Appliquons ce théorème à la sommation des nom

bres figurés, Soit d’abord la série des nombres naturels 9, elc.

æ désignant toujours l’indice des termes, le terme général est simplement +, et l'on a Se = 2x + x + const.

Or, l'accroissement des différences de x étant l'unité ,

Ex est égale à D (Foy. Inrécraz, 3), d’ou : 1 I x(x +1 DZ ns XL? — " Æ e T = ( 2) 2 2

il n’y a pas besoin d’ajouter de constante parce que =x doit être o lorsque x — 0.

Ce terme sommatoire est en même temps le terme

général de la série des nombres triangulaires

car on sait que cette série est formée par les sommes successives des termes de la série des nombres naturels. Nous obtiendrous donc le terme sommatoire de Ja série des nombres triangulaires, en faisant dans (c)

Lo æ(&+#1) 2 Li

Ainsi, comme (INTriGRAL, à)

Éiane — 22 Lex] =

1 5 —° vies SN Up,

3% æ + at +; LES CR nous aurons ICI

3 x(x+i aix H3x(x + Sex 2x2 + CR DE nr en) 2-3 De) 2 2.3 __ 2{x+1\x+2)

iln’y a pas besoin d'ajouter de constante.

Ce terme sommatoire est aussi le terme général de la série des »ombres pyramidaux ou de la série des nombres figurés de troisième ordre ; ainsi, en opérant dela. même manière, nous trouverons pour le terme semma- …

toire de cette dernière série l’expression

SO d'où l’on pourra déduire le terme sommatoire de la série des nombres figurés du quatrième ordre, et ainsi de suite.

Pour considérer ce problème dans toute sa généralité, proposons-nous de trouver le terme sommatoire

de la série dont le terme général est

dx) x +20)... (x + (u— 1) added p

ou simplement bi au en nous servant de la notation des factorielles. (Foy. ce mot.) Nous avons vu (Dirr., 22) que la différence progressive de l’ordre x de la factorielle æ#W est

AXE — pli £ in, (x+ni)r-nli

faisant donc dans cette expression 7 —— 1 ,nous ob-

tiendrous

A—igali — Sri =

Ainsi, désignant simplement le terme sommatoire cherché parS , il viendra

æHli AL

(x —ir+ilé