AVES A
eiC, etc.
valeurs identiques avec celles qu’on obtiendrait en faisant 72 négatif dans les expressions (b). Ainsi le développement
ar = am (mnan-1r{mDanm-2r + (n13)an-Sr+ etc. .
dans lequel les coefficiens sont donnés par les expressions (b) se trouve démontré pour toutes les valeurs entières positives et négatives de l’exposant 7.
On pourrait par d’autres considérations analogues démontrer la généralité de cette loi pour les valeurs fractionnaires ou autres, de l’exposant 2; mais nous nous contenterons ici d'admettre par induction cette généralité, renvoyant à l’article Facurrés la construction de l'idée qu’on doit attacher aux factorielles à exposant fractionnaires, ou aux factorielles irrationnelles.
16. Pour terminer l’exposition de la théorie des factorielles il nous resterait à exposer le théorème fondamental de ces fonctions, savoir que la factorielle à base binome
(a+-b}n 7 a pour développement l'expression
ml)
a] lLma” birE ES
m(m—1)(rm—92) —— 1" 7 qm—3lrbäir .
AA) 2e rrigte
HRAUr,
an—2\rha r +
FA
formule dont le binome de Newton n’est qu’un cas particulier, celui où l’on a r—o ; mais nous en avons déjà donné, au mot BiNomE, une démonstration nouvelle, et de plus nous l’avons déduit d’une loi plus générale (voy. Cosrriciens INpÉ TERMINÉS IT); de sorte qu'il se trouve démontré , dans ce dictionnaire, dela manière la plus rigoureuse pour toutes les valeurs de l’exposant "2 entières ou fractionnaires, positives ou négatives. Nous renverrons donc aux articles cités; comme aussi nous renverrons au mot Facurrés pour la déduction du Fac- TEUR ÉLÉMENTAIRE, (v0y. ce mot) de la factorielle générale am, C’est par la considération extrêmement importante de ce facteur, que M. Wronski a donné le clef des contradictions mathématiques trouvées par Kramp et dont nous avons parlé ci-dessus (7 et 13).
FACULES (astr.). Points du disque solaire plus brillans que le reste, dont lPapparition précède quelquefois celle des taches. Foy. Soceir.
FACULTÉS ALGORITHMIQUES (Æ4{g.). Mode universel de génération des quantités à l’aide de facteurs
liés entre eux par une loi.
1. Soit dx une fonction quelconque de la variable x, et soit ? l'accroissement de la variable, nous nommerons
Jaculté algorithmique, la fonction (a) GX UE Ë
qui exprime le produit des 72 facteurs (b)
px. o(xHE).0(x +28). .....p{xt{m—i)é)
en prévenant une fois pour toutes que l’exposant »7 se rapporte à la fonction gx et non à la variable x.
2. Lorsque la fonction x est simplement x, la faculté devient
am 2(x HE) (x to) x 435). ..(xH(m—1)2)
c'est-à-dire une factorielle (voy. ce mot). Les factorielles sont doncle cas le plus particulier des facultés.
3. il résulte évidemment de cette construction que si l’on prend le dernier facteur de (b) savoir
pE-Hm1)8)
pour base de la faculté, il faudra considérer l’accroissement £ comme négatif et que le produit (b) pourra s'exprimer encore par
pat (n—r)é)e +;
de sorte qu’on a généralement l’identité
pent = ge-{m—r)Epni
FA
