CHE

(im. œu—ili

Le terme sommatoire de la série proposée est donc

LEAE 1ult ET LT ou, en réduisant (d) S — + const.

ei Qu 1). (ai) it

S'il s'agissait de la série inverse des nombres triangulaires ou figurés du second ordre {e)

I I Le x t — , —, etc.

on ferait = 2,etl’on aurait, Zétantégalàt,

comme on doit avoir S — 1 lorsque + = 1, on a pour

déterminer la constante l'équation 1.2 1—— —— + const.

d'où , const. = 2, et par suite

Ses on 2

æ+1 +1 Cette valeur de S se réduisant à 2 lorsque x est infini, on voit que la somme totale de la série (e) prolongée à l'infini est égale à 2.

L'expression (d) ne peut servir pour obtenir le terme sommatoire de la série inverse des nombres naturels , car en y faisant p — 1, le facteur 1 — 1 rend sa partie variable infinie. Cette série est du genre des séries dites harmoniques, qui ont été regardées pendant longtemps comme l’écueil de l'algèbre. Nous allons indiquer un procédé très-ingénieux , dû à Kramp, à l’aide duquel on peut sommer toutes les séries harmoniques.

7- Considérons la série de factorielles coutinuée jusqu’à l'infini

ar + (ar) + (a—onir + (a—3rrr + etc...

elle nous fournira les différences,

Aanr = an — (arr = nr.an-ir dan — nin—i)r.an—2lr

Aanr = n(n—1) (n—o0)r.an—3lr

etc. — etc.

Ainsi, comme il faut ici considérer comme négatif l'accroissement des différences, nous aurons en général ,

(voy. Dirr., 22)

Aearnir nëli ré. .an-pir

et en faisant p — 1

c’est-à-dire, d’après le n° 3, que la somme de la série añ+ir

Si l’on considère le terme du rang m+1, savoir la somme des

en question est, à l'infini, égale à

(a—mr}tr comme le premier de la série , termes de cette même série depuis (a—r)"} jusqu’à l'infini sera

(a—mr)n+itr

et, par conséquent, la somme des #7 premiers termes, c'est-à-dire , depuis a”! jusqu’à (a— mr + rjnir inclusi-

vement , sera égale à

(nier (a—mr +].

[an+ LT

Si l'on veut prendre le dernier terme pour le premier etrenverser la série, on posera a— mr+r—=x, d'où a— x+mr—r, et l'on aura pour la somme de la série des 72 factorielles

ænr + (x—rnir Æ (x+oar)rir etc.

l'expression

(ec +mr-nnr

LS [ca-mrrns ir == (x—rn+ 1 1

si l’on substitue — x à + n, cette expression devient

I [ I 1 (a—i}r (æ—nr)—ir ue =

et elle représente alors la somme des 2 fractions depuis

, jusqu’à

(œ—nrr (= nr+mr=rnnr

Remplaçant x—nr par la seule lettre x et » — 1 par n, on trouvera donc la somme des "2 fractions, depuis

Eee 1 ; ; my jusqu'à ar et égale à (f),

I Ë … I nr anir |

et si l’on prend la somme de ces mêmes fractions à l'infini, elle aura une valeur finie, égale à

nr.œnr |

c’est ainsi que l’on trouve, par exemple, que la somme

des fractions

+3 ANRT Sort ete... à l'infini,

, ST ; est égale à -. Que la somme des fractions

' I RCE 7-10

—etc. à l'infini.

oo it lo — 16

, ul .

est égale à “4 Et ainsi des autres.

Lorsqu'on fait » infiniment petit les factorielles deviennent de simples puissances et l’on a d’un côté la

série harmonique,

I 1 À 4 I Se En aus lee Vo

tandis que de l’autre l’expression ( f) de ses 77 premiers termes se complique d’une quantité infiniment petite et devient indéterminée. Mais nous avons vu (FAcuLTEs)

la série

z+-mr

qu’en désignant par A

EE cree 03 —+- etc.

r} fe x+mr LC (xmr) *@Hmr) dans laquelle 8,, 9,, 8:, etc. sont les nombres de Ber-

nouilli, on a

Dir

(x + mr)”

SUR ER er |

Nous aurons donc aussi, en supposant 7 infiniment petit,

ne + Logan) À

et en substituant ces valeurs dans ( f) x disparaîtra. On obtient de cette manière pour la somme des 72 premiers termes de la série harmonique , l'expression (g)

1 x + mr r r -{ Lo (= A- — À ——— r | ë x + æ x+mr

La fonction Ay égale à 4.7 + 0.7 + 0,.7° + etc. esttrès-convergente lorsque y est une petite fraction, et

il suffit des deux premiers termes 6,ÿ -F #7? ou

1 1 58 r(: + ip Jeour en trouverla valeur avecsept décima-

1 . D les exactes, pour peu que - soit au-dessous de—. Ainsi è 2 10

pour rendre ce procédé parfaitement applicable à tous les cas, il faudra calculer à part les dix premiers termes de la série, les ajouter ensemble, et employer ensuite les formules pour trouver la somme des autres. (Foy. Kramp. 4rith. universelle.)

Par exemple, on demande la somme des cent premiers termes de la série 1 + : + ; - h + etc.

La somme des 10 premiers termes de cette série est

à déterminer la somme des go autres.

, ou, en décimales, 2,9289082, reste donc

On fera dans (g) x = 11,7 —1 et m—9o, et la somme demandée sera exprimée par

réalisant les calculs, on trouve

Log 101 — 4,6151205 Log 11 — 2,3978953 AE 0,0461433