lt À

T4 121 —= 60 (dex}.d'ox + 00 dyx.(dox}.

25. Parmi les géomètres qui se sont occupés du développement des fonctions en série , nous devons citer particulièrement Euler, Burman, Arbogast et Kramp. Où doit à Burman une génération relative très-remarquable des coefficiens de Paoli que nous devons faire connaitre.

a étant la valeur de x qui rend ox —0o,ona

çdEx es L x—a\? dEx La JE = a — | dox dox ra) — d + . dx TA)

etc., ctc.

indice (x = a) indiquant qu'il faut faire x — a, après

NI SE les différentiations. En vertu de ces expressions la série

générale (4) devient (&)

, x— IF» | PAR ET ([x—a dEa À nl Où dx PAP j X—a \ dEx Le He de. (x=a) s\ ne dEx +, . ee dx dx (x)

+ etc...

On peut éviter la difficulté attachée à la détermination de la quantité a qui rend wa —- 0, en prenant pour wx la fonction (fx—fa) dans laquelle désigne une fonction quelconque, eta une quantité arbitraire ; alors

la série (u) sera

Ja —fa

Ex}

"T —= Fa

fax —fa 1e

1 dx | (ra)

x—a? dEx SE LE LC Jx—fa ‘dx | | | à C | («=4a) Cp E) 2 Lol ; ge] De a De TROP de De)

— etc., etc.

Eu examinant ces formules de développement, on

comme nous l'avons annoncé , que le coefficient

e dEx es Gi IC nd

JT

voit,

général

ne présente qu'une génération relative de la quantité

Ü qu'il représente, car cette génération dépend des dif-

, ’ : rh eme férentielles de la fonction auxiliaire ———, différentielpx

les dont la loi n’est pas connue. Quoi qu’il en soit , la formule de Burman est supérieure à celles trouvées par d’autres géorètres , et on peut la considérer comme une transition entre les expressions initiales de Paoli et les expressions finales de M. Wronski.

26. La belle formule de Lagrange, employée principalement pour Le retour des suites, west qu’un cas par-

ticulier de celle de Burman , celui où la fonction 4x est

SE 461 TT, En effet de la relation JE RE NE en on tire . x—a Je =

formule identique avec celle trouvée par Lagrange, pour obtenir le développement d’une fonction quelconque d’une variable x donnée par l'équation

x=a+yfxr,

car en désignant, comme lui, les dérivées différen-