exemple, de partager le nombre 10 en cinq parties; en appliquant la règle, vous ob-
tien drons les sept combinaisons suivantes :
Le même nombre 10 résultera de autres des cinq manières qui suivent :
Tssssoeels 15 Ë5 EE D 5 Débats nls 301 7, 9 4 Diese 4 Hit 015 3, 3 Bsssses 1, 1, 3, 2, 2, 3 asstensn T5 Ty. 23 9, ©, ©
24. D'après ce qui précède, s’il s'agissait d'obtenir l'expression de la différentielle d°x5 en différentielles primitives de la fonction gx , qu’on doit égaler à zéro après les différentiations, on commencerait par décomposer 6 en 3 parties , ce qui offrirait les trois combinaisons entièrement différentes ,
G—ir+tr+4s, G—r+2+3, G—=2+2+Le.
Puis, pour appliquer ces valeurs à la formule (s), on formerait d'abord les produits
der. dox .d'ox
dex.deor.dor nr et
dex.d'ex.dox
Mais ces produits ne sont pas les seuls dont la réunion forme la différentiell: demandée, car la première solution 1 + 1 + 4 de l'équation indéterminée
An ; G=pm+pi+p3
admet trois permutations, savoir :
DAS RE E de Euh
SE
et ans Ja formule (s) il faut donner aux exposans pr , p?,p3.etc., les valeurs qui satisfont à l'équation (1) en les permutant de toutes les manières possibles. Ainsi, chacun des produits ci-dessus doit setrouver répété autant de fois que les exposans des différences admettent de permutations, c’est-à-dire que le premier doit être multiplié par 3, le second par 6, et le dernier par. (Foy. Peruurarion.) On aura donc
3dox. dox. divx Gder.d'oxr.d'ox
dors — 16.
dex.d’et.dox
HRLER Ci
ou, après les réductions, d'ex—00(doxY .dior+36odox. der. d'ex +00 (d'or).
Pour dYx5, on obtiendrait de la même manière , d'abord
1 Li +3 5=1+Lo+o
Qt
combinaisons qui admettent chacune 3 permatations ;
et ensuite
- (3dox.dox.d'ozx 51e | 24 PL. de
. 3dyx.dox.d'ox] de v — 1° | t
